10第三章 第二节 一次函数及其应用-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第二节　一次函数及其应用 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层探究 好题随堂演练 4 知识点1 一次函数和正比例函数的概念 1.一次函数：若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b 为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量，y为因变量). 其结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③常数项b可为任意实数. 2.当b=_____时，y=kx(k≠0)为正比例函数，正比例函数是特殊的一次 函数.  0　 5 知识点2 一次函数的图象与性质 函数名称 正比例函数 一次函数 表 达 式 y=kx(k≠0) y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 图象形状 及特点 过原点的一条直线 过点(0，b)且平行于y=kx 的一条直线 作图方法 过点(0，0)， (1，k)作直线 过点(0，b)，(-，0)作直线 6 增大　 一、二、 三　 一、三、 四 减小　 一、二、 四　 二、三、 四 7 【知识拓展】 　　某些特殊一次函数的图象与 x 轴所成锐角度数：y=±x+b 与 x 轴所成锐角为 45°，y=±x+b 与 x 轴所成锐角为 60°，y=±x+b 与x轴所成锐角为 30°. 8 知识点3 确定一次函数的表达式 1.待定系数法 (1)设：设一次函数的表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0). (2)代：将两点坐标A(a1，b1)，B(a2，b2)分别代入表达式中，得到含k，b的方程组. (3)解：解方程组，求得k，b的值. (4)还原：将k，b的值代回表达式中，从而得出函数表达式. 9 2.一次函数图象的平移 平移前表达式为y=kx+b. 平移方向(a>0) 平移后表达式 向左平移a个单位长度 y=k(x+a)+b 向右平移a个单位长度 y=k(x-a)+b 向上平移a个单位长度 y=kx+b+a 向下平移a个单位长度 y=kx+b-a 10 【方法指导】 一次函数图象的变化与表达式的确定 (1)一次函数图象的平移，可记为“左加右减、上加下减”.注意与点的平移的区分，点的平移是“左减右加，上加下减”； (2)若一次函数y1=k1x+b1，y2=k2x+b2平行，则 k1=k2且b1≠b2. 11 3.一次函数图象的旋转 旋转90°：旋转后的函数表达式中的k2与旋转前的k1的值的乘积为-1. 12 知识点4 一次函数与方程(组)、不等式的关系 1.一次函数与方程(组)的关系 (1)一次函数y=kx+b的表达式是一个二元一次方程. (2)一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标是方程__________的根.  (3)一次函数y=k1x+b1与一次函数y=k2x+b2的图象的交点坐标就是方程 组______________的解.  kx+b=0　 13 2.一次函数与不等式的关系 (1)直线y=kx+b在x轴上方的点的横坐标就是不等式____________的解集.  (2)直线y=kx+b在x轴下方的点的横坐标就是不等式____________的解集.  　kx+b>0　 　kx+b<0　 14 (3)直线l1：y1=k1x+b1，l2：y2=k2x+b2的图象在平面直角坐标系的位置与函数值之间的关系：当直线l1在直线l2上方时，y1>y2；当直线l1在直线l2下方时，y1<y2. 15 知识点5 一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题，先建立函数模型，然后求出函数表达式，最后根据函数表达式、函数性质作答. 16 命题点1 确定一次函数的表达式3地2考　 例1 (改编题)如图，直线y=x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A'，经过点A'和y轴上的点B(0，2)的直线设为y=kx+b. (1)求点A'的坐标； (2)确定直线A'B对应的函数表达式. 17 【解题启发】 (1)点A关于y轴对称的点A'，　　　　坐标不变，　　　　坐标为相反数；  (2)你知道什么是待定系数法吗？ 18 【规范解答】 解：(1)令y=0，则x+1=0， ∴x=-2，∴A(-2，0). ∵点A关于y轴的对称点为A'，∴A'(2，0). (2)将A'(2，0)，B(0，2)两点分别代入y=kx+b 得解得 ∴直线A'B对应的函数表达式为y=-x+2. 19 练1 (2024·陕西)一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，-6). 若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为(　　)　　 A.y=3x B.y=-3x C.y=x D.y=-x A 20 练2 (2024·山西)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长 y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间 的关系式为(　　) 尾长x(cm) 6 8 10 体长y(cm) 45.5 60.5 75.5 A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5 C.y=15x D.y=15x+45.5 A 21 命题点2 一次函数的图象与性质3地0考　 例2 【一题串考点·原创题】 已知函数y=(3a-1)x+2a+3(a≠). (1)若 y是关于x的正比例函数，则a的值为　　　　；  (2)若该函数的值y随着自变量x的增大而增大，则a的取值范围为 　　　　；  (3)当a<时，若(-3，y1)，(-1，y2)，(2，y3)都是该函数图象上的点， 则y1，y2， y3的大小关系为　　　　　　；  - a> y1>y2>y3 22 (4)当a=1时，该函数图象与x轴的交点坐标为　　　　，与y轴的交点 坐标为　　　，关于x的方程(3a-1)x+2a+3=0的解为　　　　；  (5)若该函数图象与y轴的交点为(0，-3)，则a的值为　　　，此时图象 不经过第　　象限；  (6)若该函数经过第一、二、四象限，则a的取值范围为　　　　；  (7)当-1≤x≤5时，y=(3a-1)x+2a+3的最大值为6，则a的值为　　　　.  (-，0)　 (0，5)　 x=-　 -3 一 -<a<　 -2或 23 【解题启发】 什么是正比例函数？一次函数与坐标轴的交点怎么求？怎么判断一次函数的增减性？一次项系数与函数图象的倾斜度和方向有什么关系？ 24 命题点3 一次函数与方程(组)、不等式的关系 3地0考 例3(2023·德州)已知直线y=3x+a与直线 y=-2x+b交于点P，若点P的 横坐标为-5，则关于x的不等式3x+a<-2x+b的解集为(　　) A.x<-5 B.x<3 C.x>-2 D.x>-5 【解题启发】 两直线图象与不等式有什么联系？ A 25 练3 如图，直线y=x+b和 y=kx+4与x轴分别相交于点A(-4，0)、 点B(2，0)，则的解集为(　　) A.-4<x<2 B.x<-4 C.x>2 D.x<-4或x>2 A 26 命题点4 一次函数的平移、旋转3地0考　 例4 【一题串考点·原创题】 已知两直线：l1的表达式为y=k1x+b1，l2的表达式为y=k2x+b2. 事实上，若l1∥l2，则有k1=k2；若l1⊥l2，则有 k1k2=-1. 应用： (1)已知直线a，b的表达式分别为y1=2x+1，y2=mx-1， ①若直线a∥b，则m=　　　　；  ②若直线a⊥b，则m=　　　　.  27 (2)有一直线c经过原点，且与y=-x+3垂直，将直线c向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到直线d，求直线d的表达式. (3)将直线d绕原点顺时针旋转90°，得到直线e，求直线e的表达式. 28 【解题启发】 若两直线平行，则k1　　　　k2. 若两直线垂直， 则k1k2=　　　　.函数平移遵循“上　　　　下　　　　， 左　　　　右　　　　”的规律.  29 【规范解答】 解：(1)①2　②- (2)∵直线c经过原点，且与y=-x+3垂直， ∴直线c的表达式为y=3x. ∵将直线c向下平移2个单位长度，向左平移3个单位长度后得到直线d， ∴直线d的表达式为y=3(x+3)-2，即y=3x+7. 30 (3)∵将直线d绕原点顺时针旋转90°，得到直线e， ∴设直线e的表达式为y=-x+b. 易知y=3x+7经过点(0，7)，∴直线e经过点(7，0)，代入得-×7+b=0，解得b=， ∴直线e的表达式为y=-x+. 31 练4 (2024·苏州)直线l1：y=x-1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针 旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是　　　　　　.  练5 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-1经过点A(3，2)，与y轴交于 点B. (1)k的值为　　　　.  (2)将直线AB平移，使它与x轴交于点C，与y轴交于点D.若△ABC的 面积为6，则直线CD的表达式为　　　　　　　　.  y=x-　 1 y=x-5或y=x+3 32 命题点5 一次函数的实际应用3地2考　 考法❶　文字型问题 【核心母题1】 (2023·青岛)某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价(元/件) 45 60 售价(元/件) 66 90 33 (1)第一次进货时，服装店用6 000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变.服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的 2倍.设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元. ①请求出W与m的函数关系. ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由. 34 【解题启发】 (1)售价、进价、购进量、利润之间的等量关系是什么？ (2)①第二次进货的进价和售价是怎么变化的？ ②如何判断服装店第二次获利能否超过第一次获利？ 【规范解答】 解：(1)全部售完获利2 880元. (2)①W与m的函数关系式为W=-4m+3 000(50≤m<150). ②服装店第二次获利不能超过第一次获利. 35 【变式1】 费用问题 (2023·烟台)中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》 《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，书中许多问题浅显有趣.某书店的 《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买 《周髀算经》多买5本. (1)求两种图书的单价分别为多少元. (2)为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买 的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折 优惠，两种图书均按八折出售.求两种图书分别购买多少本时费用最少. 解：(1)《周髀算经》的单价为40元，《孙子算经》的单价为30元. (2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两种图书总费用最少. 36 【变式2】 方案问题 (2024·深圳)   背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”.深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车 素材 如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长 1 m，每增加一辆购物车，车身增加0.2 m 37 问题解决   任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式 任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6 m，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车 任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案 38 解：任务1 根据题意得L=0.2(n-1)+1=0.2n+0.8， ∴车身总长L与购物车辆数n的表达式为L=0.2n+0.8. 任务2　 当L=2.6时，0.2n+0.8=2.6， 解得n=9，2×9=18(辆). 答：直立电梯一次性最多可以运输18辆购物车. 39 任务3　 设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输n次. ∵100÷24=4，∴根据题意得 解得m≥.∵m为正整数，且m≤5，∴m=2，3，4，5， ∴共有4种运输方案. 40 考法❷　图象型问题 【核心母题2】 (2023·威海)一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y(千米) 与行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5时，y与x之间的 函数表达式为 y=60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为　　　　　.   【解题启发】 通过图象你能得到哪些基本信息？ y=80x-10　 41 【解题模板】 (1)直线型函数图象：已知函数图象的两点坐标，利用待定系数法即可求得该函数表达式，继而解决实际问题. 42 (2)拐点型函数图象： ①分清图象的横、纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围； ②注意分段函数要分情况讨论； ③分析拐点：图象上的拐点既是前一段函数图象的终点，又是后一段函数图象的起点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化，注意分析拐点要不重不漏； ④分析平行线：平行线表示函数值随自变量的变化而保持不变； ⑤双线型找交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是两个函数值大小关系的“分界点”. 43 【变式1】 单人单线型 (2024· 呼伦贝尔)已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上.下面的图象 反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃 早餐，饭后骑自行车到图书馆.图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离. 结合图象给出下列结论： (1)体育场离该同学家2.5 km. (2)该同学在体育场锻炼了15 min. (3)该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍. (4)若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75. 其中正确结论的个数是(　　)　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 C 44 【变式2】 注水、放水型 如图1是甲、乙两个完全相同的圆柱形水槽的轴截面示意图，在乙槽中放入一圆 柱形实心铁块，两水槽在下侧位置连通(由连通阀门控制水流，连通阀门处的水 量忽略不计).现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中 水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的函数关系如图2所示，则线段CD所在直线 的函数表达式为　　　　　　.  y=-x+29 45 【变式3】 双人双线型 (2024·济南)某公司生产了A，B两款新能源电动汽车.如图，l1，l2分别表 示A款、B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW·h)与汽车行 驶路程x(km)的关系.当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时， A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余 电量多　　kW·h.　  12 46 【变式4】 双人单线型 (2024·威海)同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间.甲、乙 两车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变，乙车中 途休息一段时间，继续行驶.下图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时 间x(h)的函数关系.下列结论正确的是(　　) A.甲车行驶 h与乙车相遇 B.A，C两地相距220 km C.甲车的速度是70 km/h D.乙车中途休息36 min A 47 建议用时：10分钟 1.将直线y=2x+1向上平移2个单位长度，相当于(　　) A.向左平移2个单位长度 B.向左平移1个单位长度 C.向右平移2个单位长度 D.向右平移1个单位长度 B 1 3 5 题序 2 4 6 48 2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b与直线y=-3x+6相交于点A， 则关于x，y的二元一次方程组的解是(　　)　　　　　　　 A. B. C. D. B 1 3 5 题序 2 4 6 49 3.已知一次函数y=kx-k的图象过点(-1，4)，则下列结论正确的是(　　) A.k=2 B.y随x的增大而增大 C.图象不经过第一象限 D.函数的图象一定经过点(1，0) D 1 3 5 题序 2 4 6 50 4.(2024·淄博)某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地，途中偶遇一位朋友，驻足交流10 min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发 30 min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.下图表示甲、乙两人之间的距离y(m)与甲出发的时间x(min)之间的函数关系. 1 3 5 题序 2 4 6 51 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20 min； ②甲出发86 min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3 600 m； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100 min； ④A，B两地之间的距离是11 200 m. 其中正确的结论有(　　) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ B 1 3 5 题序 2 4 6 52 5.如图，在直角坐标系中，点A(2，m)在直线y=2x-上， 过点A的直线交y轴于点B(0，3). (1)求m的值和直线AB的函数表达式； (2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t-1，y2)在直线y=2x-上，求y1-y2的最大值. 1 3 5 题序 2 4 6 53 解：(1)把点A(2，m)代入y=2x-得m=. 设直线AB的函数表达式为y=kx+b.将点A(2，)， B(0，3)分别代入得解得 ∴直线AB的函数表达式为y=-x+3. 1 3 5 题序 2 4 6 54 (2)∵点P(t，y1)在线段AB上， 点Q(t-1，y2)在直线y=2x-上， ∴y1=-t+3，(0≤t≤2) y2=2(t-1)-=2t-， ∴y1-y2=-t+3-(2t-)=-t+. ∵-<0，∴y1-y2的值随t的增大而减小， ∴当t=0时，y1-y2取最大值，最大值为. 1 3 5 题序 2 4 6 55 6.(2024·广安)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元. (1)求A，B两种花卉的单价. (2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过 B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用. 1 3 5 题序 2 4 6 56 解：(1)A种花卉的单价为3元，B种花卉的单价为5元. (2)当A种花卉采购8 000株，B种花卉采购2 000株时，总费用最少，最少总费用为34 000元. 1 3 5 题序 2 4 6 57 $$