15第三章 第四节 二次函数的图象与性质-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第四节　二次函数的图象与性质 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层探究 好题随堂演练 4 知识点1 二次函数的概念及表达式 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作x的二次函数. 2.二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k). (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，a≠0. 5 3.待定系数法求表达式 (1)根据所给点(坐标)的特征选设适当的表达式； (2)代入点的坐标：将已知点的坐标代入相应的表达式中，得到关于待定系数的方程(组)； (3)求解：解方程(组)求出待定系数的值，从而得出函数的表达式. 6 知识点2 二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 表达式 y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 对称轴 (1)直接运用公式x=-求解； (2)配方法，将一般式化为顶点式y=a(x-h)2+k，则对称轴为直线x=h； (3)对称轴x=(其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标) 顶点 (1)直接利用顶点坐标公式x=-，y=求解； (2)运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标为(h，k)； (3)将对称轴x=x0代人函数表达式求得对应的y0 7 a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 8 最值 当x=-时，y最小= 当x=-时，y最大= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<-时(对称轴左侧)， y随x的增大而减小； 当x>-时(对称轴右侧)， y随x的增大而增大 当x<-时(对称轴左侧)， y随x的增大而增大； 当x>-时(对称轴右侧)， y随x的增大而减小 9 2.根据二次函数表达式判断函数图象 字母 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向　　　  a<0 开口向　　　  b b=0 对称轴为　　　轴  ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴　　　侧  ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴　　　侧  上 下 y 左 右 10 字母 字母的符号 图象的特征 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点) b2-4ac>0 与x轴有　　　个 交点 b2-4ac<0 与x轴没有交点 两 11 3.根据二次函数图象判断a，b，c与0的关系 图象(草图) 结论 a>0，b=0，c=0，b2-4ac=0 a　　　　0，b　　　　0， c　　　0， b2-4ac　　　0  > > = > 12 图象(草图) 结论 a<0，b　　　0，c　　　0， b2-4ac　　　　0  a　　　　0，b　　　　0， c　　　0，b2-4ac　　　0  > < < < > = > 13 知识点3 二次函数图象与几何变换 平移与对称 原表达式 变换形式 变换后的表达式 将二次函数表达式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标，再保持抛物线形状不变，平移其顶点坐标即可(m>0) y=a(x-h)2+k 向左平移m个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 向右平移m个单位长度 　　　　　　　  向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k+m 向下平移m个单位长度 　　　　　　　  y=a(x-h-m)2+k　 y=a(x-h)2+k-m 14 平移与对称 原表达式 变换形式 变换后的表达式 将二次函数表达式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标，再保持抛物线形状不变，平移其顶点坐标即可(m>0) y=a(x-h)2+k 关于x轴对称 　　　　　　　  关于y轴对称 y=a(x+h)2+k 绕顶点旋转180° y=-a(x-h)2+k 绕原点旋转180° 　　　　　　　  y=-a(x-h)2-k　 y=-a(x+h)2-k 15 平移与对称 原表达式 变换形式 变换后的表达式 将二次函数表达式转化成一般式y=ax2+bx+c，进行对称变换 y=ax2+bx+c 关于x轴对称 　　　　　　　  关于y轴对称 y=ax2-bx+c 关于原点对称 　　　　　　　  y=-ax2-bx-c　 y=-ax2+bx-c 16 知识点4 二次函数图象与方程、不等式的关系 1.二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 17 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 拓展：|x1-x2|== 18 2.二次函数y=ax2+bx+c与不等式的关系 ax2+bx+c>0的解集是x<x1或x>x2 ax2+bx+c<0的解集是x1<x<x2 ax2+bx+c>0的解集是x1<x<x2 ax2+bx+c<0的解集是x<x1或x>x2 19 命题点1 确定二次函数的表达式3地3考　 例1 已知二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象经过点(2，-3)，(-1，0)，求二次函数的表达式. 【解题启发】 应设二次函数表达式的哪种形式？ 【规范解答】 解：二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 20 【解题通法】 确定二次函数表达式的步骤 (1)根据条件设表达式：对于二次函数y=ax2+bx+c，若系数a，b，c中有一个未知，则代入图象上任意一点坐标；若有两个未知， 则代入图象上任意两点坐标；若三个都未知，则根据下表所给点的坐标选择适当的表达式： 21 已知 所设表达式 顶点+其他点 y=a(x-h)2+k 与x轴的两个交点+其他点 y=a(x-x1)(x-x2) 与x轴的一个交点+对称轴+其他点 任意三个点 y=ax2+bx+c 22 (2)代入点坐标：将已知点坐标代入相应表达式中，得到关于待定系数的方程(组). (3)求解：解方程(组)求出待定系数的值，从而得出函数的表达式. 23 练1 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为(2，4)，且经过点 (3，5)，求二次函数的表达式. 解：二次函数的表达式为y=(x-2)2+4=x2-4x+8. 24 练2 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴的交点坐标为(1，0)， (2，0)，且经过点(3，6)，求二次函数的表达式. 解：二次函数的表达式为y=3(x-1)(x-2)=3x2-9x+6. 25 练3 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1，8)，对称轴是直线 x=-2，且在x轴上截得的线段长为6，求二次函数的表达式. 解：二次函数的表达式为y=-(x+5)(x-1)=-x2-4x+5. 26 练4 已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其表达式. 解：(1)∵x=-=1，∴其对称轴为直线x=1. (2)二次函数的表达式为y=x2-3x+或y=-x2+2x-1. 27 命题点2 二次函数的图象与性质3地1考　 例2 【一题串考点·原创题】 已知二次函数y=ax2+bx+c，下表给出了两个变量x，y的对应关系. x … -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -3 -4 -3 0 5 … 28 (1)该函数的图象开口向　　　　，对称轴为直线　　　　，顶点坐标 为　　　　　　，函数的最小值为　　　　，该二次函数的图象与y轴 的交点坐标为　　　　　，与x轴的交点坐标为　　　　.  (2)-3≤x≤0时，y的最大值为　　　　，最小值为　　　　.  (3)当-1≤x≤2时，y的最大值为　　　　，最小值为　　　　　　.  (4)如果(-3，y1)，(2，y2)，(6，y3)在该二次函数图象上，那么y1，y2， y3之间的大小关系是　　　　　.  29 (5)已知点A(m，n)是抛物线上一点. ①若点A关于对称轴对称的点为B，且点B的坐标为(5，12)，则点A的 坐标为　　　　；  ②若点A与对称轴的距离d为5，则点A的坐标为　　　　　；当距离 d=4时，满足条件的点A有　　　　个.  (6)若(3，y1)，(a，y2)是抛物线上不同的两点，且y2=y1+5，则a的值为 　　　　　　　.  (7)二次函数的图象与x轴所围成的区域内(不含边界)整点(横、纵坐标都 为整数的点)的个数为　　　　.  30 【解题启发】 此二次函数的表达式是什么？图象是什么样的？增减性怎么判断？ 31 解：(1)上　x=1　(1，-4)　-4　(0，-3) (3，0)或(-1，0)　(2)12　-3　(3)0　-4 (4) y3 > y1 >y2 (5)①(-3，12)　②(6，21)或(-4，21)　2 (6)4或-2　(7) 7 32 【解题通法】 求函数最值的常用方法 　　求函数的最值时，若自变量的取值范围为x1≤x≤x2： (1)若对称轴在该范围内，则最大值、最小值都存在，在顶点和一端点处取得； (2)若对称轴不在该范围内，则最大值、最小值也都存在，在x1，x2处取得. 33 练5 (2024·乐山)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1)，当x=-1时，函数取得 最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　　)　　　 A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 C 34 命题点3 二次函数与方程、不等式的关系 3地0考 例3 (2024·济宁)将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得 到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是　　　　.  【解题启发】 平移得到的抛物线与x轴有交点，你能联想到什么？ k≥3 35 练6 抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为(　　) A.- B. C.-4 D.4 B 36 练7 (2024·泰安泰山模拟)已知二次函数y=a(x+k)2+h(a，k，h均为常数) 的图象与x轴的交点的横坐标分别为-2和5，则关于x的一元二次方程a(x+k+2)2+h=0的两个实数根分别是(　　) A.x1=-4，x2=3 B.x1=3，x2=7 C.x1=0，x2=7 D.x1=0，x2=3 A 37 练8 如图，二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=mx+n的图象交于A(-2，p)，B(1，q)两点，则关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集是　　　　.  -2<x<1 38 练9 【新考法】 开放性，由交点位置判断参数范围 (2023·泰州)二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧， 则n的值可以是　　　　　　　　　　.(填一个值即可)  -3(答案不唯一)　 39 命题点4 二次函数图象与几何变换3地0考　 例4 【一题串考点·原创题】 已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过 A(-1，0)，B(2，3)两点. (1)二次函数的表达式为　　　　，顶点坐标为　　　　.  (2)该二次函数的图象关于x轴对称的新抛物线的表达式是　　　　　； 关于y轴对称的新抛物线的表达式是　　　　　；绕顶点旋转180°后 的新抛物线表达式是　　　　；绕原点旋转180°后的新抛物线表达式 是　　　　.  40 (3)将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线L，求抛物线L的表达式. (4)将抛物线向左平移a(a>0)个单位长度得到抛物线M.若抛物线M与y轴的交点为(0，4)，求a的值. (5)如果将此二次函数的图象向上平移n个单位长度后过点P(m，4)，再将点P向右平移3个单位长度后得点Q，点Q恰好落在原二次函数y=-x2+bx+c的图象上，求n的值. 【解题启发】 抛物线的平移、旋转各有什么规律？ 41 【规范解答】 解：(1)y=-x2+2x+3　(1，4) (2)y=x2-2x-3　y=-x2-2x+3　y=x2-2x+5 y=x2+2x-3 (3)抛物线L的表达式为y=-x2-4x-2. (4)a=1. 42 (5)将此二次函数的图象向上平移n个单位长度后得到 新抛物线y=-(x-1)2+4+n. ∵新抛物线过点P(m，4)，∴4=-(m-1)2+4+n， ∴n=(m-1)2. ∵将点P向右平移3个单位长度后得点Q， ∴Q(m+3，4). ∵点Q恰好落在原二次函数y=-(x-1)2+4的图象上， ∴4=-(m+3-1)2+4，∴m+2=0， ∴m=-2，∴n=(m-1)2=9. 43 命题点5 二次函数图象与系数a，b，c的关系 3地2考 【核心母题】 在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②b2>4ac；③2a-b=0； ④a-b+c<0.其中正确的结论是　　　　　　.  ②④ 44 【解题启发】 开口向下，则a　　　　0；对称轴为直线x=1，则 　　　　=1；与y轴交点在y轴上半轴，则c　　　　0；与x轴的交点 有两个，则b2-4ac　　　　0.  45 【解题模板】 灵活探究二次函数图象与系数关系的技巧 ①由开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a，b，c的符号； ②由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac与0的关系； ③由对称轴的位置判断2a±b的符号； ④判断a±b+c，4a±2b+c的符号，令x=±1，x=±2，观察纵坐标； 46 ⑤判断a，c或b，c关系，利用对称轴与x等于某个值时y的式子联立求解； ⑥判断 (a+c)2与b2 的大小：先因式分解，再利用x等于某两个值的式子联立求解； ⑦判断a+b与m(am+b)的大小，由二次函数的增减性判断有关m(am+b)的不等式； ⑧判断二次函数与一元二次方程结合的根的情况，转化为抛物线与平行于x轴的直线的交点问题来求解. 47 【变式1】 判断与a，b，c有关的式子的符号 判断下列结论的正误，在括号内正确的打“√”，错误的打“✕”. ⑤3a+c>0(　　) ⑥(a+c)2<b2(　　) ⑦4a-2b+c<0(　　) ⑧4a+2b+c>0(　　) × √ √ √ 48 【变式2】 与增减性结合判断正误 判断下列结论的正误，在括号内正确的打“√”，错误的打“✕”. ⑨若m为任意实数，则有a+b≥m(am+b)(　　) ⑩若y≥0，则0≤x≤2(　　) √ × 49 【变式3】 与一元二次方程结合考查根的情况 判断下列结论的正误，在括号内正确的打“√”，错误的打“✕”. ⑪关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-1，x2=3(　　) ⑫关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根(　　) ⑬关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根大于-1，一个根小于3(　　) × √ √ 50 建议用时：10分钟 1.已知抛物线y=(x-2)2+1，下列结论错误的是(　　)　　　 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=2 C.抛物线的顶点坐标为(2，1) D.当x<2时，y随x的增大而增大 D 1 3 5 7 题序 2 4 6 51 2.(2024·青岛)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，则过点M(c，2a-b)和点N(b2-4ac，a-b+c)的直线一定不经过(　　) A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限　 D.第四象限 C 1 3 5 7 题序 2 4 6 52 3.(2024·东营)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列 结论正确的是(　　) A.abc<0 B.a-b=0 C.3a-c=0 D.am2+bm≤a-b(m为任意实数) D 1 3 5 7 题序 2 4 6 53 4.(2024·滨州)将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个 单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为　　　　.  (1，2)　 1 3 5 7 题序 2 4 6 54 5.(2023·上海)一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其 对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是 　　　　　　　　　　　　.  y=-x2+1(答案不唯一) 1 3 5 7 题序 2 4 6 55 6.已知函数y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点， 则实数m的值为　　　　.  1或-　 1 3 5 7 题序 2 4 6 56 7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表： x -5 -4 -2 0 2 y 6 0 -6 -4 6 1 3 5 7 题序 2 4 6 57 下列结论： ①a>0； ②当x=-2时，函数最小值为-6； ③若点(-8，y1)，(8，y2)在二次函数图象上，则y1<y2； ④方程ax2+bx+c=-5有两个不相等的实数根. 其中正确结论的序号是　　　　.(把所有正确结论的序号都填上)  ①③④　 1 3 5 7 题序 2 4 6 58 $$