16方法专题三 二次函数的最值问题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 类型1已知函数表达式，在全体实数内求最值 【学会方法】 依据：二次函数的顶点纵坐标为最大值或最小值 方法一 方法二 方法三 转化为顶点式 y=a(x-h)2+k 利用坐标公式 (-) 先求出对称轴x=-， 再代入表达式求值 4 例1 二次函数y=2x2-8x-2的最小值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.-10 C.-6 D.6 【解题启发】 哪种方法最简单？ B 5 【运用方法】 练1 若二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是(-1，-3)，则b，c的值 分别是(　　) A.b=2，c=4 B.b=-2，c=-4 C.b=2，c=-4 D.b=-2，c=4 练2 函数y=x2+4x+2的最小值是　　　　.  B -2 6 类型2对称轴确定，在自变量取值范围内的最值 【学会方法】 求自变量取值范围内的最值问题，需结合函数图象进行判断 判断增减性 先判断函数在自变量取值范围内的增减性： 1.开口向下时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小； 2.开口向上时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 判断与对称轴的距离 1.开口向下时，离对称轴越远，y值越小； 2.开口向上时，离对称轴越远，y值越大 7 例2 已知二次函数y=2x2-4x-1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的 值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解题启发】 y在0≤x≤a时取最大值为15时，对应的x的值是多少？ D 8 【运用方法】 练3 二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1，0)，(2，3)，在a≤x≤6范围内 有最大值为4，最小值为-5，则a的取值范围是(　　) A.a≥6 B.3≤a≤6 C.0≤a≤3 D.a≤0 练4 当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x+5有最大值m，则m=　　　　.  C 10 9 类型3对称轴不确定，在自变量取值范围内的最值 【学会方法】 图形(以开口向上为例) 结论 当对称轴在m左侧时(-<m)，y在x=m时取最小值，在x=n时取最大值 当对称轴在m，n之间时(m<-<n)，y在x=-时取最小值(顶点纵坐标) 当对称轴在n右侧时(->n)，y在x=n时取最小值，在x=m时取最大值 10 例3 已知二次函数y=-x2+2mx-3(m>0)在自变量-1≤x≤3时，其对应的函数 值y的最大值为1，则m的值为(　　) A.4 B. C.2 D.1 【解题启发】 对称轴不确定，你如何在-1≤x≤3的范围内确定y取最值时，x的值是多少？ C 11 【运用方法】 练5 (2023·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数) 的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有(　　) A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 练6 已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况 下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为(　　) A.3或5 B.-1或1 C.-1或5 D.3或1 D C 12 练7 (2023·绍兴)已知二次函数y=-x2+bx+c. (1)当b=4，c=3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当-1≤x≤3时，求y的取值范围. (2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式. 13 解：(1)①当b=4，c=3时，y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7， ∴顶点坐标为(2，7). ②∵顶点坐标为(2，7)，抛物线开口向下， 当-1≤x≤2时，y随x的增大而增大， 当2≤x≤3时，y随x的增大而减小， ∴当x=2时，y有最大值7. 又∵2-(-1)>3-2， ∴当x=-1时，y取得最小值，最小值为y=-2， ∴当-1≤x≤3时，-2≤y≤7. 14 (2)∵x≤0时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3， ∴抛物线的对称轴直线x=在y轴的右侧，∴b>0. ∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，∴c=2. 又∵=3，∴b=±2. ∵b>0，∴b=2，∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+2. 15 $$