22综合考点五 二次函数中的特殊四边形存在性问题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第一、二章 3 目 录 难点分层探究 好题随堂演练 4 命题点　二次函数中的特殊四边形存在性问题 【核心母题】如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-3，0)，B两点(点A在点B 左侧)，与 y轴交于点C.连接BC，且tan∠OCB=. 5 (1)求抛物线的表达式. (2)若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使得以点A，C，D， E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的 坐标；若不存在，请说明理由. (3)若点F在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点G，使以点A，B，F， G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点G的坐 标；若不存在，请说明理由. 【解题启发】 你能利用平行四边形的性质确定动点的坐标吗？ 6 【规范解答】 解：(1)由抛物线y=ax2+bx-3可知，当x=0时，y=-3，∴C(0，-3)，∴OC=3. ∵tan∠OCB=，∴=，∴OB=1，∴B(1，0). 又∵抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3，0)， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3. 7 (2)存在. ①如图1，当点E在x轴下方时，则点E的纵坐标为-3， ∴令y=-3，则y=x2+2x-3=-3， 解得x=-2或0(舍去)，∴点E的坐标为(-2，-3)； 8 ②如图2，当点E在x轴上方时，由点C到x轴的距离为3，可得点E到x轴的距离为3， ∴令y=3，则y=x2+2x-3=3，解得x=-1±， ∴点E的坐标为(-1+，3)或(-1-，3). 综上所述，点E的坐标为(-2，-3)或(-1+，3) 或(-1-，3). 9 (3)由题易知函数的对称轴为直线x=-1. 设G(m，n)，即n=m2+2m-3，① F(-1，t)， 当AB为边时， 点A向右平移4个单位长度得到点B，同样点G(F)向右平移4个单位长度得到点F(G)，即m±4=-1，② 联立①②并解得或 ∴点G的坐标为(-5，12)或(3，12)； 10 当AB是对角线时，由中点公式得×(1-3)=(m-1)，③ 联立①③并解得∴点G的坐标为(-1，-4). 综上所述，点G的坐标为(-5，12)或(3，12)或(-1，-4). 11 【变式1】 探究确定对角线的菱形存在性问题 在核心母题的条件下，如图，若平面内存在动点G，抛物线上是否存在点H，使得以点A，C，G，H为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 12 解：存在. 如图. ∵四边形是以AC为对角线的菱形， 由菱形对角线互相垂直平分的性质，作AC的垂直平分线交抛物线于点H1，H2. ∵OA=OC=3， ∴AC的垂直平分线过原点O. 设AC的中点为F，由C(0，-3)，A(-3，0)可得 =-=-， 13 ∴F(-，-)，∴直线H1H2的表达式为y=x. 联立 解得或 ∴点H的坐标为()或(). 14 【变式2】 探究含有三个动点的菱形存在性问题 在核心母题的条件下，如图，若动点P以每秒个单位长度的速度在线段AC上由点C向点A运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段AO上由点A向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，A，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 15 解：存在. 如图1，当AM=PM时，过点P作PD⊥y轴于点D. 设运动时间为t，则CP=t， AM=t. ∵A(-3，0)，C(0，-3)， ∴OA=OC=3， ∴∠OCA=∠OAC=45°， 直线AC的表达式为y=-x-3. ∴CD=PD=t×=t. 16 当AM=PM时，∠MPA=∠OAC=45°. ∵∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°， ∴四边形OMPD是矩形，∴OM=PD=t. 由AM+OM=OA得2t=3，∴t=， ∴P(-，-)，∴N(-3，-)； 17 如图2，当PM=PA时，过点P作PD⊥y轴于点D， 作PE⊥x轴于点E， ∴AM=2AE. 易证四边形PDOE是矩形， ∴OE=PD=t，∴AE=3-t， ∴t=2(3-t)， ∴t=2， ∴P(-2，-1)，∴N(-2，1)； 18 如图3，当PA=MA时， 3-t=t，∴t=6-3， ∴P(3-6，3-3)， ∴N(0，3-3). 综上所述，点N的坐标为(-3，-)或(-2，1)或(0，3-3). 19 【变式3】 探究含有两个动点的矩形存在性问题 在核心母题的条件下，如图，若当动点P在直线AC上方的抛物线上时，在平面内是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 20 解：存在. ①如图，当AC为边时，四边形ACQP为符合条件的矩形，PA交y轴于点E，CQ交x轴于点F，连接EF，过点P作PM⊥y轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N. ∵OC=OA=3， ∴∠OCA=∠OAC=45°. ∵四边形ACQP为矩形， ∴∠QCA=∠PAC=90°， ∴∠OAE=∠OCF=45°， 21 ∴△OAE和△OCF为等腰直角三角形， ∴OA=OC=OE=OF=3， ∴易证四边形ACFE为正方形， ∴CF=EF，∠EFC=∠AEF=90°， ∴易证四边形EFQP为矩形， ∴QF=PE. ∵∠MEP=∠AEO=45°，∠QFN=∠OFC=45°， ∴△PME和△QNF为全等的等腰直角三角形， ∴NF=QN=PM=ME. ∵OE=3，∴E(0，3). 22 设直线AE的表达式为y=kx+n(k≠0)， ∴ 解得 ∴直线AE的表达式为y=x+3. 联立解得或(舍去) ∴P(2，5)，∴PM=2，∴QN=NF=2， ∴ON=OF+NF=3+2=5，∴Q(5，2)； 23 ②如图，当AC为对角线时，四边形APCQ为矩形，过点Q作QG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H， 则∠PHA=∠AGQ=90°，∠PAQ=90°. ∵∠APH+∠PAH=∠PAH+∠GAQ=90°， ∴∠APH=∠GAQ，∴△PHA∽△AGQ， ∴=. 设点P的坐标为(t，t2+2t-3)(t>0)，Q(xQ，yQ). ∵C(0，-3)，A(-3，0)， 24 ∴xQ=-3-t，yQ=-t2-2t，∴Q(-3-t，-t2-2t)， ∴QG=t2+2t，AG=t，PH=-t2-2t+3，AH=t+3， ∴=， 整理得(t+3)(t2+t-1)=0， 解得t1=-3(舍去)，t2=(舍去)，t3=， ∴此时点Q的坐标为(-，-). 综上所述，在平面内存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为(5，2)或(-，-). 25 【变式4】 探究确定一边的矩形存在性问题 在核心母题的条件下，若点F在抛物线上，在平面内是否存在点M，使得以点A，F，M，C为顶点的四边形是以AC为边的矩形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 26 解：存在.设F(f，f2+2f-3)，M(p，q). 当AC为边时，如图，∠CAF1=∠ACF2=90°，过点F1作F1G⊥x轴于 点G，过点F2作F2H⊥y轴于点H， 则∠F1GA=∠F2HC=90°，AG=f+3，F1G=f2+2f-3， F2H=-f，CH=-3-(f2+2f-3)=-f2-2f. ∵∠CAO=∠ACO=45°，∴∠F1AG=∠F2CH=45°， ∴△AF1G和△CF2H均为等腰直角三角形， ∴F1G=AG，CH=F2H， 27 当F1G=AG时，f2+2f-3=f+3，解得f1=-3(舍去)，f2=2， ∴F1(2，5)，由平移得M1(5，2)； 当CH=F2H时，-f2-2f=-f，解得f3=0(舍去)，f4=-1， ∴F2(-1，-4)，由平移得M2(-4，-1). 综上所述，点M的坐标为(5，2)或(-4，-1). 28 【变式5】 探究正方形存在性问题 在核心母题的条件下，已知点P(-1，-2)，点E为抛物线的对称轴上的动点， 点F为抛物线上的动点，M是平面内一点，是否存在四边形PEFM为正方 形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 29 解：存在. 如图.抛物线的对称轴为直线x=-=-1. ∵点P的坐标为(-1，-2)， ∴点P在抛物线的对称轴上. 设F(x，x2+2x-3). ∵四边形PEFM为正方形，∴E(-1，x2+2x-3)， M(x，-2)，PM=PE， ∴|x+1|=|x2+2x-3+2|， ∴x2+2x-1=x+1或x2+2x-1=-x-1， 整理得x2+x-2=0或x2+3x=0， 解得x1=-2，x2=1或x3=0，x4=-3， ∴点M的坐标为(-2，-2)或(1，-2)或(0，-2)或(-3，-2). 30 建议用时：15分钟 1.(2023·本溪)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A和点B(4，0)，与y轴交于点C(0，4)，点E在抛物线上. 1 题序 2 31 (1)求抛物线的表达式； (2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F ，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长； (3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标. 1 题序 2 32 解：(1)抛物线的表达式为y=-x2+x+4. (2)∵B(4，0)和C(0，4)， 设直线BC的表达式为y=kx+4，则0=4k+4，解得k=-1， ∴直线BC的表达式为y=-x+4. 设E(n，-n2+n+4)，且0<n<4，则F(n，-n+4)， ∴GH=EF=-n2+n+4-(-n+4)=-n2+2n. 1 题序 2 33 ∵抛物线的对称轴为直线x=-=1， ∴H(2-n，-n2+n+4)，∴GF=EH=n-(2-n)=2n-2， 依题意得2(-n2+2n+2n-2)=11， 解得n=5(舍去)或n=3，∴EH=4. (3)点N的坐标为()或(-)或()或(4，4). 1 题序 2 34 2.(2023·达州)如图，抛物线y=ax2+bx+c 过点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3). (1)求抛物线的表达式. (2)设P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标. (3)若点M是抛物线对称轴上一动点，N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 1 题序 2 35 解：(1)抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. (2)设直线BC的表达式为y=kx+b'.将点B，C的坐标分别代入得解得 ∴直线BC的表达式为y=-x+3.∵B(3，0)，∴OB=3. 1 题序 2 36 设P(x，-x2+2x+3)(0<x<3)，如图，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E， ∴E(x，-x+3)， ∴PE=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x， ∴S△PBC=PE·OB=(-x2+3x)×3=-x2+x=-(x-)2+. ∵-<0，∴当x=时，△PBC的面积最大值为， 此时点P的坐标为(). (3)存在.点N的坐标为(4，)或(4，-)或(-2，+3)，(-2，-+3). 1 题序 2 37 $$