19综合考点二 二次函数中的线段(周长)问题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第一、二章 3 目 录 难点分层探究 好题随堂演练 4 命题点1 二次函数中的线段问题　 考法❶　求单线段问题 【核心母题1】 【原创题】 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两 点，与y轴交于点C，OA=OC=3. (1)求抛物线的表达式； (2)E是y轴上一点，若BE=CE，求点E的坐标. 【解题启发】 (1)设哪种形式的表达式最简便？ (2)点E的坐标怎么设？BE与CE怎么表示？ 5 【规范解答】 解：(1)抛物线的表达式为y=x2+2x-3. (2)令x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1， ∴B(1，0). 如图，连接BE. 设E(0，m)，则OE=-m，BE=CE=m+3. 在Rt△OBE中，∵OB2+OE2=BE2， ∴12+(-m)2=(m+3)2，解得m=-， ∴E(0，-). 6 【变式1】 探究线段倍数关系 在核心母题1的条件下，如图，连接AC，抛物线上有一动点P，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点G，在线段PF，GF中，若其中一条线段是另一条线段的 2倍，求点P的坐标. 7 解：设P(p，p2+2p-3).设直线AC的表达式为y=kx+d， 将A(-3，0)，C(0，-3)两点分别代入得 解得∴直线AC的表达式为y=-x-3. ∵直线AC与直线PF交于点G，∴G(p，-p-3). ∵PF=|p2+2p-3|，GF=|p+3|. 当PF=2GF时，|p2+2p-3|=2|p+3|. 8 若p2+2p-3=2(p+3)，解得p1=3，p2=-3(不合题意，舍去)； 若p2+2p-3=-2(p+3)，解得p1=-1，p2=-3(不合题意，舍去)； 当GF=2PF时，|p+3|=2|p2+2p-3|， 若p+3=2(p2+2p-3)，解得p1=，p2=-3(不合题意，舍去)； 若p+3=-2(p2+2p-3)，解得p1=，p2=-3(不合题意，舍去). 综上所述，点P的坐标为(3，12)或(-1，-4)或()或(，-). 9 【变式2】 探究直线段最值 在核心母题1的条件下，如图，在直线AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC于点M，当点N的坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？ 10 解：设点N的坐标为(n，n2+2n-3)，则M(n，-n-3)， ∴MN=-n-3-(n2+2n-3)=-n2-3n=-(n+)2+. ∵-1<0，∴当n=-时，MN有最大值，最大值为， 此时点N的坐标为(-，-). 11 【变式3】 探究斜线段最值 在核心母题1的条件下，如图，直线AC下方的抛物线上有一动点K，过点K作KH⊥AC于点H，求线段KH的最大值及此时点K的坐标. 12 解：如图，过点K作KQ⊥x轴于点Q，交直线AC于点T. 设K(t，t2+2t-3)，则T(t，-t-3). ∵KQ⊥x轴，KH⊥AC， ∴∠KHT=∠AQT=∠AOC=90°. 又∵∠KTH=∠ATQ=∠ACO， ∴△KHT∽△AOC，∴=. 13 ∵OA=OC=3， ∴AC=3=，∴KH=KT. ∵KT=-t-3-(t2+2t-3)=-t2-3t=-(t+)2+， ∴当t=-时，KT的最大值为，∴KH的最大值为， 此时点K的坐标为(-，-). 14 考法❷　求双线段问题 【核心母题2】 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得|PA-PC|最大， 求出点P的坐标及|PA-PC|的最大值. 【解题启发】 (1)设哪种形式的表达式求解最简便？ (2)怎么将对称轴两侧的点，转化为同一侧求最值？ 15 【解题模板】 (1)求异侧两点线段差的最大值(两点一线模型) 图形 作法 如图，作点B关于直线l的对称点B'，作直线AB'，与直线l的交点即为P，此时|PA-PB|的最大值为线段AB'的长 16 (2)求同侧两点线段和的最小值(两点一线模型) 图形 作法 如图，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点即为P，PA+PB的最小值为AB'的长 17 【规范解答】 解：(1)∵抛物线的表达式为y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3. (2)∵A(-3，0)，B(1，0)， ∴对称轴为直线x=-1. 如图，连接BC并延长交对称轴于点P，点P即为所求，连接AP. 易知PA=PB，|PA-PC|=|PB-PC|≤BC，故当P，B，C三点共线时， |PA-PC|的值最大. 18 由(1)可知，当x=0时，y=-3，∴C(0，-3). 设直线BC的表达式为y=kx+b'. ∵y=kx+b'过点B(1，0)，C(0，-3)， ∴解得∴直线BC的表达式为y=3x-3. 当x=-1时，y=-6，∴P(-1，-6). ∵BC==， ∴|PA-PC|的最大值为. 19 【变式1】 探究线段和的最值 在核心母题2的条件下，如图，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QC+QB的值最小？若存在，请求出点Q的坐标及QC+QB的最小值；若不存在，请说明理由. 20 解：存在.如图，连接AC，交抛物线对称轴于点Q，点Q即为所求，连接QB. ∵点A，B关于抛物线对称轴对称， ∴QA=QB，∴QC+QB=QC+QA， ∴当Q，A，C三点共线时，QC+QA=AC， 此时QC+QA的值最小，即QC+QB的最小值为AC的长. ∵AC===3， ∴QC+QB的最小值为3. 21 设直线AC的表达式为y=k1x+b1， ∴ 解得 ∴直线AC的表达式为y=-x-3， ∴当x=-1时，y=-2，∴点Q的坐标为(-1，-2). 22 【变式2】 探究线段比值的最值 在核心母题2的条件下，如图，点P为第三象限内的抛物线上的一个 动点，连接AC，OP相交于点Q，求 的最大值. 23 解：设直线AC的表达式为y=kx+n， 则解得 ∴直线AC的表达式为y=-x-3. 抛物线的表达式为y=x2+2x-3，则设P(x，x2+2x-3). 24 如图，过点P作PN⊥x轴，交AC于点N，则PN∥OC， ∴N(x，-x-3)， ∴PN=(-x-3)-(x2+2x-3)=-x2-3x. ∵PN∥OC，∴=， ∴==， ∴当x=-时，的最大值为. 25 命题点2 二次函数中的周长问题　 【核心母题3】 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点， 与y轴交于点C，OA=OC=3OB=3. (1)求抛物线的表达式； (2)连接BC，在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最 小，求出点P的坐标及△BCP周长的最小值； (3)连接AC，M为直线AC下方抛物线上一点，过点M作MN∥y轴交x轴 于点N，交直线AC于点E，过点M作MF⊥AC于点F，当△MEF周长最 大时，求出点M的坐标及△MEF周长的最大值. 26 【解题启发】 (1)点A，B，C的坐标分别是什么？ (2)△BCP的周长可以转化为其他线段吗？ (3)怎么找到周长最大时点M的坐标？ 27 【规范解答】 解：(1)∵OA=OC=3OB=3，∴OB=1， ∴A(-3，0)，B(1，0)，C(0，-3). ∴将A，B，C三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c 得解得 ∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3. 28 (2)如图，连接AP，BP，CP，BC，AC，AC与抛物线对称轴交于点P'. ∵点A，B关于抛物线对称轴对称， ∴AP=BP， ∴PB+PC的最小值即为PA+PC的最小值， ∴当P，A，C三点共线时，PA+PC+BC=AC+BC， 即△BCP的周长最小为AC+BC的值. ∵BC===， AC===3， ∴△BCP周长的最小值为+3. 29 设直线AC的表达式为y=kx+b1， ∴解得 ∴直线AC的表达式为y=-x-3，∴当x=-1时，y=-2， ∴点P的坐标为(-1，-2)， △BCP周长的最小值为+3. 30 (3)如图.∵MN∥y轴，∴∠ACO=∠MEF. 又∵∠AOC=∠MFE=90°， ∴△MFE∽△AOC， ∴==. ∵OC=3，OA=3， ∴AC==3， ∴MF=EF=ME=ME， ∴C△MEF=ME+MF+EF=(1+)ME， ∴当ME最大时，△MEF的周长有最大值. 31 设M(m，m2+2m-3)，则E(m，-m-3)， ∴ME=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m=-(m+)2+. ∵-1<0，∴当m=-时，ME有最大值，最大值为， 此时点M的坐标为(-，-)， ∴△MEF周长的最大值为. 32 【变式1】 求矩形周长的最值及动点坐标 在核心母题3的条件下，如图，连接AC，直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AC于点H，PG∥y轴交AC于点G，E为平面内一点，以PH，GH为邻边作矩形PEGH，求矩形PEGH周长的最大值. 33 解：如图. 由点A，C的坐标可求得直线AC的表达式为y=-x-3， ∴设P(t，t2+2t-3)，则G(t，-t-3)， ∴PG=-t-3-(t2+2t-3)=-t2-3t= -(t+)2+. ∵-1<0， ∴当t=-时，PG有最大值，最大值为. ∵PG∥y轴，PH⊥AC， 34 ∴∠PHG=∠AOC=90°. 又∵∠PGH=∠ACO，∴△PHG∽△AOC，∴=. ∵OA=OC=3，∴AC=3=，∴PH=GH=PG. ∵C矩形PEGH=2(PH+GH)=2PG， ∴C矩形PEGH最大=2×=. 35 【变式2】 求不规则图形周长的最值及动点坐标 在核心母题3的条件下，线段MN=1，在对称轴上运动(点M在点N上方)， 求四边形BMNC周长的最小值及此时点M的坐标. 36 解：如图. ∵MN=1，∴将点B向下移动1个单位长度至点B'，作为点B'关于对称轴直线x=-1的对称点B″，连接B″C，与对称轴交于点N，此时MN即为所求， 则B'(1，-1)，B″(-3，-1). 设直线B″C的表达式为y=kx+b'.将点B″(-3，-1)，C(0，-3)分别代入得解得 37 ∴直线B″C的表达式为y=-x-3. 当x=-1时，y=-×(-1)-3=-， ∴N(-1，-)，则M(-1，-). ∵B″C==， BC==，MN=1， 38 ∴C四边形BMNC最小=BM+MN+NC+BC=B'N+MN+NC+BC=B″N+MN+NC+BC=B″C+BC+MN=++1， ∴M(-1，-)，四边形BMNC周长的最小值为++1. 39 建议用时：15分钟 1.(2024·广元节选)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F： y=-x2+bx+c经过点A(-3，-1)，与y轴交于点B(0，2). (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线AB上方的抛物线上有一动点C，连接OC交 AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标. 1 题序 2 40 解：(1)将A(-3，-1)，B(0，2)两点分别代入 y=-x2+bx+c得解得 ∴抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+2. 1 题序 2 41 (2)如图，过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴， ∴△CDM∽△ODB， ∴==. 设直线AB的表达式为y=mx+n， 把A(-3，-1)，B(0，2)两点分别代入表达式得 解得 1 题序 2 42 ∴直线AB的表达式为y=x+2. 设C(t，-t2-2t+2)，则M(t，t+2)， ∴CM=-t2-2t+2-t-2=-t2-3t=-(t+)2+. ∵-3<t<0， ∴当t=-时，CM有最大值，此时 的最大值为， 此时点C的坐标为(-). 1 题序 2 43 2.(2023·张家界节选)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-2，0)和点B(6，0)，与y轴交于点 C(0，6)，点D为线段BC上的一动点. (1)求二次函数的表达式； (2)如图，求△AOD周长的最小值. 1 题序 2 44 解：(1)由题意可知，设二次函数的表达式为y=a(x+2)(x-6). 将点C(0，6)代入上式得6=a(0+2)×(0-6)，解得a=-， ∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+6. 1 题序 2 45 (2)如图，作点O关于直线BC的对称点E，连接EC，EB，DE. ∵B(6，0)，C(0，6)，∠BOC=90°，∴OB=OC=6. ∵点O，E关于直线BC对称， ∴四边形OBEC为正方形，∴E(6，6). 由对称性知DE=DO， ∴AD+OD=AD+DE≥AE， ∴当A，D，E三点共线时，AD+OD有最小值，最小值为AE的长， AE===10. ∵△AOD的周长为DA+DO+AO，AO=2， ∴△AOD的周长的最小值为10+2=12. 1 题序 2 46 $$