11第三章 第三节 反比例函数的图象与性质-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第三节　反比例函数的图象与性质 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 反比例函数的概念及表达式 1.一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=(k为常数， k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.其中反比例函数的自变量x的 取值范围是___________的实数.  2.反比例函数表达式的三种形式 (1)y=(k为常数，k≠0). (2)y=kx-1(k为常数，k≠0). (3)xy=k(k为常数，k≠0). 　不为0　 5 知识点2 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是____________，它有两个分支 且关于________对称.  2.画反比例函数图象的一般步骤 (1)列表.(2)描点.(3)连线. 　双曲线　 　原点 6 3.图象与性质 k的符号 k>0 k<0 图 象 的 位置 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 性　　质 在每一象限内，y的值随 x值 的增大而________；在不 同象限内，第一象限y值 大于第三象限y值  在每一象限内，y的值随x值 的增大而 ________；在不同 象限内，第二象限y值大于 第四象限y值  减小　 增大　 7 知识点3 反比例函数中k的几何意义 1.如图，过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN， 垂足分别为M，N，所得矩形PMON的面积S=|xy|=________.  　|k|　 8 2.反比例函数图象中有关图形的面积 S△AOP=|k| S△OBP=|k| 9 S△APP'=2|k| S△ABC=|k| 10 S矩形OAPB=|k| S▱ABCD=|k| 11 知识点4 确定反比例函数的表达式 1.方法：待定系数法(常常还会利用k的几何意义求表达式，具体见上述知识点) 2.步骤 (1)设所求反比例函数表达式为y=(k为常数，k≠0)； (2)找出满足反比例函数表达式的点P(a，b)； (3)将点P(a，b)代入表达式得k=ab； (4)确定反比例函数表达式y=. 12 命题点1 确定反比例函数的表达式3地3考　 例1 (2024·山东)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y=部分自变量与函数值的对应关系： 13 (1)求a，b的值，并补全表格； (2)结合表格，当y=2x+b的图象在y=的图象上方时，直接写出x的取值范围. 【解题启发】 怎样求函数表达式？ x - a 1 2x+b a 1 　　　  　　　  　　　  7 14 【规范解答】 解：(1)a=-2，b=5. 补全的表格如下. x - -2 1 2x+b -2 1 7 -2 - 7 (2)-<x<0或x>1. 15 练1 (2023·青岛)反比例函数y= 的图象经过点A(m，)，则反比例函数 的表达式为　　　　.  y= 16 练2 (2024·潍坊)如图，正比例函数y=-x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点是A(m，).点P(2，n)在直线y=-x上，过点P作y轴的平行线，交反比例函数y=的图象于点Q. (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求△OPQ的面积. 解：(1)反比例函数的表达式为y=-. (2)S△OPQ=. 17 命题点2 反比例函数的图象与性质3地0考　 例2 【一题串考点·原创题】 已知反比例函数y=(k≠-1). (1)若该反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大， 则k的取值范围为　　　　；  (2)当k=2时，此反比例函数图象在第　　　　象限，关于直线 　　　　　　　对称；  (3)若点A(3，2)，B(a，6)在反比例函数y=(k≠-1)的图象上， 则k=　　　　，a=　　　　；  k<-1　 一、三　 y=-x或y=x　 5 1 18 (4)若k>0，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数的图象上， 且x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3的大小关系是　　　　　　；  (5)若点P(x，y)在反比例函数y=的图象上，则点 Q(-x，-y)　　　(填 “在”或“不在”)反比例函数y=的图象上.  【解题启发】 反比例函数的图象是　　　　　，关于　　　　成中心 对称.如何判断反比例函数增减性？  y1<y3<y2　 在 19 【易错警示】 判断反比例函数增减性的注意点 　　正确理解反比例函数的增减性，注意自变量的取值范围，不能笼统地说y随x的增大而增大(或减小)，应指明在某一象限内函数的增减变化情况. 20 练3 (2023·武汉)关于反比例函数y=，下列结论正确的是(　　) A.图象位于第二、四象限 B.图象与坐标轴有公共点 C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D.若图象经过点(a，a+2)，则a=1 C 21 练4 (北师大版九上P161T6改编)函数y=-ax+a与y=-(a≠0)在同一直角 坐标系中的图象可能是(　　) D 22 练5 (2024·济宁)已知点 A(-2，y1)，B(-1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y=(k<0) 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)　　　　　　　　　　 A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 C 23 练6 【新考法】 反比例函数最值与幂的运算结合 (2024·包头)若反比例函数y1=，y2=-，当1≤x≤3时，函数y1的最大值 是a，函数y2的最大值是b，则ab=　　　　.  24 命题点3 反比例函数k的几何意义3地1考　 例3 如图，点A在反比例函数y=的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足 为B，点C在y轴上. 若△ABC的面积为2，则k的值为(　　)　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.2 C.-4 D.4 【解题启发】 △ABC的面积与k之间 有什么关系？ C 25 练7 如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO=90°，反比例 函数y= 经过AC的中点D，则△AOC的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 B 26 练8 (2023·威海)如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y=(x>0)的图象上.点A的坐标为(m，2).连接OA，OB，AB.若OA=AB，∠OAB=90°，则k的值为　　　　.  2-2 27 练9 如图，一次函数y=x+k(k>0)的图象与 x轴和y轴分别交于点A和点B， 与反比例函数 y=的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴， 垂足分别为D，E.当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为　　.  2 28 命题点4 反比例函数的实际应用3地0考　 例4 (2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置， 其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器 狗载重后总质量m=60 kg时，它的最快移动速度v=6 m/s；当其载重后总 质量m=90 kg时，它的最快移动速度v=　　　m/s.  【解题启发】 怎么求出最快移动速度v(m/s)与载重后总质量m(kg)的关系 式？ 4 29 练10 (2024·南通)【跨学科·物理】 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是　　　　　.  R≥3.6 30 1.(2024·泰安东平一模)在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+n与y= (其中m，n是常数，mn≠0)的大致图象可能是(　　) C 1 3 5 题序 2 4 6 31 2.(2023·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x-2与反比例 函数 y2=的图象交于A，B两点，下列结论正确的是(　　) A.当x>3时，y1<y2 B.当x<-1时，y1<y2 C.当0<x<3时，y1>y2 D.当-1<x<0时，y1<y2 B 1 3 5 题序 2 4 6 32 3.(2023·济南)已知点A(-4，y1)，B(-2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)　　　　　　　 A.y3<y2<y1 B.y1<y3<y2 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 C 1 3 5 题序 2 4 6 33 4.(2024·德州模拟)【跨学科·物理】 已知蓄电池的电压U(单位：V)为定 值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关 系，它的图象如图所示.下列说法不正确的是(　　) A.当I≤10 A时，R≤4 Ω B.蓄电池的电压是40 V C.当R=8 Ω时，I=5 A D.函数的表达式I=(R>0) A 1 3 5 题序 2 4 6 34 5.(2024·威海)如图，在平面直角坐标系中，直线y1=ax+b(a≠0)与双曲线 y2=(k≠0)交于点A(-1，m)，B(2，-1)，则满足y1≤y2的x的取值范围 　　　　　　　　　　.  -1≤x<0或x≥2　 1 3 5 题序 2 4 6 35 6.(2024·呼伦贝尔)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 (5，0)，(2，6)，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，D为线段AB上的一点， 且BD=2AD，反比例函数y=(x>0)的图象经过点D交线段BC于点E， 则四边形ODBE的面积是　　　　.  12　 1 3 5 题序 2 4 6 36 $$