01第一章 第一节 实数及其运算-【智乐星中考·学考传奇】2025年山东省中考数学讲练本（五四制）

1 2 第一节　实数及其运算 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1 实数的分类 1.按定义分类 5 2.按正、负数分类 6 知识点2 实数的有关概念 1.数轴 (1)概念：规定了________、__________和____________的直线叫作数轴.  (2)性质：①实数与数轴上的点是一一对应的； ②离原点越远的数的绝对值越大； ③数轴上右边的数总比左边的数大. 2.相反数：如果两个数只有__________不同，那么称其中一个数为另一个 数的相反数，也称这两个数互为相反数.特别地，0的相反数还是0； a+b=0⇔a，b互为相反数；在数轴上，表示互为相反数的两个点位于 原点两侧(0除外)，且与原点的距离__________.  原点　 正方向　 单位长度　 　符号　 　相等　 7 3.倒数：如果两个数的___________，那么称其中一个数是另一个数的倒 数，也称这两个数互为倒数.用数学语言表述为a·b=1，则a，b互为倒数. 特别地，1和-1的倒数还是它本身，0没有倒数.  4.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫作这个 数的绝对值. 互为相反数的两个数的绝对值相等. 乘积为1　 8 【方法指导】 绝对值的表示形式及意义 (1)实数a的绝对值可以表示为|a|= (2)对任何有理数a，总有|a|≥0. (3)若|x|=a(a≥0)，则x=±a. 9 5.平方根、算术平方根、立方根 (1)平方根：一般地，如果一个数x的__________等于a，即x2=a，那么这个 数x就叫作a的平方根(也叫作二次方根)，记作__________.  正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方 根. (2)算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这 个正数x就叫作a的算术平方根，记为______.，读作“根号a”.正数的算术平 方根是正数，0的算术平方根是0.  　平方　 　±　  　 10 (3)立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就 叫作a的立方根(也叫作三次方根)，记作_______.正数的立方根是正数， 0的立方根是0，负数的立方根是负数，每个实数有且只有一个立方根.   　 11 知识点3 近似数与科学记数法 1.近似数：与实际完全符合的数称为____________，与实际接近的数称为 ____________.  2.精确度：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精 确到哪一位. 3.科学记数法：一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式， 其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫作科学记数法. 　准确数　 　近似数　 12 4.常见单位换算 将含有计数(量)单位的数用科学记数法表示时，应先把计数(量)单位换 算为数字，然后用科学记数法来表示.常考的计数单位有：1千=103， 1万=104，1亿=108；常考的计量单位有：1 mm=10-3 m，1 μm=_______ m， 1 nm=_________m.  10-6　 　10-9　 13 知识点4 实数的大小比较 1.数轴比较法：在数轴上，右边点表示的数比左边点表示的数大. 2.法则比较法：正数>0，负数<0，正数>一切负数；两个负数比较大 小，绝对值大的反而小. 3.作差比较法：(1)若a-b>0，则a>b；(2)若a-b=0，则a=b；(3)若a-b<0， 则a<b. 14 4.作商比较法 (1)若a>0，b>0，则>1⇔a>b；=1⇔a=b；<1⇔a<b. (2)若a<0，b<0，则>1⇔a<b；=1⇔a=b；<1⇔a>b. 5.平方比较法：比较带有根号的数或估计带有根号的无理数时，通常先把各数进行平方运算去掉根号，把无理数转化为有理数，再进行比较或估算. 15 知识点5 实数的运算 1.实数的运算法则 (1)四则运算 ①加法：同号两数相加，取__________符号，并把______________.异号 两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取_______________ 的符号，并用较大的绝对值__________较小的绝对值；互为相反数的两 数相加得_______；一个数同0相加，仍得这个数.  相同的　 绝对值相加　 绝对值较大的数　 　减去　 　0　 16 ②减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+_________.  ③乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与 0相乘，积仍为0.a·b=ab；(-a)·(-b)=________；a·(-b)=-ab；0·a=_______.  ④除法：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除， 0除以任何非0的数都得0，0不能作除数.a÷b=a·(b≠0)；0÷b=0(b≠0). (2)乘方运算：an= . 　(-b)　 　ab　 　0　 17 (3)零指数幂与负整数指数幂 ①a0=　 　(a≠0)；  ②a-p=　　　　(a≠0，p为正整数).  (4)幂的运算：an·(±)n=(±a·)n=(±1)n. (5)绝对值：|a-b|= 1 a-b b-a 18 2.实数混合运算的顺序 (1)先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号内 的，注意一定先计算各小项的值. (2)没有括号的，在同一级运算中，要按从左至右的顺序依次运算. 19 3.有理数的运算律 (1)加法的交换律：a+b=b+a； (2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； (3)乘法的交换律：ab=ba； (4)乘法的结合律：(ab)c=a(bc)； (5)乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac. 20 知识点6 计算器的使用 1.计算器的主要按键符号及功能说明 ON/C(开机/清零)；OFF(关闭计算器键)；2ndF(第二功能选择键)； ANS(最终答案存储器)；x-1(倒数)；yx(乘幂运算)；x2(平方)；(方根 运算)；(开平方)；(开立方)； (分数输入). 2.键盘上有些键的上方还注明这个键的其他功能(称为第二功能)，这个 功能通常用不同的颜色标明以区别于这个键的第一功能，所有第二功能 的使用，均应先按一下2ndF，再按一下第二功能对应的键. 21 由于计算器的类型不一样，操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作. 22 命题点1 实数的分类3地2考　 例1 (2024·烟台)下列实数中的无理数是(　　) A. B.3.14 C. D. 【解题启发】 什么是无理数？无理数与有理数的区别是什么？ C 23 【方法指导】 常见无理数的形式 (1)开方开不尽的数，如，… (2)某些三角函数值，如sin 60°，cos 45°，tan 30°，… (3)类似循环小数型，如1.010 010 001…，4.151 151 115…，… (4)π 型，如，4π，，…(注意：π0=1) 24 练1 (2024·威海)一批食品，标准质量为每袋454 g.现随机抽取4个样品进 行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示， 那么最接近标准质量的是(　　) A.+7 B.-5 C.-3 D.10 C 25 命题点2 实数的有关概念3地2考　 考法❶　相反数、倒数、绝对值 例2 (2024·济宁)-3的绝对值是(　　) A.3 B. C.-3 D.- 【解题启发】 什么是绝对值？ A 26 练2 (2024·泰安)-的相反数是(　　) A. B.- C. D.- 练3 下列各组数中，互为倒数的是(　　) A.3与|-3| B.8与 C.7与- D.5与-5 C B 27 考法❷　平方根、算术平方根、立方根 例3 的算术平方根是(　　) A.8 B.±8 C.2 D.±2 【解题启发】 平方根、算术平方根和立方根有什么区别？ C 28 练4 (2024·内江)16的平方根是(　　) A.2 B.-4 C.4 D.±4 练5 (2024·青海)-8的立方根是　　　　.  D -2 29 命题点3 数轴3地1考　 例4 (2024·烟台)实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确 的是(　　) A.b+c>3 B.a-c<0 C.|a|>|c| D.-2a<-2b 【解题启发】 你能从数轴上得到什么信息？ B 30 练6 (2024·青岛)实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示， 这四个实数中绝对值最小的是(　　) A.a　　 B.b　　 C.c　　 D.d C 31 练7 (2024·德州)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论 正确的是(　　) A.|a|>|b| B.a+b<0 C.a+2>b+2 D.|a-1|>|b-1| D 32 命题点4 科学记数法3地3考　 例5 (2024·山东)2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益 性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为(　　) A.0.619×103 B.61.9×104 C.6.19×105 D.6.19×106 【解题启发】 1万=1×　　　，61.9万转化为数字是　　　， a是　　　，n是　　　　.  C 33 【方法指导】 (1)表示形式：a×10n. (2)a的确定：1≤|a|<10. (3)n的确定：①当原数的绝对值≥10时，n为正整数，且等于原数的整数位数减1； ②当0<原数的绝对值<1时，n是负整数，且它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的那一个). 34 练8 【新素材】 以全球最薄的手撕钢为背景考查科学记数法的表示 (2024·烟台)目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米， 约是A4纸厚度的六分之一，已知1毫米=1百万纳米，0.015毫米等于 多少纳米？将结果用科学记数法表示为(　　) A.0.15×103纳米 B.1.5×104纳米 C.15×10-5纳米 D.1.5×10-6纳米 B 35 练9 (2024·淄博)我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快 速发展.据中国汽车工业协会发布的消息显示，2024年1至3月，我国新能 源汽车完成出口30.7万辆.将30.7万用科学记数法表示为3.07×10n，则n的 值是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 B 36 命题点5 实数的大小比较3地0考　 例6 (2024·山东)下列实数中，平方最大的数是(　　) A.3 B. C.-1 D.-2 【解题启发】 这些数进行平方计算后有什么变化？ A 37 练10 (2024·威海)下列各数中，最小的数是(　　) A.-2 B.-(-2) C.- D.- A 38 命题点6实数的运算3地1考　 例7 (2023·菏泽)计算：|-2|+2sin 60°-2 0230=　　　　.  【解题启发】 |-2|=　　　　，sin 60°=　　　　，2 0230=　　　　.  1 39 练11 (2024·滨州)计算：2-1+(-2)×(-)-. 解：原式=+1-=0. 40 练12 (2023·济宁)计算：-2cos 30°+|-2|+2-1. 解：原式=2-2×+2-+=. 41 练13 【新考法】 策略开放性，自由组合进行计算 (2024·贵州节选)在①22，②|-2|，③(-1)0，④×2中任选3个代数式求和. 解：选取①②③这3个数进行求和， 22+|-2|+(-1)0=4+2+1=7.(答案不唯一) 42 命题点7计算器的使用3地2考　 例8 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 36°18'，按键顺序 正确的是(　　) 【解题启发】 计算器的按键你会使用吗？ D 43 练14 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=42°，BC=8.若用科学计算器 求AC的长，则下列按键顺序正确的是(　　) D 44 练15 (2023·烟台)利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 以上说法正确的序号是　　　　.  ①③　 45 建议用时：5分钟 1.(2024·淄博)下列运算结果是正数的是(　　)　　 A.3-1 B.-32 C.-|-3| D.- A 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 46 2.(2024·日照)实数-，0，，1.732中无理数是(　　) A.- B.0 C. D.1.732 C 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 47 3.的平方根是(　　) A.4 B.±4 C.2 D.±2 D 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 48 4.(2023·济南)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.ab>0 B.a+b>0 C.a+3<b+3 D.-3a<-3b D 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 49 5.填空：-3的相反数是　　　　，绝对值是　　　　， |-2|=　　　　.  3- 3- 2 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 50 6.若(a-2)2+|b+3|=0，则ab=　　　　.  -6 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 51 7.(2023·东营)我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于 0.000 000 3.将0.000 000 3用科学记数法可以表示为　　　　　　.  3×10-7 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 52 8.(2023·东营改编)计算：tan 45°-(2 023-π)0+|2-2|+()-1. 解：原式=×1-1+2-2+4=3+1. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 53 $$