08第二章 第四节 一元一次不等式(组)-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第四节　一元一次不等式(组) 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 不等式的概念及其性质 1.不等式的概念：一般地，用不等号“<”(或“≤”)“>”(或“≥”)连接的式子 叫作不等式. 2.不等式的解：能使不等式成立的____________的值，叫作不等式的解.  3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等 式的解集. 　未知数　 5 4.不等式的基本性质 (1)不等式的基本性质1：不等式的两边都加(或减)同一个整式，不等号的 方向__________.即若a>b，则a±c_______b±c.  (2)不等式的基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号 的方向__________.即若a>b，且c>0，则ac_______bc，_____ .  (3)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号 的方向__________.即若a>b，且c<0，则ac_______bc，_____.  　不变　 　>　 　不变　 　>　 　> 　改变　 　<　 　<  6 知识点2 一元一次不等式及其解法 1.一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫作一元一次不等式. 2.一元一次不等式的解法 (1)解一元一次不等式的一般步骤：去分母，__________，移项， ________________，系数化为1.  　括号　 　合并同类项　 7 (2)一元一次不等式的解集在数轴上的表示如下： 8 知识点3 一元一次不等式组及其解法 1.一元一次不等式组：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解法 (1)解一元一次不等式组的一般步骤：先求出这个不等式组中每个一元一次不等式的解集，再求出不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集. 9 (2)常见的几种不等式组解集的表示(其中a>b)： 不等 式组 在数轴上表示 解集 口诀 x>a 同大取大 x<b 同小取小 b<x<a 大小小大 中间找 无解 大大小小 无解了 10 知识点4 一元一次不等式(组)的应用 列一元一次不等式解应用题的一般步骤： (1)审：即审清题意，找出不等关系. (2)设：即设出关键未知数. (3)列：即列不等式. (4)解：即解不等式. (5)验：即检验结果是否符合实际背景. (6)答：即写出规范结果，并作答. 11 命题点1 不等式的基本性质3地0考　 例1 已知a>b，下列结论：①a2>ab；②a2>b2；③若b<0，则a+b<2b； ④若b>0，则<.其中正确的个数是(　　)　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 【解题启发】 想一想不等式的性质是什么？ A 12 练1 (2024·广州)若a<b，则(　　) A.a+3>b+3 B.a-2>b-2 C.-a<-b D.2a<2b D 13 命题点2 一元一次不等式的解法及解集表示 3地1考 例2 (2023·临沂)解不等式5-2x<，并在数轴上表示解集. 【解题启发】 解不等式时需要注意什么？ 14 【规范解答】 解：5-2x<，去分母得10-4x<1-x， 移项、合并同类项得-3x<-9，系数化为1得x>3. 不等式的解集在数轴上表示如下. 15 【易错警示】 (1)不等式两边各项都乘分母的最小公倍数时，不要漏乘不含分母的项； (2)当括号前是“-”号时，要注意去括号后括号内各项都要改变符号； (3)移项是从不等式的一边移到另一边，且不要忘记变号； (4)若不等式两边都乘(或除以)同一个负数，则不等号要改变方向. 16 练2 (2024·连云港)解不等式：<x+1，并把解集在数轴上表示出来. 解：x-1<2(x+1)，去括号得x-1<2x+2， 移项得x-2x<2+1，系数化为1得x>-3. 不等式的解集在数轴上表示如下. 17 练3 (2024·盐城)求不等式≥x-1的正整数解. 解：≥x-1，去分母得1+x≥3x-3， 移项得x-3x≥-3-1，合并同类项得-2x≥-4， 系数化为1得x≤2，∴不等式的正整数解为1，2. 18 命题点3 一元一次不等式组的解法及解集表示 3地1考 例3 (2024·淄博)解不等式组：并求所有整数解的和. 【解题启发】 一元一次不等式组的解集怎么求？什么是整数解？ 19 【规范解答】 解： 解不等式①得x<1，解不等式②得x>-4， ∴不等式组的解集为-4<x<1， ∴不等式组的整数解为-3，-2，-1，0， ∴不等式组的整数解的和为-3+(-2)+(-1)+0=-6. 20 【易错警示】 在数轴上表示不等式解集的注意点 　　在数轴上表示解集时，要注意两“定”： (1)定方向，“≤”“<”向左，“≥”“>”向右； (2)定边界点，“≥”“≤”用实心圆点，“>”“<”用空心圆圈. 21 练4 (2023·威海)解不等式组时，不等式①②的解集在 同一条数轴上表示正确是(　　) B 22 练5 【新考法】 结合数轴列不等式组求解 (2024·包头)若2m-1，m，4-m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右 依次排列，则m的取值范围是(　　) A.m<2 B.m<1 C.1<m<2 D.1<m< 练6 (2024·山东)写出满足不等式组的一个整数解 　　　　　　　　　　.  B -1(答案不唯一)　 23 练7 (2022·枣庄)在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上. ①2x-1<7；②5x-2>3(x+1)；③x+3≥1-x. 24 解：选①②组成不等式组 解不等式①得x<4，解不等式②得x>， ∴不等式①②组成的不等式组的解集是<x<4. 在数轴上表示不等式组的解集如下. (答案不唯一) 25 命题点4 由不等式(组)的解集确定字母的值或范围 3地0考 例4 (2023·聊城)若不等式组的解集为x≥m，则m的取值 范围是　　　　.  【解题启发】 不等式组的解集是什么？ m≥-1 26 【方法指导】 第一步：先解出含参数的不等式组； 第二步：再利用数形结合将解集表示在数轴上，根据条件分析出参数的值或取值范围，或罗列出符合条件的参数的值. 27 练8 (2022·济宁)若关于x的不等式组仅有3个整数解， 则a的取值范围是(　　)　　　　　　　 A.-4≤a<-2 B.-3<a≤-2 C.-3≤a≤-2 D.-3≤a<-2 练9 (2024·烟台)关于x的不等式m-≤1-x有正数解，m的值可以是 　　　　　　　　(写出一个即可).  D 0(答案不唯一)　 28 命题点5 一元一次不等式(组)的实际应用3地1考 例5 (2023·淄博)某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表： 购票人数m(人) 10≤m≤50 51≤m≤100 m>100 每人门票价(元) 60 50 40 29 *题中的团队人数均不少于10人. 现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人. (1)如果两个团队分别购票，一共应付5 580元，问甲、乙团队各有多少人； (2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1 200元，问甲团队最少多少人. 30 【解题启发】 (1)知道总人数为102人(甲团人数多于乙团)，你能推测甲、乙两团的人数范围吗？你能从题干中找出等量关系吗？ (2)作为“大团队”购票，票价是什么？ 31 【规范解答】 解：(1)甲团队有48人，乙团队有54人. (2)甲团队最少有18人. 32 【方法指导】 列不等式解应用题时的注意事项 (1)抓住问题中的一些关键词语并弄清其含义： 常用关键词 符号 大于、多于、超过、高于 >  小于、少于、不足、低于 <  至少、不少于、不低于、不小于 ≥ 最多、不高于、不大于、不超过 ≤ (2)注意题目中的隐含条件，如人数只能取自然数. 33 练10 商店为了对某种商品进行促销，将定价为5元的商品，以下列方式 优惠销售：若购买不超过8件，则按原价付款；若一次性购买8件以上， 则超出的部分打八折，小明带了70元钱，最多可以购买该商品(　　) A.14件 B.15件 C.16件 D.17件 B 34 练11 (2024·山东)根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180 cm； ②1班学生的最低身高小于150 cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170 cm. 上述结论中，所有正确结论的序号是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ C 35 练12 (2024·泸州)某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元. (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元； (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 解：(1)A商品每件的进价是100元，B商品每件的进价是60元. (2)购进A商品的件数最多为20件. 36 建议用时：10分钟 1.不等式1-3x>0的解集是(　　) A.x<- B.x>- C.x< D.x> C 1 3 5 题序 2 4 6 37 2.(2023·烟台)不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的 是(　　) A 1 3 5 题序 2 4 6 38 3.(2023·遂宁)若关于x的不等式组的解集为x>3， 则a的取值范围是(　　) A.a>3 B.a<3 C.a≥3 D.a≤3 D 1 3 5 题序 2 4 6 39 4.(人教版七下P129例2改编)若不等式4x+2>3(x-1)与x-1≤7-x同时成立，求x的取值范围. 解：解不等式4x+2>3(x-1)得x>-5，解不等式x-1≤7-x得x≤4，∴x的取值范围为-5<x≤4. 1 3 5 题序 2 4 6 40 5.(2024·济南)解不等式组：并写出它的所有整数解. 解：解不等式①得x>-1，解不等式②得x<4， ∴原不等式组的解集是-1<x<4，∴不等式组的整数解为0，1，2，3. 1 3 5 题序 2 4 6 41 6.(2024·资阳)2024年巴黎奥运会于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱.已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元. (1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价； (2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5 000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 解：(1)A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元. (2)至少应购买B款纪念品30个. 1 3 5 题序 2 4 6 42 $$