13综合考点一 反比例函数的综合应用-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第一、二章 3 目 录 难点分层探究 好题随堂演练 4 命题点　　反比例函数的综合应用3地3考　 【核心母题】 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数y=(x>0) 的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D.若点D的坐标为(4，m)，AD=3. (1)求反比例函数y=的表达式； (2)经过C，D两点的直线表达式是　　　　　；  (3)连接OD，CD，求△OCD的面积. 5 【解题启发】 (1)你能用含m的式子表示点C和点D的坐标吗？ (2)你能用什么方法求一次函数表达式？ (3)△OCD的底怎么确定？你能用什么方法求出△OCD的面积. 6 【规范解答】 解：(1)反比例函数的表达式为y=. (2)y=-x+3.　(3)S△OCD=3. 7 【变式1】 和差法或等积转化法求面积 在核心母题的条件下，E是反比例函数y=(x>0)图象上的一点，且横坐标为1，连接OE，CE，请求出直线CE的表达式及△OCE的面积. 8 解：∵点E的横坐标为1，代入y=得y=4， ∴E(1，4). 设直线CE的表达式为y=k1x+b1. 将点C，E的坐标代入y=k1x+b1得 解得 ∴直线CE的表达式为y=-2x+6. 如图，延长EC交x轴于点M. ∵直线CE的表达式为y=-2x+6， ∴当y=0时，x=3，∴M(3，0)， ∴S△OCE=S△OEM-S△OCM=×3×4-×3×2=3. 9 【变式2】 直接利用公式求面积 (2024·泰安)直线y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=- 的图象相交于点A(-2，m)，B(n，-1)，与y轴交于点C. (1)求直线y1的表达式； (2)若y1>y2，请直接写出满足条件的x的取值范围； (3)过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积. 解：(1)直线y1的表达式为 y1=-x+3. (2)x<-2或0<x<8.　(3)S△ACD=. 10 【变式3】 利用平行线进行等积转化 (2024·凉山)如图，正比例函数y1=x与反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(m，2). (1)求反比例函数的表达式； (2)把直线y1=x向上平移3个单位长度与y2=(x>0) 的图象交于点B，连接AB，OB，求△AOB的面积. 解：(1)反比例函数的表达式为y2=. (2)S△AOB=6. 11 【变式4】 利用铅垂法求面积 (2024·自贡)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(-6，1)， B(1，n)两点. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点P是直线x=-2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P的坐标； (3)点Q在反比例函数y=位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出点Q的坐标. 12 解：(1)反比例函数的表达式为y=-. 一次函数的表达式为y=-x-5. (2)点P的坐标为(-2，3)或(-2，-9). (3)点Q的坐标为(，-)或(3，-2). 13 【变式5】 与角度结合 (改编题)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x<0)的图象相交于点A(-1，6)，与x轴交于点C，且∠ACO=45°. (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)D是线段AC上一点，且∠AOD=45°， 求出点D的坐标. 解：(1)反比例函数的关系式为y=-. 一次函数关系式为y=-x+5. (2)D(). 14 【变式6】 与线段最值结合 (改编题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A(1，2)和B(-2，m). (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)在平面内存在一点P，且∠APB=90°， 请求写出OP的最小值和最大值. 15 解：(1)反比例函数的表达式为y2=. 一次函数的表达式为y1=x+1. (2)∵∠APB=90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，如图. 设AB的中点为Q， 当P，O，Q三点共线且O， P在AB的同侧时OP有最小值. 16 ∵A(1，2)，B(-2，-1)， ∴AB==3， ∴PQ=AB=. ∵AB的中点为Q，∴Q(-)，∴OQ=， ∴OP=PQ-OQ=，故OP的最小值为. 当P，O，Q三点共线且O，P在AB的异侧时OP有最大值， ∴OP=PQ+OQ=2，故OP的最大值为2. 17 【变式7】 与平移结合 (改编题)如图，在菱形ABCD中，AD∥x轴，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)，CD边所在直线y1=mx+n与x轴交于点C，与双曲线y2=(x<0)交于点D. (1)求直线CD的函数表达式及k的值； (2)把菱形ABCD沿y轴的正方向平移多少个 单位长度后，点C落在双曲线y2=(x<0)上？ 18 解：(1)∵点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)， ∴AB==5. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=AB=5， ∴D(-5，4)，C(-2，0). 把C，D两点坐标分别代入直线表达式可得解得 ∴直线CD的函数表达式为y1=-x-. ∵点D在反比例函数的图象上，∴4=，∴k=-20. 19 (2)∵C(-2，0)， 把x=-2代入y2=-(x<0)得，y=-=10， ∴把菱形ABCD沿y轴的正方向平移10个单位长度后，点C落在双曲线y2=-(x<0)上. 20 【变式8】 结合特殊图形的存在性 在平面直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO=10，sin∠AOB=，反比例函数y=(k>0)的图象经过AO的中点C且与AB交于点D. (1)求k的值. (2)在x轴上是否存在点P，使得△OCP为等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标. 21 解：(1)如图，过点C作CE⊥OB于点E. ∵AB⊥OB，CE⊥OB，∴CE∥AB. 又∵点C为OA的中点， ∴点E为OB的中点，即CE为△AOB的中位线， ∴CE=AB，OE=OB. 22 在Rt△AOB中，AO=10，sin∠AOB=， ∴sin∠AOB=，即AB=10×=6， 根据勾股定理得OB==8， ∴OE=4，CE=3，∴点C的坐标为(4，3). 将点C(4，3)代入y=中得k=12，∴k的值为12. (2)存在.点P的坐标为(8，0)或(-5，0)或(5，0)或(，0). 23 建议用时：15分钟 1.(2024·烟台)如图，正比例函数y=x与反比例函数y=的图象交于点 A(，a)，将正比例函数图象向下平移n(n>0)个单位长度后，与反比例 函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴、y轴交于点D，E，且满足BE∶CE=3∶2.过点B作BF⊥x轴，垂足为F，G为x轴上一点，直线BC与 BG关于直线BF成轴对称，连接CG. (1)求反比例函数的表达式； (2)求n的值及△BCG的面积. 1 3 题序 2 24 解：(1)∵正比例函数y=x与反比例函数y=的图象交于点A(，a)，∴a=，∴A()，∴k=×=6， ∴y=. (2)∵A()，∴tan∠AOD==1，∴∠AOD=45°. ∵将正比例函数图象向下平移n(n>0)个单位长度， ∴平移后的表达式为y=x-n. 1 3 题序 2 25 如图，过点B，C作x轴的平行线交y轴于点M，N， 则△BME，△CNE是等腰直角三角形， ∴∠BEM=∠CEN=45°，∴BM∥CN， ∴△BME∽△CNE，∴==. 1 3 题序 2 26 设B(3m，)，则BM=3m，CN=2m，∴C(-2m，-). ∵点B(3m，)，C(-2m，-)在一次函数y=x-n上， ∴ 解得(负值已舍去) ∴B(3，2)，C(-2，-3)， 1 3 题序 2 27 ∴直线BC的表达式为y=x-1，BC==5. 当y=0时，x=1，∴D(1，0)， ∴BF=DF=2，OE=OD=1，∴DE=. ∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称，BF⊥x轴， ∴DF=FG=2，△BFD和△BFG是等腰直角三角形， ∴G(5，0)，∴BD=BG=2，∴∠DBG=90°， ∴S△BCG=BG·BC=×2×5=10. 1 3 题序 2 28 2.(2024·淄博)如图，一次函数y=k1x+2的图象与反比例函数y=的图象相交于A(m，4)，B两点，与x，y轴分别相交于点C，D，且tan∠ACO=2. (1)分别求这两个函数的表达式. (2)以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴 相交于点E，连接AE，BE.求△ABE的面积. (3)根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2>的解集. 1 3 题序 2 29 解：(1)令x=0，则y=k1x+2=2，∴OD=2，∴D(0，2). ∵tan∠ACO==2，∴OC=1，∴C(-1，0). 将点C(-1，0)代入y=k1x+2得-k1+2=0，∴k1=2， ∴y=2x+2. 将点A(m，4)代入y=2x+2得m=1，∴A(1，4). ∵k2=xy=4，∴反比例函数的表达式为y=. 1 3 题序 2 30 (2)联立解得或∴B(-2，-2). 如图，连接DE，过点B作BH⊥y轴于点H. 在Rt△DOE和Rt△BHD中， ∴Rt△DOE≌Rt△BHD(HL)，∴OE=DH=4， ∴S△ABE=S△ACE+S△BCE=CE·yA+CE·|yB|=×5×4+×5×2=15. (3)当-2<x<0或x>1时，k1x+2>. 1 3 题序 2 31 3.在平面直角坐标系中，已知一次函数y1=k1x+b与坐标轴分别交于A(5，0)，B(0，)两点，且与反比例函数y2= 的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当y2>y1时，求x的取值范围； (3)若点C为线段OA上的一个动点，当 PC+KC 最小时，求△PKC的面积. 1 3 题序 2 32 解：(1)∵一次函数y1=k1x+b与坐标轴分别交于A(5，0)，B(0，)两点， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y1=-x+. ∵△OAP的面积为，∴OA·yP=，∴yP=. 1 3 题序 2 33 ∵点P在一次函数图象上， ∴令-x+=，解得x=4，∴P(4，). ∵点P在反比例函数y2=的图象上，∴k2=4×=2， ∴一次函数的表达式为y1=-x+， 反比例函数的表达式为y2=. 1 3 题序 2 34 (2)令-x+=，解得x=1或x=4，∴K(1，2). 由图象可知，当y2>y1时，x的取值范围为0<x<1或x>4. 1 3 题序 2 35 (3)如图，作点P关于x轴的对称点P'，连接KP'，线段KP'与x轴的交点即为点C. ∵P(4，)，∴P'(4，-)，∴PP'=1， ∴直线KP'的表达式为y=-x+. 令y=0，解得x=，∴C(，0)， ∴S△PKC=(xC-xK)·PP'=×(-1)×1=， ∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为. 1 3 题序 2 36 $$