02第一章 第二节 代数式及整式(含因式分解)-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第二节　代数式及整式(含因式分解) 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 代数式 1.代数式 用运算符号把数和字母连接而成的式子.特别地，单独一个数或一个字母也是代数式. 2.代数式的值 一般地，用数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值. 5 3.代数式求值的一般方法 (1)直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，计算求值. (2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式；②通过因式分解、提公因式等，将所求代数式变形，使其与已知代数式成倍分关系；③把已知代数式看成一个整体代入求值. 6 知识点2 整式的相关概念 2.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项.(所有常数项都是同类项) 7 【方法指导】 确定同类项的条件 　　判断同类项要严格按照定义中的两个条件，即字母相同，相同字母的指数也相同.特别地，所有常数项都是同类项. 8 3.合并同类项：把同类项合并成一项. 其法则是：合并同类项时，把同类项的______相加，字母和字母的 __________不变.  系数 　指数　 9 知识点3 整式的运算 1.加减运算 (1)一般地，几个整式相加减，有括号的先去括号，然后再合并同类项. (2)去括号法则 ①如果括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变，如a+(b-c)=a+b-c，a+(b+c)=a+b+c； ②如果括号前是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变，如a-(b-c)=a-b+c，a-(b+c)=a-b-c.可简记为“-”变，“+”不变. 10 2.幂的运算 (1)同底数幂相乘：am·an=_________.  (2)同底数幂相除：am÷an=_________.(a≠0)  (3)幂的乘方：(am)n=________.  (4)积的乘方：(ab)n=_________.  (5)零指数幂：a0=____.(a≠0)  (6)负整数指数幂：a-p=____.(a≠0，p是正整数)  　am+n　 　am-n　 　amn　 　anbn　 1 11 3.整式的乘法 (1)单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，如3xy·4x2z=12x3yz. (2)单项式乘多项式：根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，如a(b+c-d)=ab+ac-ad. (3)多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. 12 4.整式的除法 (1)单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，如3a2b÷ ac2=(3÷ )a2-1·bc-2=9abc-2. (2)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，如(4a3b+5ab2)÷3ab=4a3b÷3ab+5ab2÷3ab=a2+b. 13 知识点4 因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个__________的积的形式.  2.因式分解与整式乘法互为逆运算，即多项式 整式的积. 　整式　 14 3.因式分解的方法 (1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c). (2)公式法： ①平方差公式：a2-b2=　　　　　　　　；  ②完全平方公式：a2±2ab+b2=　　　　.  (3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). (4)分组分解法：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以把它前两项分成一组，提出公因式a，后两项分成一组，提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)，此方法适用于四项及以上的多项式的因式分解. (a+b)(a-b)　 (a±b)2 15 命题点1 代数式求值3地0考　 例1 (2023·济宁)已知实数m满足m2-m-1=0，则2m3-3m2-m+9=　　.  【解题启发】 你能从“2m3-3m2-m+9”里找到“m2-m-1”吗？ 8 2a(a+2)(a-2) 16 练1 (2024·广安)若x2-2x-3=0，则2x2-4x+1=　　　　.  练2 (2022·滨州)若m+n=10，mn=5，则m2+n2的值为　　　　.  7 90 17 命题点2 整式的相关概念3地0考　 例2 (2024·泰安)单项式-3ab2的次数是　　　.  【解题启发】 什么是单项式的次数？ 3 18 练3 若-4xm+2y4与2x3yn-1为同类项，则m-n的值为(　　)　　 A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 练4 (2023·江西)单项式-5ab的系数为　　　.  A -5 19 命题点3 因式分解3地2考　 例3 (2024·东营)因式分解：2a3-8a=　　　　　　　.  【解题启发】 提取公因式之后的式子是最简结果吗？ 2a(a+2)(a-2)　 20 【方法指导】 因式分解的一般步骤 一提：如果多项式有公因式，应先提公因式，别忘记负号、系数等； 二套：观察多项式的特点，考虑使用平方差公式、完全平方公式、十字相乘法； 三分组：若多项式为四项及以上时，考虑分组分解法，常用的有二二分组和一三分组； 四检查：检查是否正确，检查是否分解彻底. 21 练5 (2024·山东)因式分解：x2y+2xy=　　　　.  练6 (2024·威海)因式分解：(x+2)(x+4)+1=　　　　.  练7 (2024·淄博)若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解， 则m的值是　　　　.  (x+3)2　 ±12 xy(x+2) 22 命题点4 整式的运算3地2考　 例4 (2024·滨州)下列运算正确的是(　　) A.(n3)3=n6 B.(-2a)2=-4a2 C.x8÷x2=x4 D.m2·m=m3 【解题启发】 幂的运算与积的乘方有什么区别？ D 23 练8 (2024·山东)下列运算正确的是(　　) A.a4+a3=a7 B.(a-1)2=a2-1 C.(a3b)2=a3b2 D.a(2a+1)=2a2+a 练9 (2024·泰安)下列运算正确的是(　　) A.2x2y-3xy2=-x2y B.4x8y2÷2x2y2=2x4 C.(x-y)(-x-y)=x2-y2 D.(x2y3)2=x4y6 D D 24 练10 【新考法】 结合同底数幂的加法和乘法运算 (2024·河北)若a，b是正整数，且满足 =，则a与b的关系正确的是(　　) A.a+3=8b B.3a=8b C.a+3=b8 D.3a=8+b A 25 命题点5 整式的化简及求值3地0考　 例5 (2024·济宁)先化简，再求值：x(y-4x)+(2x+y)(2x-y)，其中x=，y=2. 【解题启发】 平方差公式(a+b)(a-b)=　　　　　　.  26 【规范解答】 解：原式=xy-4x2+4x2-y2=xy-y2. 其中x=，y=2，∴原式=×2-22=1-4 =-3. 27 练11 (2023·淄博)先化简，再求值：(x-2y)2+x(5y-x)-4y2，其中x=，y=. 解：原式=x2-4xy+4y2+5xy-x2-4y2=xy. 当x=，y=时， 原式=xy=×==1. 28 命题点6规律的探索3地0考　 考法❶　数式规律的探索 例6 按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…第n个单项式 是(　　)　　　　　 A.(2n-1)xn B.(2n+1)xn C.(n-1)xn D.(n+1)xn 【解题启发】 分开看系数与幂的指数，能发现什么规律？ A 29 练12 按一定的规律排列的一组数：，…，，…(其中a，b为整数)，则a+b的值为(　　)　　　　　　　 A.222 B.212 C.232 D.182 A 30 练13 (2022·泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6， 则表示99的有序数对是　　　　　.  (10，18)　 31 考法❷　图形规律的探索 例7 如图是由相同大小的圆圈按照一定规律摆放而成的，按此规律， 则第n个图形中圆圈的个数为(　　) A.n+1 B.n2+n C.4n+1 D.2n-1 【解题启发】 仔细观察图形，你能发现什么规律？怎么列代数式？ C 32 练14 (2024·济宁)如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形. 第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方 形，……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为(　　) A.90 B.91 C.92 D.93 B 33 练15 (2024·泰安)如图所示，是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成的“小屋子”. 按照此规律继续摆下去，第　　　　个“小屋子”中图形“ ”个数是图形 “ ”个数的3倍.  12 34 建议用时：10分钟 1.(2024·河南)计算( )3的结果是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.a5 B.a6 C.aa+3 D.a3a D 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 35 2.(2024·威海)下列运算正确的是(　　) A.x5+x5=x10 B.m÷n2·= C.a6÷a2=a4 D.(-a2)3=-a5 C 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 36 3.(2023·牡丹江)观察下面两行数： 1，5，11，19，29，… 1，3，6，10，15，… 取每行数的第7个数，计算这两个数的和是(　 ) A.92 B.87 C.83 D.78 C 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 37 4.【原创题】 分解因式：(1)9a3-ab2=　　　　　　　　.  (2)4xy-2x2-2y2=　　　　　　.  a(3a+b)(3a-b)　 -2(x-y)2　 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 38 5.(2023·遂宁)【跨学科·化学】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在 生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护.通常用碳原 子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷……癸烷(当碳原子数目超过10个时即用汉文 数字表示，如十一烷、十二烷……)等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为 C2H6，丙烷的化学式为C3H8，……其分子结构模型如图所示，按照此规律， 十二烷的化学式为　　　　.  C12H26　 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 39 6.若5x=3，5y=2，则52x-3y=　　　　.  7.若x=1时，代数式ax3-3bx+4的值为7，则当x=-1时，这个代数式的值为 　　　　.  8.计算：(-2)2 024×(+2)2 025=　　　　.  1 +2　 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 40 9.(人教版八上P119练习T2改编)化简：(2m+n)2-(m+2n)2. 解：原式=4m2+4mn+n2-m2-4mn-4n2=3m2-3n2. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 41 10.(2024·陕西)先化简，再求值：(x+y)2+x(x-2y)，其中x=1，y=-2. 解：原式=x2+2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2. 当x=1，y=-2时，原式=2×12+(-2)2=6. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 42 $$