06第二章 第二节 一元二次方程及其应用-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第二节　一元二次方程及其应用 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程：只含有______个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次 方程.  2.一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0).其中ax2，bx，c分别称 为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数. 3.一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边__________的未知数 的值叫作一元二次方程的解(根).  一　 　相等　 5 知识点2 一元二次方程的解法 解法 基本形式 适用情况 注意事项 直接开 平方法 x2=a(a≥0)或(ax+b)2=c(c≥0) 方程等号左侧为平方形式，右侧为常数项 开方不要漏掉负根 公式法 ax2+bx+c=0(a≠0) 任意一元二次方程均适用，求根公式为____________ 先将方程化为一般形式；再确定判别式b2-4ac≥0，最后利用求根公式求解 因式分 解法 (x-x1)·(x-x2)=0或ax2=bx 方程可以转化为几个整式乘积为0的形式 两边不能同时除以含有未知数的相同因式 配方法 x2+bx+c=0⇒ x2+bx+()2=()2-c 将二次项系数化为1后，一次项系数是2的倍数 配方时，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，不要漏加 x= 6 【关联知识】 因式分解法解方程一般用到因式分解的各种方法，同学们注意回顾因式分解的方法. 7 知识点3 一元二次方程根的判别式及根 与系数的关系 1.___________叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用 希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.判别式的符号决定了方程根的情况，即  (1)Δ>0⇔方程有两个____________的实数根.  (2)Δ=0⇔方程有两个__________的实数根.  (3)Δ<0⇔方程__________实数根.  2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1+x2= 　　　　，x1x2=　　　　.  　b2-4ac　 　不相等　 　相等　 　没有　 - 8 【易错警示】 口诀记忆 　　遇两根，想“韦达”，韦达定理前提仨，一般形式是其一，a不为0是其二，第三要想Δ. 9 3.根与系数关系常见的变形： +=(x1+x2)2-2x1x2；+=； |x1-x2|=. 10 知识点4 一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 (1)审，即审清题意，找出题中的已知量、未知量. (2)设，即设出关键未知数. (3)列，即找出等量关系，列方程. (4)解，即解方程. (5)验，即检验结果是否正确或是否有实际意义. (6)答，即回归题中，规范作答. 11 2.应用题中常见的等量关系 (1)增长率等量关系： 增长率=×100%. 一般类型：设原来量为a，平均增长(下降)率为x，则一次增长(下降)后的值为a(1±x)，两次增长(下降)后的值为a(1±x)2. 12 (2)利润等量关系：利润=售价-成本(进价)， 利润率=×100%. 购买问题中的“每每模型”：总利润=单件利润×数量； 成本每件a元，售价为m元时的销量是n件，售价每降低d元，则可多卖出c件.设售价降低了x元，则每件的利润为(m-x-a)元，销量增加件，销量变为(n+)件，则降价后的利润为w=(m-x-a)(n+)元. (3)利息等量关系：利息=本金×利率×期数， 本息和=本金+利息. 13 (4)行程等量关系：路程=速度×时间. (5)循环问题：①单循环问题(比赛、握手)：设x个队进行m场比赛，每两个队进行1场比赛，则m=(x≥2). ②双循环问题(送礼物)：设全班x人，每人向其他人赠送一张照片，共赠送m张照片，则m=x(x-1)(x≥2). 14 (6)面积问题：如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影=　　　　　　　；  如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白=　　　　　　　；如图3， 设阴影部分的宽为x，则S空白=　　　　　 　　.  (a-2x)(b-2x)　 (a-x)(b-x)　 (a-x)(b-x) 15 命题点1 解一元二次方程3地1考　 例1 已知关于x的一元二次方程(m-2)x2-4x+3=0，请回答下列问题：　　　　　　 (1)m的取值范围是　　　　；  (2)若m的值为3，请用三种方法求出此方程的解. 【解题启发】 (1)m为何值时，此方程才是一元二次方程？ (2)解此一元二次方程有哪三种方法？ 16 【规范解答】 解：(1)m≠2 (2)当m=3时，一元二次方程为x2-4x+3=0. 公式法：∵a=1，b=-4，c=3， ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4>0， ∴x===， ∴x1=3，x2=1； 配方法：∵x2-4x+3=0，∴x2-4x=-3，∴x2-4x+4=-3+4， ∴(x-2)2=1，∴x-2=±1，∴x1=3，x2=1； 因式分解法：∵x2-4x+3=0，∴(x-3)(x-1)=0， ∴x1=3，x2=1. 17 【方法指导】 灵活选择适当的方法解方程 (1)运用“直接开平方法”或“因式分解”法； (2)用公式法(通用解法)； (3)有特殊要求的，按指定方法解方程. 18 练1 (2023·新疆生产建设兵团)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0， 配方后得到的方程是(　　) A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 练2 (2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个 根，则这个三角形的周长为(　　) A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 D C 19 练3 (2024·滨州节选)解方程：x2-4x=0. 解：x1=0，x2=4. 20 命题点2 由一元二次方程的根求字母或代数式的值　　　3地0考 例2 关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个解是-2，则k值为(　　) A.2或4 B.0或4 C.-2或0 D.-2或2 【解题启发】 知道方程的一个解，你能用什么方法求未知系数？ B 21 练4 (2024·深圳)一元二次方程x2-3x+a=0的一个解为x=1，则a=　　　　.  练5 若x=3是关于x的方程ax2-bx=6的解，则2 024-6a+2b的值为　　　　.  练6 (2023·怀化)已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根为-1， 则m的值为　　　　，另一个根为　　　　.  2 2 020　 -1 2 22 命题点3 一元二次方程根的判别式3地0考　 例3 【原创题】 已知关于x的一元二次方程(a-2)x2-4x-2=0有实数根， 则a满足　　　　　　　　.  【解题启发】 一元二次方程根的判别式是什么？二次项系数应该注意什么问题？ a≥0且a≠2　 23 【易错警示】 求字母取值范围时的注意事项 　　对于二次项系数含有字母的方程，根据根的情况求字母的取值范围时，若指明是一元二次方程，则牢记二次项系数不为0这一条件；若未指明方程类型，则需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论. 24 练7 (2023·滨州)一元二次方程x2+3x-2=0根的情况为(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能判定 A 25 练8 (2024·山东)若关于x的方程4x2-2x+m=0有两个相等的实数根， 则m的值为　　　　.  练9 (2023·泰安)已知关于x的一元二次方程x2-4x-a=0有两个不相等的 实数根，则a的取值范围是　　　　.  a>-4　 26 命题点4 一元二次方程根与系数的关系3地1考 例4 (2023·菏泽)一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1，x2，则+ 的 值为(　　)　　　　　　　 A. B.-3 C.3 D.- 【解题启发】 怎么将+与x1x2或x1+x2联系起来？ C 27 【易错警示】 应用根与系数关系的注意点 (1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化成一般形式； (2)应用x1+x2=-时，不要漏“-”； (3)应用根与系数关系公式的前提：①二次项系数a≠0；②判别式b2-4ac≥0. 28 练10 【新考法】 由两个根的关系还原一元二次方程 (2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在 化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简 过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原来 的方程是(　　) A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 B 29 练11 (2024·烟台)若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m，n，则3m2-4m+n2 的值为　　　　.  练12 (2022·日照)关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不等的实数 根x1，x2，且+=，则m=　　　　.  6 - 30 命题点5 一元二次方程的实际应用3地2考　 例5 (2023·东营)如图，老李想用长为70 m的栅栏， 再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处， 另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 31 【解题启发】 (1)羊圈的长和宽用含一个未知数的代数式能表示出来吗？ (2)羊圈的面积能否达到650 m2，实际问的是什么？ 32 【规范解答】 解：(1)当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为 20 m 时， 能围成一个面积为640 m2的羊圈. (2)不能. 理由如下：由题意得x(72-2x)=650， 化简得x2-36x+325=0. ∵Δ=(-36)2-4×325=-4<0， ∴一元二次方程没有实数根，∴羊圈的面积不能达到650 m2. 33 练13 某商店经销一批季节性家电，每台成本40元，经市场预测，定价为52元时，可销售180台，定价每增加1元，销售量将减少10台. (1)如果每台家电定价增加5元，则商店每天可销售的台数是多少？ (2)商店销售该家电获利2 210元，同时让顾客更实惠，那么每台家电定价应为多少元？ 解：(1)商店每天可销售130台. (2)每台家电定价应为53元. 34 练14 (2024·泰安泰山二模)公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10 000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 35 解：(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%. (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个. 36 建议用时：10分钟 1.(改编题)已知a>0，c<0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的 情况为(　　)　　　 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判定 B 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 37 2.(改编题)已知m为方程x2+3x-2 024=0的根，那么m3+2m2-2 027m+2 024 的值为(　　) A.-2 022 B.0 C.2 022 D.4 044 B 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 38 3.(2023·黑龙江龙东地区)如图，在长为 100 m，宽为 50 m 的矩形空地上 修筑四条宽度相等的小路.若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 3 600 m2，则小路的宽是(　　) A.5 m B.70 m C.5 m或70 m D.10 m A 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 39 4.已知x1，x2是方程x2-7x-6=0的两根，那么-6x1+x2+x1x2=　　　.  7 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 40 5.对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎ (m-3)=24，则m=　　　　.  4或-3 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 41 6.解方程：(1)x2+4x-12=0； (2)x(2x+1)=4x+2； (3)(x+1)(x-1)=4； (4)(y+1)(y-1)=y. 解：(1)x1=2，x2=-6.　(2)x1=-，x2=2. (3)x1=，x2=-.　(4)y1=，y2=. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 42 7.【新考向】 结合一元二次方程参数的取值范围考查分式化简 (2024·广州)关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)化简：÷·. 解：(1)根据题意得Δ=(-2)2-4(4-m)>0，解得m>3. (2)∵m>3，∴m-3>0， ∴原式=··=-2. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 43 8.某服装专卖店在销售中发现，一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润. 经市场调查发现，若每件服装降价1元，则平均可多售出2件.设每件服装降价x元， (1)每天可销售　　　件，每件盈利　　　　元.(用含x的代数式表示)  (2)求每件服装最多降价多少元时，平均每天可盈利1 200元. (3)若店长希望平均每天能盈利2 000元，这个愿望能实现吗？请说明理由. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 44 解：(1)(20+2x)　(40-x) (2)当每件服装最多降价20元时，平均每天可盈利1 200元. (3)这个愿望不能实现.理由如下： 假设这个愿望能实现. 根据题意得(40-x)(20+2x)=2 000，整理得x2-30x+600=0. ∵Δ=(-30)2-4×1×600=-1 500<0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即这个愿望不能实现. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 45 $$