07第二章 第三节 分式方程及其应用-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第三节　分式方程及其应用 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 分式方程及其解法 1.分式方程的概念：分母中含有____________的方程叫作分式方程.  　未知数　 5 【方法指导】 　　“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程是分式方程的依据.2.分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： 6 知识点2 分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤与列整式方程的步骤类似：审题、设未知数、列分式方程、解方程、双检验、作答.(注：双检验是指既要检验是不是分式方程的根，还要检验是否符合实际问题) 7 2.常见应用类型(从题目中找到一个量，分别用两个代数式表示.这两个代数式相等.) 常见 类型 基本数量关系 常见等量关系 打折 销售 问题 销售量=； 售价=标价×折扣 -=单价差 (根据数量差也可列等量关系) 8 常见 类型 基本数量关系 常见等量关系 工程 问题 工作时间= (注：题干中未告诉工作总量时，工作总量可以看作整体“1”，则=工作效率) -= 提前完成的时间； -=时间差 行程 问题 时间= -=时间差 9 命题点1 解分式方程3地0考　 例1 解方程：+1=. 【解题启发】 分式方程的解题步骤是什么？ 【规范解答】 解：x=1是原方程的解. 10 【易错警示】 (1)去分母时，不要漏乘常数项和整式； (2)去括号时，括号前面是负号，括号内每项都要变号； (3)求出解后，要代入原分式方程或最简公分母检验，使最简公分母为0的根要舍去. 11 练1 (2024·济宁)解分式方程1-=-时，去分母变形正确的 是(　　)　　　　　 A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5 C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5 A 12 练2 (2024·南通节选)解方程：-1=. 解：x=-.经检验，x=-是原方程的解. 13 练3 (2023·山西)解方程：+1=. 解：x=.经检验，x=是原方程的解. 14 命题点2 由解的情况求参数的值或范围 3地0考 考法❶　分式方程的特殊解问题 例2 (2023·日照)若关于x的方程-2=的解为正数，则m的取值 范围是(　　)　　　　　　 A.m>- B.m< C.m>-且m≠0 D.m<且m≠ 【解题启发】 分式方程的解是什么？分式方程的解为正数，说明解与0的大小关系是什么？ D 15 【方法指导】 (1)把参数当作数字解分式方程； (2)用含参数的代数式表示x； (3)依据题意分类讨论，确定字母参数的值或取值范围. ①正根：含参代数式>0；②负根：含参代数式<0. 16 练4 (2023·淄博)已知x=1是方程-=3的解，那么实数m的值为(　　) A.-2 B.2 C.-4 D.4 练5 (2023·聊城)若关于x的分式方程+1=的解为非负数，则m的 取值范围是(　　) A.m≤1且m≠-1 B.m≥-1且m≠1 C.m<1且m≠-1 D.m>-1且m≠1 B B 17 考法❷　分式方程的增根、无解问题 例3 已知关于x的分式方程=2m+. (1)若分式方程有增根，求m的值； (2)若分式方程无解，求m的值. 【解题启发】 (1)分式方程的解是什么？什么是增根？ (2)无解有几种情况？增根和无解有什么不同？ 【规范解答】 解：(1)m的值为-2.　(2)m的值为-2或. 18 【易错警示】 分式方程无解，需要考虑两种情况： (1)分式方程有增根，即是使分式的分母为0时未知数的值； (2)分式方程转化的整式方程无解，导致分式方程无解. 19 练6 (2024·达州)若关于x的方程-=1无解，则k的值为　　　　.  2或-1　 20 命题点3 分式方程的实际应用3地1考　 例4 (2024·泰安)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700 件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人. 【解题启发】 从“乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍”中，你能得到什么等式？ 【规范解答】 解：甲组有20名工人，乙组有15名工人. 21 【易错警示】 　　解分式方程的实际应用问题时，所得的解必须经过双重检验：①是否是所列分式方程的解；②是否符合实际意义. 22 练7 (2024·山东)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造.改造后 比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件 的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为(　　) A.200 B.300 C.400 D.500 练8 (2024·东营)水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明 城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上 涨原价的 .小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是 24.5元.已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3 m3. 设该市去年居民用水价格为x元/m3，则可列分式方程为　　　　　　　.  B -=3　 23 练9 (2024·威海)某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电 16 000千瓦·时.后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9 600千瓦·时. 一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千 瓦·时.求一盏A型节能灯每年的用电量. 解：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时. 24 练10 某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成.已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的1.5倍.如果甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成. (1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米； (2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为1.5万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙施工队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元. 25 解：(1)甲施工队每天修建1.5千米，乙施工队每天修建1千米. (2)共需修建费用165 000元. 26 建议用时：10分钟 1.(2024·泸州)分式方程-3=的解是(　　) A.x=- B.x=-1 C.x= D.x=3 D 1 3 5 题序 2 4 27 2.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人 均分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，均分40元钱， 则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人， 则可列方程为(　　) A.10x=40(x+6) B.10(x-6)=40x C.= D.= C 1 3 5 题序 2 4 28 3.已知关于x的分式方程-=3有整数解，则满足条件的所有整数 a的和为(　　) A.-18 B.-17 C.-6 D.-2 B 1 3 5 题序 2 4 29 4.解方程：-=1. 解：x=1.经检验，x=1是原方程的解. 1 3 5 题序 2 4 30 5.(2023·威海)某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动.纪念馆距学校 72千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达.已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度. 解：大型客车的速度为60千米/时. 1 3 5 题序 2 4 31 $$