03第一章 第三节 分式-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第三节　分式 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 分式的概念 1.分式：一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式. 如果B中含有　 　，那么称为分式.其中A称为分式的分子，B称为 分式的分母.  字母 B A B B 5 知识点2 分式的性质 1.分式的基本性质 (1)==(m≠0). (2)符号变化规则：==-=-. 2.最简分式：分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式. 6 3.约分 (1)概念：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. (2)关键：确定分式的分子、分母的最大公因式. (3)最大公因式的确定：①系数：取分子、分母系数的最大公约数；②字母(或因式)：取分子分母中相同字母或因式的最低次幂.(注：若分子、分母是多项式，应先把分子、分母分解因式，再确定最大公因式) 7 4.通分 (1)概念：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式. (2)关键：确定几个分式的最简公分母. (3)确定最简公分母：①系数：取各个分母系数的最小公倍数；②字母 (或因式)：取各分母公有因式的最高次幂，对于只在一个分母中含有的 因式，则连同它的指数作为最简公分母的因式. 8 知识点3 分式的运算 1.两项运算 (1)分式的加减运算 ①同分母运算：分母不变，分子相加减，即±=　　　；  ②异分母运算：先通分，变为同分母分式，再加减，即±=　　　　.  (2)分式的乘除运算 ①乘法运算：·=　　　　；  ②除法运算：÷=　　　　.  9 2.三项运算 (1)不含括号：先乘除后加减，具体如下： ①分子、分母能因式分解的先进行因式分解； ②进行乘除运算(除法变乘法)； ③约分，进行加减运算. (2)含括号：①去括号，括号内通分时注意最简公分母的选取； ②其余同两项运算. 3.分式的乘方运算：()n=　　　　.  10 4.分式化简求值的一般步骤 11 命题点1 分式有无意义及其值为0的条件 3地1考 例1 (2023·济宁改编)若代数式有意义，则实数x的取值范围是(　　)　　　　　 A.x≠2 B.x>-2 C.x>2 D.x>-2且x≠2 【解题启发】 分式有意义的条件是什么？ A 12 【易错警示】 (1)分式中分母含有二次根式时，在判断分式有无意义时，牢记分母不为0的条件. (2)若分式的值为零，需要同时具备两个条件：①分子为0.②分母不为0.这两个条件缺一不可. 13 练1 (改编题)若=0，则x的值为　　　.  练2 当x=　　　　时，分式没有意义.  练3 (易错题)若分式有意义，则x的值不可能是　　　　.  -1 3 3 14 命题点2 分式的基本性质3地0考　 例2 下列分式中，最简分式是(　 )　　　　 A. B. C. D. 【解题启发】 什么是最简分式？ A 15 命题点3 分式的化简及求值3地3考　 例3 (2024·山东)先化简，再求值：(1-)÷，其中a=1. 【解题启发】 化简分式需要注意什么？ 16 【规范解答】 解：原式=(-)÷=a-3. 将a=1代入得原式=1-3=-2. 17 【易错警示】 陷阱1：通分时，分子忘记乘能使分母化为最简公分母的因式； 陷阱2：通分时，常数项或整式忘记乘能使分母化为最简公分母的因式； 陷阱3：括号前是“-”号，去括号时忘记改变符号； 陷阱4：将分式的化简与解分式方程混淆，随意将分母去掉； 陷阱5：化简求值中所给的值是开放性选值时，选值使原分式与化简过程中产生出来的分式无意义； 陷阱6：化简过程跳步，无意识丢分； 陷阱7：化简结果不是最简形式. 18 练4 (2023·聊城)先化简，再求值：(+)÷，其中a=+2. 解：原式=[-]· ===. ∵a=+2，∴原式==. 19 练5 (2023·荆州改编)先化简，再求值：(-)÷， 其中x=()-1，y=(-2 025)0. 解：原式=[-]· =(-)·=. ∵x=()-1=2，y=(-2 025)0=1， ∴原式===2. 20 练6 (2023·威海)先化简(a-)÷，再从-3<a<3的范围内选择一个合适的数代入求值. 解：原式=÷=· =. ∵a≠0，a-1≠0且a+1≠0，∴a不能为0，1，-1. ∵-3<a<3，∴当a=2时，原式==.(答案不唯一) 21 练7 (2023·菏泽)先化简，再求值：(+)÷，其中x，y满足 2x+y-3=0. 解：原式=[+]·=· =4x+2y. ∵2x+y-3=0，∴2x+y=3，∴原式=2(2x+y)=6. 22 练8 先化简，再求值：(-)÷，其中x是不等式组的整数解. 23 解：原式=[-]·=·=. 解不等式组得1≤x<3， 则不等式组的整数解为1，2. ∵x≠±1，x≠0，∴x=2，∴原式==. 24 练9 【新考法】 结合计算器的操作考查分式的化简与求值 (2024·烟台)利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： . 若m是其显示结果的平方根，先化简：(+)÷，再求值. 25 解：原式=(-)÷=·==. ∵32-5=4，∴32-5的平方根为±2. ∵4-2m≠0，∴m≠2. ∵m为32-5的平方根，∴m=-2， ∴原式==-. 26 建议用时：10分钟 1.若代数式有意义，则实数x的取值范围是(　　) A.x=0 B.x=4 C.x≠0 D.x≠4 D 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 27 2.化简- 的结果是(　　) A. B.a-3 C.a+3 D. A 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 28 3.【新考法】 由分式的化简结果求分子的值 (2024·河北)已知A为整式，若计算-的结果为 ， 则A=(　　) A.x B.y C.x+y D.x-y A 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 29 4.(易错题)分式的值为0，则x的值是　　　　.  5.(2024·威海)计算：+=　　　　.  6.(2024·济宁)已知a2-2b+1=0， 的值是　　　　.  7.已知a>b，如果+=，ab=2，那么 a-b 的值为　　　　.  -2 -x-2 2 1 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 30 8.(2024·淄博)化简分式：+，并求值.(请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值) 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 31 解：原式=+=. ∵a是3的相反数，∴a=-3. ∵1<b<，且b为整数， ∴b=2， ∴原式==-. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 32 $$