23综合考点六 二次函数中的角度问题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第一、二章 3 目 录 难点分层探究 好题随堂演练 4 命题点　二次函数中的角度问题　 【核心母题】如图，抛物线y=x2-(a+1)x+a 与 x轴交于A，B 两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC， 对称轴为直线x=-1. (1)求此抛物线的表达式及点A，B，C的坐标； (2)点D是y轴左侧的抛物线上一动点，连接BC，当∠DBA=∠BCO时，求点D的坐标. 【解题启发】 求解角度问题，你能想到用什么几何图形来辅助解题？ 5 【解题模板】 角的数量关系处理的一般方法如下： (1)等角：常运用等腰三角形两底角相等、等角的余角相等、等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等解决问题； (2)二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理或利用角平分线的性质，或作垂直平分线构造等腰三角形，或利用等腰三角形的内外角关系； (3)和差角：常旋转、翻折、平移构造角. 6 (4)特殊角问题处理的一般方法如下： ①运用三角函数值； ②遇45°构造等腰直角三角形； ③遇30°，60°构造等边三角形或直角三角形； ④遇90°构造直角三角形. 7 【规范解答】 解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，∴a=-3， ∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3， 当y=0时，x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1， 当x=0时，y=-3，∴A(-3，0)，B(1，0)，C(0，-3). 8 (2)如图，过点D作x轴的垂线，交x轴于点H. 设点D的坐标为(m，m2+2m-3). ∵∠DBA=∠BCO， ∴tan∠DBA=tan∠BCO，即=， ∴=或=， 解得m1=-，m2=1(舍去)或m3=-，m4=1(舍去)， ∴点D的坐标为(-)或(-，-). 9 【变式1】 探究角度和为特殊角的动点坐标 在抛物线上是否存在点Q，使得∠QOB+∠BCO=45°？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由. 10 解：存在. 如图，作点B关于y轴的对称点R(-1，0)，连接RC，过点R作 RT⊥AC于点T，过点Q作QH⊥x轴于点H. ∵∠ACR+∠RCO=∠ACO=45°， ∠BCO+∠QOB=45°， ∴∠QOB=∠ACR. 11 在△ARC中，AR=3-1=2，AC=3，∠RAC=45°， ∴AT=RT=AR=，∴TC=3-=2， ∴tan∠ACR===tan∠QOB. 设Q(q，q2+2q-3)，∴=， 解得q=(当点Q在y轴左侧抛物线上时，不符合题意，负值舍去)； 当点Q在x轴下方时，同理可得q=(负值已舍去). 即点Q的横坐标为或. 12 【变式2】 探究倍角关系的动点坐标 如图，点E的坐标为(0，1)，G为x轴负半轴上的一点，∠OGE=15°，连接PE.若∠PEG=2∠OGE，请求出点P的坐标. 13 解：如图，设直线PE交x轴于点H. ∵∠OGE=15°，∠PEG=2∠OGE=30°， ∴∠OHE=45°. ∵E(0，1)，∴OH=OE=1， ∴H(-1，0). 14 设直线HE的表达式为y=kx+t， ∴解得 ∴直线HE的表达式为y=x+1. 令x+1=x2+2x-3， 解得x1=，x2=(点P在y轴右侧抛物线上不符合题意，舍去)， ∴点P的坐标为(). 15 【变式3】 探究特殊角存在性的动点坐标 如图，抛物线y=ax2+bx-(a≠0)与x轴交于点A(-1，0)和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D(1，0)，过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E. (1)求抛物线的表达式. (2)坐标轴上是否存在点F，使得∠DEF=75°？ 若存在，请求出点F的坐标；若不存在， 请说明理由. 16 解：(1)∵抛物线的对称轴交x轴于点D(1，0)， ∴抛物线y=ax2+bx-的对称轴为直线x=1， ∴-=1.① ∵点A(-1，0)在抛物线y=ax2+bx-上， ∴a-b-=0.② 由①②联立得解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-x-. 17 (2)坐标轴上存在点F，使得∠DEF=75°. 当点F在x轴上时，如图. 易知∠OCD=30°，E(3，-)，D(1，0)， ∴∠ODC=60°，DE=. ∵∠CDE=90°，∴∠EDF=30°. ∵∠DEF=75°， ∴∠DFE=180°-∠EDF-∠DEF=75°， ∴∠DEF=∠DFE， 18 ∴DF=DE=， ∴OF=OD+DF=1+=，∴F(，0)； 当点F在y轴上时，过点E作ET⊥y轴于点T，如图. ∵ET∥OB， ∴∠DET=∠BDE=30°， ∵∠DEF=75°， 19 ∴∠TEF=∠DEF-∠DET=45°， ∴△ETF是等腰直角三角形， ∴TF=TE. ∵E(3，-)， ∴OT=，TE=3=TF， ∴OF=OT+TF=，∴F(0，-). 综上所述，点F的坐标为(，0)或(0，-). 20 建议用时：20分钟 1.(2023·衡阳节选)如图，已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1，0)和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B，C两点作直线. (1)求a的值. (2)抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°？ 若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在， 请说明理由. 1 3 题序 2 21 解：(1)∵抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1，0)， ∴a+2a+3=0，∴a=-1. (2)存在. 当∠PBC在BC的下方时，在y轴正半轴上取点M(0，1)，连接BM交抛物线于点P，如图. ∵A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，M(0，1)， ∴OB=OC=3，OM=OA=1，∠BOM=∠COA=90°， ∴△BOM≌△COA(SAS)，∴∠MBO=∠ACO. ∵∠CBO=45°，∴∠PBC+∠MBO=45°， ∴∠PBC+∠ACO=45°. 1 3 题序 2 22 设直线BM的表达式为y=k'x+b'， 则解得 ∴直线BM的表达式为y=-x+1. 联立解得(舍去)或 ∴P(-). 1 3 题序 2 23 当∠PBC在BC的上方时，作点M关于直线BC的对称点M'，如图，连接MM'，CM'，直线BM'交抛物线于点P'. 由对称得MM'⊥BC，CM'=CM=2，∠BCM'=∠BCM=45°， ∴∠MCM'=90°，∴M'(2，3)， 则直线BM'的表达式为y=-3x+9. 1 3 题序 2 24 联立 解得(舍去)或 ∴P'(2，3). 综上所述，抛物线上存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°，直线BP的表达式为y=-x+1或y=-3x+9. 1 3 题序 2 25 2.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1，0)和点C(0，-3)， 与x轴交于另一点B. (1)求抛物线的表达式； (2)设点M为抛物线上的一点，若∠MAB=2∠ACO，求点M的坐标. 1 3 题序 2 26 解：(1)将点A，C的坐标分别代入抛物线表达式得 解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3. 1 3 题序 2 27 (2)如图，取点D(1，0)，连接CD，在CD上取一点E，使得AE=AD，连接AE并延长交抛物线于点M. ∵A(-1，0)与点D关于y轴对称， ∴AC=DC，∠ACO=∠DCO， ∴∠ACD=2∠ACO=∠MAB， ∠CAD=∠CDA. ∵AE=AD， ∴∠ADE=∠AED=∠CAD=∠CDA， 1 3 题序 2 28 ∴△CAD∽△AED， ∴∠EAD=∠ACD=2∠ACO. 设直线CD的表达式为y=kx+b1， ∴解得 ∴直线CD的表达式为y=3x-3. 设E(n，3n-3)，∴AE2=(n+1)2+(3n-3)2=22， 解得n=或n=1(舍去)，∴E(，-). 1 3 题序 2 29 设直线AE的表达式为y=k1x+b2， ∴解得 ∴直线AE的表达式为y=-x-. 联立解得x=或x=-1(舍去)， 1 3 题序 2 30 ∴点M的坐标为(，-). 由对称性可知点E关于x轴的对称点F的坐标为()时，直线AF与抛物线的另一个交点也满足题意， 同理可求出此时点M的坐标为(). 综上所述，点M的坐标为(，-)或(). 1 3 题序 2 31 3.(2023·泰安)如图1，二次函数y=ax2+bx+4的 图象经过点A(-4，0)，B(-1，0). (1)求二次函数的表达式. (2)如图1，在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使△BCP面积为5？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，小明经过探究发现，位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使∠DAB与∠ACB互为余角.你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 32 解：(1)将A(-4，0)，B(-1，0)两点分别代入y=ax2+bx+4得解得 ∴抛物线的表达式为y=x2+5x+4. (2)存在.由抛物线y=x2+5x+4可知，其对称轴为直线x=-，C(0，4)，设直线BC的表达式为y=kx+c. 将B(-1，0)，C(0，4)代入得解得 ∴直线BC的表达式为y=4x+4. 1 3 题序 2 33 此时，如图，作PQ∥x轴，交BC于点Q，连接BP，CP. ∵点P在二次函数对称轴上， ∴设P(-，m)，则Q(，m)， ∴PQ=|-(-)|=||， ∴S△BCP=PQ·(yC-yB)=×||×4=||， ∴||=5，解得m=4或m=-16， ∴点P的坐标为(-，4)或(-，-16). 1 3 题序 2 34 (3)正确.点D的坐标为(-，-). 如图，设AC与对称轴交点为K，对称轴与x轴交点为H，连接BK，延长AD与对称轴交于点M. 由(1)(2)可得OA=OC=4，∠AOC=90°， ∴∠CAO=45°，AC=4. 根据抛物线的对称性得AK=BK， ∴∠KAB=∠KBA=45°，∠AKB=90°. ∵AB=3，∴AK=BK=，∴CK=AC-AK=. 1 3 题序 2 35 在Rt△CKB中，tan∠CBK==. ∵∠CBK+∠ACB=90°，∠DAB+∠ACB=90°， ∴∠DAB=∠CBK，∴tan∠DAB=tan∠CBK=， ∴在Rt△AHM中，=. ∵AH=--(-4)=，∴HM=×=， ∴M(-，-). 1 3 题序 2 36 设直线AM的表达式y=sx+t. 将A(-4，0)，M(-，-)代入解得 ∴直线AM的表达式为y=-x-， 联立解得或(舍去) ∴小明说法正确，点D的坐标为(-，-). 1 3 题序 2 37 $$