17第三章 第五节 二次函数的实际应用-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第五节　二次函数的实际应用 3 目 录 核心考点突破 好题随堂演练 4 命题点　二次函数的实际应用3地1考　 考法❶　有关费用问题 例1 (2024·济宁)某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示. (1)求这段时间内y与x之间的函数表达式. (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场 还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多 少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【解题启发】 销售利润与单价的关系式是什么？ 5 【规范解答】 解：(1)y与x的函数表达式为y=-5x+800. (2)当售价单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润为7 920元. 6 【解题通法】 　　二次函数在实际生活(生产)中的应用主要考查利润最大、最优方案、面积最大等问题.一般解题步骤： (1)先分析问题中的数量关系，列出函数表达式； (2)确定自变量的取值范围； (3)分析所得函数的性质； (4)解决提出的问题. 7 练1 (2024·滨州)春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80，且x是整数)，部分数据如下表所示： 电影票售价x(元/张) 40 50 售出电影票数量y(张) 164 124 (1)请求出y与x之间的函数关系式. (2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为w(单位：元)，求w与x之间的函数关系式. (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 8 解：(1)y=-4x+324(30≤x≤80，且x是整数). (2)由题意可得 w=x(-4x+324)-2 000=-4x2+324x-2 000(30≤x≤80). (3)该影院将电影票售价x定为40或41元时，每天获利最大， 最大利润是4 560元. 9 考法❷　有关篱笆、围墙等几何类问题 例2 (2023·菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米. (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹. 10 【解题启发】 (1)设计一个使花园面积最大的方案，实际上是求y的最　　　　值时，x的取值；  (2)你能确定牡丹和芍药的种植面积吗？ 11 【规范解答】 解：(1)当长为60米，宽为20米时，花园有最大面积，且最大面积为 1 200 平方米. (2)最多可以购买1 400株牡丹. 12 练2 (2024·泰安)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的 外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大 面积是　　　　平方米.  450　 13 考法❸　抛物线型问题 例3 (2023·威海)城建部门计划修建一条喷泉步行通道.图1是项目俯视示意图.步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池.图2是主视示意图.喷水装置OA的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米.为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与喷泉水流的水平距离ND为0.3米.点C到水池外壁的水平距离CE=0.6米，求步行通道的宽OE.(结果精确到0.1米.参考数据：≈1.41) 14 15 【解题启发】 你能从题干中提取到什么条件？你能求出此喷泉水流的函数表达式吗？ 16 【规范解答】解：如图，建立平面直角坐标系. 由题意知A(0，2)，B(2，3.6). ∵点B是抛物线的最高点， ∴设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+3.6， 把A(0，2)代入得2=a(0-2)2+3.6，解得a=-0.4， ∴抛物线的表达式为y=-0.4(x-2)2+3.6. 令y=1.8，则1.8=-0.4(x-2)2+3.6， 解得x=2+(负值已舍去)，∴D(2+，1.8)， ∴OE=xD-ND-CE=2+-0.3-0.6≈3.2(米). 答：步行通道的宽OE约为3.2米. 17 【解题通法】 　　此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等.解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义.最高点为抛物线的顶点，抛出点高度为抛物线函数表达式中的c值，落地点为抛物线与x轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值. 18 (1)抛球运动判断球是否过网即判断此点的坐标是否在抛物线上方； (2)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线上； (3)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方； (4)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比桥的最高点到水面的距离小； (5)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高大. 19 练3 (2024·甘肃)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物 线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO 的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象，点 B(6，2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作 长CD=4 m，高DE=1.8 m的矩形，则可判定货车　　　完全停到车棚内 (填“能”或“不能”).  能 20 练4 (2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 5 m，高度是4 m.若实心球落地点为M，则OM=　　　　m.  21 建议用时：10分钟 1.(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问：这天售出了多少辆轮椅？ 1 题序 2 22 解：(1)每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元. (2)这天售出了64辆轮椅. 1 题序 2 23 2.(2024·河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t，其中t(s)是物体运动的时间，v0(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球. (1)小球被发射后　　　　s时离地面的高度最大(用含v0的式子表示).  (2)若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度. (3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高 15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由. 1 题序 2 24 解：(1) (2)小球被发射时的速度是20 m/s. (3)小明的说法不正确.理由如下：由(2)得h=-5t2+20t. 当h=15时，15=-5t2+20t，解得t1=1，t2=3. ∵3-1=2(s)，∴小明的说法不正确. 1 题序 2 25 $$