14方法专题二 平面直角坐标系中的面积问题-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 3 类型1 一条边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的图形的面积 【学会模型】 解法 以在坐标轴(或平行于坐标轴)上的边为底，再作底边上的高，利用公式或和差法求面积 图形 结论 S△ABC=AB·CD S△ABC=AB·CD 方法1：S四边形ABCD=S△AED +S梯形DEFC+S△CFB 方法2：S四边形ABCD= S梯形DABH-S△DGC-S梯形GCBH 4 例1 如图，在△ABC中，点A，B，C的坐标分别为(1，0)，(6，0)， (2，4)，求△ABC的面积. 【解题启发】 以哪条边为底，计算最简单？ 【规范解答】 解：∵AB=6-1=5，∴S△ABC=AB·4=×5×4=10. 5 【运用模型】 练1 如图，经过点B(1，0)的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P(-1，n). (1)求n的值； (2)求△PAB的面积. 6 解：(1)∵点P(-1，n)在直线l2：y=2x+4上， ∴2×(-1)+4=n，∴n=2. (2)∵直线l2：y=2x+4与x轴相交于点A， ∴点A的坐标为(-2，0)，∴AB=3， ∴S△PAB=×3×2=3. 7 练2 如图，四边形OABC在平面直角坐标系内，O，A，B，C四点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(5，4)，(6，0)，求四边形OABC的面积. 8 解：方法一：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作 BE⊥x轴于点E. 由点的坐标的意义可知AD=2，OD=1，DE=4，EC=1， BE=4， ∴S四边形OABC=S△AOD+S直角梯形ADEB+S△BEC =×1×2+×(2+4)×4+×1×4=1+12+2=15， ∴四边形OABC的面积为15. 9 方法二：如图，过点B作BF⊥y轴于点F，过点C作CG⊥BF，交FB的延长线于点G，过点A作AH⊥BF于点H. S四边形OABC=S矩形OCGF-S△BCG-S△ABH-S直角梯形AHFO =4×6-×4×1-×2×4-×(2+4)×1 =24-2-4-3=15， ∴四边形OABC的面积为15. 10 练3 如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象交于A，B两点，点A的坐标为(m，2)，点B的坐标为(-4，n)，OA与x轴正半轴夹角的正切值为，AE⊥x轴，直线AB交y轴于点C，过点C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD，BD. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求四边形OCBD的面积. 11 解：(1)∵OA与x轴正半轴夹角的正切值为， ∴=. ∵A(m，2)，∴AE=2，OE=m=6， ∴点A的坐标为(6，2)，∴k=6×2=12. ∵点B在反比例函数图象上，∴-4n=12，解得n=-3， ∴点B的坐标为(-4，-3). 12 将点A(6，2)，B(-4，-3)代入一次函数y=ax+b得 解得 ∴一次函数的表达式为y=x-1，反比例函数的表达式为y=. 13 (2)当x=0时，y=x-1=-1，∴点C的坐标为(0，-1). ∵CD⊥y轴，∴点D的纵坐标为-1. ∵点D在反比例函数y=的图象上， ∴点D的横坐标为-12，∴CD=12， ∴S四边形OCBD=S△OCD+S△BCD=×12×1+×12×2=18. 14 类型2三条边都不在坐标轴上(或不平行于坐标轴)的图形的面积 【学会模型】 图形及辅助线作法 结论 过动点P作y轴的平行线， 与定线段AB交于点Q 图1铅垂法(作和)： S△ABP=S△APQ+S△BPQ=PQ·|xA-xB| 图2铅垂法(作差)： S△ABP=S△APQ-S△BPQ=PQ·|xA-xB| 15 图形及辅助线作法 结论 连接OP 和差法(分割求和、补形作差)： S△ABP=S△AOP+S△BOP-S△AOB 16 图形及辅助线作法 结论 l1∥l2∥l3 转化法(同底等高)： S△ACB=S△ABM=S△ABN 17 图形及辅助线作法 结论 将四边形沿对角线分割成2个三角形求面积 和差法：S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC 18 例2 如图，在△AOB中，点A，O，B的坐标分别是(1，5)，(0，0)， (4，2)，求△AOB的面积. 【解题启发】 你能用几种方法求△AOB的面积？ 19 【规范解答】 解：方法一：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BC⊥x轴于点C.分别延长线段EA和线段CB，使它们相交于点D，则∠EDC=90°.由A，B两点的坐标可知OC=4，BC=2，BD=3，AD=3，AE=1，OE=5. S△AOB=S矩形EOCD-S△AEO-S△ABD-S△OBC=4×5-×5×1-×3×3-×4×2=20---4=9. 方法二：如图，过点A作AP∥y轴交OB于点P， 由题易知yOB=x，当x=1时，y=，∴P(1，)， ∴AP=5-=， ∴S△OAB=AP·|xB-xO|=××4=9. 20 【运用模型】 练4 如图，已知正比例函数y1=x的图象与反比 例函数y2=的图象相交于点A(3，n)和点 B. (1)求n和k的值； (2)如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE，OE，求△AOE的面积. 解：(1)n=4，k=12. (2)S△AOE=10. 21 练5 如图，四边形ABCD的四个顶点在平面直角坐标系内.A，B，C，D四个点的坐标分别为(4，4)，(-3，2)，(2，-1)，(5，2).求四边形ABCD的面积. 解：由题易知BD=5-(-3)=8， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×8×2+×8×3=20. 22 练6 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-，0)，点B在直线l：y=x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C.点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D.若∠CBO=45°，求四边形ABOC的面积. 23 解：如图，过点A作AM⊥OB于点M，过点M作MN⊥y轴于点N. ∵点M在直线l：y=x上，∴设M(m，m)， ∴MN=|m|=-m，ON=|m|=-m. 在Rt△MON中，tan∠OMN==，OA∥MN， ∴∠AOM=∠OMN，∴tan∠AOM=，即=. 设AM=3n，则OM=8n. ∵点A的坐标为(-，0)，∴OA=， 在Rt△AOM中，AM2+OM2=OA2， 24 ∴(3n)2+(8n)2=()2，解得n=1(n=-1舍去)， ∴AM=3，OM=8. ∵∠CBO=45°，CO⊥BO，∴△BOC是等腰直角三角形. ∵BC⊥AB，∠CBO=45°，∴∠ABM=45°. ∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形， ∴AM=BM=3，BO=CO=OM-BM=5， ∴在等腰直角三角形ABM中，AB=AM=3， 在等腰直角三角形BOC中，BC=BO=5， ∴S△ABC=AB·BC=15，S△BOC=BO·CO=， ∴S四边形ABOC=S△ABC+S△BOC=. 25 $$