09第三章 第一节 平面直角坐标系与函数初步-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第一节　平面直角坐标系与函数初步 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层探究 好题随堂演练 4 知识点1 平面直角坐标系 1.定义：在平面内，两条互相________且有____________的数轴组成平面 直角坐标系.其中，水平的数轴叫作x轴或横轴，铅直的数轴叫作y轴或 纵轴.  2.有序实数对：平面直角坐标系中的点和有序实数对是________对应的. 经过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别 叫作点P的横坐标、纵坐标.有序实数对(a，b)叫作点P的坐标.  垂直　 公共原点　 一一　 5 3.各象限内点的坐标特征 (1)第一象限：a>0，b>0. (2)第二象限：a_______0，b_______0.  (3)第三象限：a_______0，b_______0.  (4)第四象限：a_______0，b_______0.  　<　 　>　 　<　 　<　 　>　 　<　 6 4.与坐标轴有关的点的坐标特征 (1)在x轴上：b=0. (2)在y轴上：a=0. (3)是原点：a=0且b=0. (4)若多个点在平行于x轴的直线上，则_______相同， _______不同.  (5)若多个点在平行于y轴的直线上，则_______相同， _______不同.  (6)点P在第一、三象限的夹角平分线上，则横、纵坐标相等，即x=y. (7)点P在第二、四象限的夹角平分线上，则横、纵坐标互为相反数， 即x=-y. 纵坐标 横坐标 横坐标 纵坐标 7 5.对称点的坐标特征 (1)点P(a，b)关于x轴对称的点P1的坐标为　　　　　.  (2)点P(a，b)关于y轴对称的点P2的坐标为　　　　　　.  (3)点P(a，b)关于原点对称的点P3的坐标为　　　　　　.  (4)点P(a，b)关于直线y=x对称的点P4的坐标为　　　　　　.  (5)点P(a，b)关于直线y=-x对称的点P5的坐标为　　　　　　.  (6)点P(a，b)关于直线x=m对称的点P6的坐标为　　　　　.  (7)点P(a，b)关于直线y=m对称的点P7的坐标为　　　　　.  (a，-b)　 (-a，b)　 (-a，-b)　 (b，a)　 (-b，-a) (2m-a，b)　 (a，2m-b) 8 6.坐标系中点之间的距离 (1)点P(a，b)到x轴的距离为________；到 y轴的距离为_______.  (2)点P(a，b)到原点的距离为____________.  (3)平行于x轴的直线上两点P(x1，y1)，Q(x2，y1)(x1<x2)之间的距离为 __________；平行于y轴的直线上两点P(x1，y1)，Q(x1，y2)(y1<y2)之间 的距离为__________.  (4)平面内两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ中点G的坐标为()，P，Q两点间距离PQ=. 　|b|　 　|a|　  　 　x2-x1　 　y2-y1　 9 7.点的平移 (1)点P(a，b)沿水平向右方向平移m(m>0)个单位长度后坐标为(a+m，b)；点P(a，b)沿水平向左方向平移m(m>0)个单位长度后坐标为(a-m，b). (2)点P(a，b)沿竖直方向向上平移n(n>0)个单位长度后坐标为(a，b+n)；点P(a，b)沿竖直方向向下平移n(n>0)个单位长度后坐标为(a，b-n). 10 知识点2 函数及其相关概念 1.常量与变量：在变化过程中数值始终不变的量叫作常量，数值变化的量叫作变量. 2.函数：一般地，如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 11 3.自变量取值范围的确定 函数表达式的形式 自变量的取值范围 整式型 全体实数 分式型y= 使分母不为0的全体实数，即B≠0 二次根式型y= 使被开方数大于或等于0的实数，即A≥0 零次幂或负整数次幂型 底数不为0 12 分式与二次根式结合型 y= B≠0且A≥0 y= B>0 注：(1)在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义. (2)兼其中两种或两种以上情况时，分别求出各自的取值范围，再求公共部分 13 4.函数的三种常见表示方法：关系式法、列表法、图象法，这三种方法有时可以互相转化. 14 5.函数的图象 (1)把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象. (2)画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线. 15 6.分析函数图象的基本要点 (1)分清函数图象的横、纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围. (2)找转折点、交点(与坐标轴的交点或两条线的交点)等特殊点，并弄清楚该点的含义. (3)判断不同段函数图象的增减性，注意平行于横轴的线的纵坐标是一个常数. 16 命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征3地1考 考法❶　探索点的坐标特征 例1 【一题串考点·原创题】 已知P(m，2m-3)是平面直角坐标系内的 一点，试分别根据下列条件，直接求出点P的坐标.　　　　　　　　　　　　　 (1)若点P在y轴上，则点P的坐标为　　　　；  (2)若点P在x轴上，则点P的坐标为　　　　　；  (3)若点P在第四象限内，则m的取值范围是　　　　　　；  (0，-3)　 (，0)　 0<m< 17 (4)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为　　　　　；  (5)若点P在第一、三象限角平分线所在的直线上，则点P的坐标为 　　　　；  (6)若m=2，则点P关于y轴的对称点为　　　　　，关于x轴的对称点 为　　　　　，关于原点的对称点为　　　　；  (7)若m=-2，将点P向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得 到对应点的坐标为　　　　.  【解题启发】 平面直角坐标系中点的坐标特征都有什么特点？ (1，-1)　 (3，3)　 (-2，1) (-2，-1)　 (0，-5) (2，-1) 18 【方法指导】 求对称点的技巧 (1)对于坐标轴，关于谁对称谁不变，另一个取相反数； (2)关于原点对称，横、纵坐标互为相反数； (3)关于直线y=x对称，横、纵坐标互换； (4)关于直线y=-x对称，横、纵坐标互换且分别互为相反数. 19 考法❷　计算点的距离 例2 【一题串考点·原创题】 已知，点P(2，3). (1)点P到x轴的距离是　　　；到y轴的距离是　　　　；到原点的 距离是　　　　.  (2)若点P和点Q所在直线与x轴平行，且PQ=3，则点Q的坐标是 　　　　　　　　.  (3)若点P和点M所在直线与y轴平行，且PM=5，则点M的坐标是 　　　　　　　　.  (4)若点H(3，6)，则PH的长为　　　　；若点Q为线段PH的中点， 则点Q的坐标为　　　　.  3 2 (-1，3)或(5，3) (2，8)或(2，-2)　 () 20 【解题启发】 直线与x轴或y轴平行，说明了什么？两点间的距离怎么求？ 21 命题点2 函数自变量的取值范围3地0考　 例3 (2023·广安)函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　　　.  【解题启发】 分母中含自变量x，分子中含二次根式，需要注意什么问题？ x≥-2且x≠1　 22 【易错警示】 与二次根式有关的函数自变量 　　当二次根式在分子位置时，需要满足被开方数(式)是非负数；当二次根式在分母位置时，需要满足被开方数(式)是正数，这是最容易出错的地方. 23 练1 (2024·滨州)若函数y=的表达式在实数范围内有意义，则自 变量x的取值范围是　　　　　　.  练2 (2024·济宁三模)函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　.  练3 (2024·齐齐哈尔)在函数y=+中，自变量x的取值范围是 　　　　　　.  x≠1　 x≥2　 x>-3且x≠-2　 24 命题点3 函数图象的分析与判断3地1考　 例4 (2023·滨州)【跨学科·化学】 由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱 性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性.若将给定 的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的 pH与所加水的体积V之间对应关系的是(　　) 【解题启发】 pH的值与所加水的体积有什么关系？ B 25 练4 (2024· 河南)【跨学科·物理】 把多个用电器连接在同一个插线板上， 同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与 用电器的总功率P的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q与I的函 数图象(如图2).下列结论中错误的是(　　) A.当P=440 W时，I=2 A B.Q随I的增大而增大 C.I每增加1 A，Q的增加量相同 D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 C 26 练5 (2024· 青海)【跨学科·化学】 化学实验小组查阅资料了解到：某种 絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的. 实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正 确的是(　　) A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B.未加入絮凝剂时，净水率为0 C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量相等 D.加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54% D 27 命题点4 平面直角坐标系中点的规律3地2考 例5 (2024·山东)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶 数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循 环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中，将点(x，y) 中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其 中x，y均为正整数.例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3，10)，经过第2 次运算得到点(10，5)，以此类推，则点(1，4)经过2 024次运算后得到点 　　　　.  (2，1)　 28 【解题启发】 经过第一次运算后点的坐标是　　　　；经过第二次运算后点的坐标是　　　　；……多次运算后发现什么规律？  29 【解题通法】 　　探究点的坐标变化规律，关键是分析出“变”的规律，即点的横、纵坐 标与序数之间存在的关系.解题步骤一般为①求第一个点的横、纵坐标； ②求第二、三、四个点的横、纵坐标；③观察横、纵坐标的变化，找到 规律；④得出规律，解决问题. 30 练6 (2023·泰安)已知 △OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，……都是边长为 2的等边三角形，按下图所示摆放.点A2，A3，A5都在x轴正半轴上，且 A2A3=A5A6=A8A9=……=1，则点A2 023的坐标是　　　　　　　　.  (2 023，)　 31 练7 (2024·东营)如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y=x，点 A1的坐标为(，0)，以点O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过 点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以点O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l 于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以点O为圆心，OA3为半径画 弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4；……按照这样的 规律进行下去，点A2 024的横坐标是　　　　.  21 012　 32 命题点5 动点问题的函数图象3地1考　 考法❶　判断动点函数图象 【核心母题1】 (2022·潍坊)如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E， F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和 A→D→C 的方向以每秒 1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动 时间记为x，能大致反映 y与x之间函数关系的图象是(　　) A 33 【解题启发】 线段EF扫过的区域是怎么随着点E，F的运动变化的？ 34 【解题模板】 函数图象的分析与判断 找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在对应的图象中对应点； 分析动点：分析动点在不同线段上时，函数值随自变量的变化情况，并判断函数图象是向上、向下还是水平线(表示函数值不变)； 找特殊点：找交点或拐点，既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，说明图象中具体的对象在此处的某一数据相同或在此处将发生变化； 判断图象趋势：列出函数表达式，判断函数的增减性、图象等. 35 【变式1】 双动点，判断函数图象 (2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是 边AC上的高.点E，F分别在边AB，BC上(不与端点重合)，且DE⊥DF. 设AE=x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为(　　) A 36 【变式2】 动图，判断函数图象 (2024·烟台)如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，菱形EFGH的 顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=2 cm，∠E=60°.现将 菱形EFGH以1 cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这 个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之 间的函数关系图象大致是(　　) A 37 考法❷　由动点函数图象解决问题 【核心母题2】 (2024·济南)如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2， 动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后 停止，连接DP.设点P的运动时间为t(s)，DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y 与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论：①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6 时，1≤y≤3；④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻t1，t2(t1<t2)分别对应y1和y2. 若t1+t2=6，则y1>y2.其中正确结论的序号是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④ 【解题启发】 根据几何图形和函数图象 你能获得什么信息？ D 38 【解题模板】 (1)看图：注意函数图象横、纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等； (2)看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； (3)结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； (4)计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解. 39 【变式1】 动点在三角形上运动，分析图象 (2023·烟台)如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA 匀速运动至点A后停止.设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是 y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的 高CG的长为　　　　.  40 【变式2】 动点在四边形上运动，分析图象 (2023·大庆)如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，已知点P在 边AB上，以1 m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以 m/s的 速度从点B向点C运动.若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好 到达点C处，此时两点都停止运动.图2是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动 时间t(s)之间的函数关系图象(点M为图象的最高点)，则平行四边形ABCD 的面积为(　　) A.12 m2 B.12 m2 C.24 m2 D.24 m2 C 41 建议用时：10分钟 1.(2024·滨州)若点P(1-2a，a)在第二象限，那么a的取值范围是(　　)　 A.a> B.a< C.0<a< D.0≤a< A 1 3 5 题序 2 4 6 42 2.(2023·武威)如图1，正方形ABCD的边长为4，点E为CD边的中点.动点P从 点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x， 线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为(　　)　　　　　　　 A.(4，2) B.(4，4) C.(4，2) D.(4，5) C 1 3 5 题序 2 4 6 43 3.(2023·绥化)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点M，N同 时从点A出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N 以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时， 另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位， 则下列正确表示y与x函数关系的图象是(　　) A 1 3 5 题序 2 4 6 44 4.(2024·牡丹江)函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　　　.  x≥-3且x≠0　 1 3 5 题序 2 4 6 45 5.(2024·东营河口模拟)第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的 距离是5，则点P的坐标是　　　　.  (5，-3)　 1 3 5 题序 2 4 6 46 6.如图，在平面直角坐标系中，若干个横、纵坐标都是整数的点，其顺 序为(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个 规律，第2 024个点的坐标为　　　　.  (45，1)　 1 3 5 题序 2 4 6 47 $$