18综合与实践专题一 函数的交点问题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第一、二章 3 目 录 专题知识整合 专题题组训练 4 【编者按】 山东中考试题近两年融入综合与实践，符合中考改革的命题趋势，更是对新课标理念的落实，通过知识整合和题组训练的形式，让学生认识并熟悉“综合与实践”的题目，可以沉着应对新中考的变化趋势. 5 一次函数与反比例函数、二次函数图象的交点问题 常见图形 6 考查 形式 利用交点坐标求表达式 若题目直接给出交点的坐标或通过其他条件能求出交点的坐标，则可以把交点坐标代入函数表达式，利用待定系数法得到函数表达式 利用函数表达式求交点坐标 题目给出函数表达式或通过其他特殊点的坐标求出表达式，则可以联立函数表达式或求出交点坐标，进而可以解决其他与交点坐标相关的问题 7 考查形式 联立函数表达式判断交点个数 联立或得到一元二次方程，利用根的判别式判断两个函数图象的交点问题，利用此结论可以解决实际问题 8 1.(2023·济南)综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8 m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m. 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？ 9 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设AB为x m，BC为y m.由矩形地块面积为 8 m2，得到xy=8，满足条件的(x，y) 可看成是反比例函数y=的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10 m，得到 2x+y=10，满足条件的(x，y)可看成一次函数y=-2x+10的图象在第一象限内点的 坐标，同时满足这两个条件的(x，y)就可以看成两个函数图象交点的坐标. 如图2，反比例函数y=(x>0)的图象与直线l1：y=-2x+10的交点坐标为(1，8)和 　　　　，因此，木栏总长为10 m时，能围出矩形地块，分别为AB=1 m， BC=8 m；或AB=　　　　m，BC=　　　　m.  10 (1)根据小颖的分析思路，完成上面的填空. 【类比探究】 (2)若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由. 【问题延伸】 当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数 y=-2x+a.发现直线y=-2x+a可以看成是直线y=-2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点(2，4)时，直线y=-2x+a与反比例函数y=(x>0)的图象有唯一交点. 11 (3)请在图2中画出直线y=-2x+a过点(2，4)时的图象，并求出a的值. 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=-2x+a与y=图象在第一象限内交点的存在问题”. (4)若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1 m，请直接写出a的取值范围. 12 解：(1) (4，2)　4　2 (2)不能围出矩形地块. 如图，直线l2即为函数y=-2x+6的图象. 理由如下：∵直线l2与反比例函数y=的图象没有交点， ∴不能围出面积为8 m2的矩形地块. (3)如图，直线l3即为直线y=-2x+a过点(2，4)的图象. 将点(2，4)代入y=-2x+a得4=-2×2+a，解得a=8. (4)8≤a≤17. 13 2.我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是矩形B的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体. (1)若矩形A为正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？　　　　(填“存在”或“不存在”).  【深入探究】长为3，宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？ 小鸣和小棋分别有以下思路： 【小鸣方程流】设新矩形的长和宽分别为x，y，则依题意x+y=10，xy=12，联立得x2-10x+12=0，再探究根的情况； 14 【小棋函数流】如图，也可用反比例函数l2：y=与一次函数l1：y=-x+10来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体. (2)那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因. 15 解：(1)不存在. (2)设新矩形的长和宽分别为x，y，则依题意得 x+y=，xy=6，联立得2x2-7x+12=0， ∴Δ=(-7)2-4×2×12=-47<0，∴方程无解， ∴长为4，宽为3的矩形C不存在完全倍体. 16 $$