专题04 活用正余弦定理玩转三角形（7大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题04 活用正余弦定理玩转三角形 【题型归纳目录】 题型一：利用正余弦定理解三角形 题型二：三角形形状的判断 题型三：三角形的多解问题 题型四：周长与面积问题 题型五：实际应用问题 题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题 题型七：综合应用问题 【知识点梳理】 1、正弦定理 （其中为外接圆的半径）． 常用变形： （1）； （2）； （3）； （4），，． 2、余弦定理 ，，， ，， 3、三角形中的常见结论 （1）． （2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：． （3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边． （4）的面积公式 ①（ 表示边上的高）； ②； ③（为内切圆半径）； ④，其中． 4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 5、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． （3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （4）坡度＝，即坡角的正切值． 【典型例题】 题型一：利用正余弦定理解三角形 【例1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知的内角的对边分别为，若，，，则（   ） A．4 B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·广西河池·阶段练习）在三角形中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 题型二：三角形形状的判断 【例2】（24-25高一下·陕西·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【变式2-1】（24-25高一下·福建·期中）已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式2-2】（24-25高一下·浙江·期中）在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2-3】（24-25高一下·江苏常州·期中）设中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 题型三：三角形的多解问题 【例3】（24-25高一下·陕西榆林·期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的三角形有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式3-1】（24-25高一下·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：周长与面积问题 【例4】（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)若，设为的中点，且，求的周长. 【变式4-1】（24-25高一下·陕西榆林·期中）在中，内角的对边分别是，，，且，为边上的点，且平分. (1)求的大小； (2)若，，求的周长. 【变式4-2】（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【变式4-3】（24-25高一下·新疆伊犁·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若D为AB中点，，，求的周长． 题型五：实际应用问题 【例5】（24-25高一下·浙江·期中）甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为 千米． 【变式5-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）除特许外，外轮不得进入离我国海岸线mile以内的区域．如图，A，B是海岸线上相距mile的两个观测站，测得某外轮在点位置，，，则此时离海岸线的距离为 mile． 【变式5-2】（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 . 【变式5-3】（24-25高一下·河北邢台·期中）某数学兴趣小组成员为测量，两地之间的距离，测得在的北偏东方向上，在的北偏西方向上，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，在的正东方向上，且，相距20千米，则，两地之间的距离是 千米. 题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题 【例6】（24-25高一下·四川成都·期中）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，角的对边分别为，，，且，，，求的面积. 【变式6-1】（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知函数 (1)求单调递增区间： (2)在中的对边分别为，求的值和的面积. 【变式6-2】（24-25高一下·云南红河·阶段练习）已知向量，，函数． (1)求的解析式； (2)已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边上的中线长； (3)若，，求． 【变式6-3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)求的周期及在上的值域； (2)已知锐角中,，且的面积为，，求边上的中线的长． 题型七：综合应用问题 【例7】（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）已知函数. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)在中，，，分别为角，，的对边，，，求的周长的取值范围. 【变式7-1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作． (1)若点分别是线段的中点，求； (2)当时称为调和点列，若，求值； (3)已知，且，点为线段的中点，，，求 【变式7-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，．已知. (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，，求的值. 【变式7-3】（23-24高一下·河南漯河·期中）法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”，如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，其中，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.    (1)求角； (2)求周长的最大值； (3)若的面积为，求的面积. 【强化训练】 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 2．（24-25高一下·湖南长沙·期中）在中，，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 5．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别是若，且，则该三角形的形状是（    ） A．三边均不相等的三角形 B．底边与腰不相等的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．（多选题）（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（   ） A．若CD是中线，则 B．若CD是高，则 C．若CD是角平分线，则 D．若D是线段AB的三等分点，则 7．（多选题）（24-25高一下·江苏宿迁·期中）的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．，则为等腰三角形 C．，，，则有两解 D．若，则可以是钝角三角形 8．（多选题）（24-25高一下·福建莆田·期中）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则三角形有两解 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为钝角三角形 9．（24-25高一下·天津南开·期中）一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了2km到达地，然后由地向南偏东方向骑行了2km到达地，再从地向北偏东方向骑行了8km到达地，则A，D两地的距离为 km． 10．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为 ．      11．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若，，求的周长． 12．（24-25高一下·重庆·期中）在中，设角所对的边分别是，已知． (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的周长． 13．（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，且三角形的面积为，求的周长l． 14．（23-24高一下·福建南平·期末）已知的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，且的面积为，求的周长． 15．（24-25高一下·山东·期中）已知的内角的对边分别是，向量，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 16．（23-24高一下·辽宁·期中）古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，    (1)若，，，（图1），求线段长度的最大值； (2)若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； (3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. 17．（23-24高一下·江苏南京·期中）在扇形中，圆心角，半径，点在弧上（不包括端点），设. (1)求四边形的面积关于的函数解析式； (2)求四边形的面积的取值范围； (3)托勒密所著《天文学》第一卷中载有弦表，并且讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.先分别在线段，上取点，，使得为等边三角形，求面积的最小值. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 活用正余弦定理玩转三角形 【题型归纳目录】 题型一：利用正余弦定理解三角形 题型二：三角形形状的判断 题型三：三角形的多解问题 题型四：周长与面积问题 题型五：实际应用问题 题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题 题型七：综合应用问题 【知识点梳理】 1、正弦定理 （其中为外接圆的半径）． 常用变形： （1）； （2）； （3）； （4），，． 2、余弦定理 ，，， ，， 3、三角形中的常见结论 （1）． （2） 在三角形中大边对大角， 大角对大边：． （3）任意两边之和大于第三边， 任意两边之差小于第三边． （4）的面积公式 ①（ 表示边上的高）； ②； ③（为内切圆半径）； ④，其中． 4、用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 5、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． （3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （4）坡度＝，即坡角的正切值． 【典型例题】 题型一：利用正余弦定理解三角形 【例1】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知的内角的对边分别为，若，，，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 由得. 故选：B 【变式1-1】（24-25高一下·广西河池·阶段练习）在三角形中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由可得：，所以， 又，则， 所以． 故选：A 【变式1-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 由正弦定理，可得，即，可得， 又由余弦定理，可得，所以， 则. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理可知， 又因为，所以可得. 故选：A 题型二：三角形形状的判断 【例2】（24-25高一下·陕西·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一下·福建·期中）已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】在中，因为，且， 所以，由正弦定理得， 所以，即， 又，则，则， 所以，所以该三角形为等腰三角形. 故选：A 【变式2-2】（24-25高一下·浙江·期中）在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】因为， 所以由余弦定理，整理化简得. 所以即，或即， 所以三角形ABC的形状为等腰或直角三角形. 故选：D 【变式2-3】（24-25高一下·江苏常州·期中）设中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】由， 利用正弦定理：， 整理得， 因为，所以，故， 故． 所以为直角三角形. 故选：D． 题型三：三角形的多解问题 【例3】（24-25高一下·陕西榆林·期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的三角形有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【解析】因为，所以，所以满足条件的三角形有2个. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高一下·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中利用正弦定理得，则， 若满足上述条件的有且仅有一个，则或， 则或， 则边长的取值范围是. 故选：C 【变式3-2】（24-25高一下·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若该三角形有两个解，则，又， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 题型四：周长与面积问题 【例4】（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，角，，所对的边分别为，，.已知. (1)求角的大小； (2)若，设为的中点，且，求的周长. 【解析】（1）∵，由正弦定理得， 即， ∴，又，所以，从而. （2）∵为的中点，∴，两边平方可得， 即①， 在中，由余弦定理得②， 由①②可得，，，所以，即. 所以的周长为. 【变式4-1】（24-25高一下·陕西榆林·期中）在中，内角的对边分别是，，，且，为边上的点，且平分. (1)求的大小； (2)若，，求的周长. 【解析】（1），由正弦定理有 ， 又，，. 又，，， 即. （2）平分，，， ， 即，即， 即，① 由余弦定理得，即.② 将①代入②得， 解得，或（舍去）， 的周长为. 【变式4-2】（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【解析】（1）在中， ，， 由正弦定理得，， 则， 由余弦定理，， 因为，所以. （2）由（1）知，， 又，的面积为， 所以， 解得，所以， 又由余弦定理，，即， 所以的周长为. 【变式4-3】（24-25高一下·新疆伊犁·期中）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若D为AB中点，，，求的周长． 【解析】（1）方法一：因为，可得， 由正弦定理，可得， 因为，可得， 所以， 又因为，可得，所以． 方法二：因为，可得， 由余弦定理，可得， 整理得，可得， 因为，所以． （2）方法一：由（1）知：且， 因为，可得， 在中，利用余弦定理得，所以， 又由余弦定理得，所以， 可得，所以的周长为． 方法二：因为，所以， 由余弦定理，可得，所以， 又由余弦定理得，所以，所以， 又因为，所以， 所以的周长为． 方法三：在和中，由余弦定理可得， 所以， 又由余弦定理得，所以，所以， 又因为，所以， 所以的周长为． 题型五：实际应用问题 【例5】（24-25高一下·浙江·期中）甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为 千米． 【答案】 【解析】 设两小时后，甲、乙两船的位置分别为处， 由题意可知， 所以， 由余弦定理可得：， 即， 所以， 故答案为： 【变式5-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）除特许外，外轮不得进入离我国海岸线mile以内的区域．如图，A，B是海岸线上相距mile的两个观测站，测得某外轮在点位置，，，则此时离海岸线的距离为 mile． 【答案】 【解析】 如图，作于点，由正弦定理，， 因，，故， 而， 故， 在中，. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 . 【答案】 【解析】在中，由正弦定理得：， 即，即 又， 则， 则树高m， 故答案为： 【变式5-3】（24-25高一下·河北邢台·期中）某数学兴趣小组成员为测量，两地之间的距离，测得在的北偏东方向上，在的北偏西方向上，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，在的正东方向上，且，相距20千米，则，两地之间的距离是 千米. 【答案】 【解析】如图： 在中，由题意可知，，千米， 由正弦定理可得，则千米. 在中，由题意可知，，千米， 由正弦定理可得，则千米. 在中，，千米，则千米. 故答案为： 题型六：正余弦定理与三角函数性质结合问题 【例6】（24-25高一下·四川成都·期中）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，角的对边分别为，，，且，，，求的面积. 【解析】（1）易知； 令， 解得； 所以函数的单调递增区间为 （2）由可得，即； 又因为，可得； 所以，解得； 又，; 由余弦定理可得, 解得， 因此的面积为. 【变式6-1】（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知函数 (1)求单调递增区间： (2)在中的对边分别为，求的值和的面积. 【解析】（1）因为 ， 令，得， 所以的单递增区间为. （2）因为，即， 又，所以， 所以，故， 因为，所以，即①， 又，由正弦定理得②， 由①②可得， 所以. 【变式6-2】（24-25高一下·云南红河·阶段练习）已知向量，，函数． (1)求的解析式； (2)已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边上的中线长； (3)若，，求． 【解析】（1）因为， 所以， 所以 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，所以，则， 由余弦定理，又，， 所以， 设的边上的中线为，则， 所以 ， 所以，所以的边上的中线长为； （3）因为，可得， 即，又，则， 所以， 所以. 【变式6-3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)求的周期及在上的值域； (2)已知锐角中,，且的面积为，，求边上的中线的长． 【解析】（1） ， 因为，所以，所以， 所以在上的值域. （2）因为为锐角三角形，所以，， 又，所以，即， 因为，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 因为为边上的中线，所以， 所以， 所以. 即边上的中线的长为 题型七：综合应用问题 【例7】（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）已知函数. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)在中，，，分别为角，，的对边，，，求的周长的取值范围. 【解析】（1） 由，得：，，   函数在上的单调递增区间为，； （2）由得：， ，，，， 由余弦定理知， （当且仅当时等号成立）， 又，，. 【变式7-1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作． (1)若点分别是线段的中点，求； (2)当时称为调和点列，若，求值； (3)已知，且，点为线段的中点，，，求 【解析】（1）由条件可得，，则，所以． （2）由知，两点分属线段内外分点， 不妨设，， 则，， 由知：， 则，即，即． （3）方法一：由，可得，即，所以， 又点B为线段的中点，即，所以， 又，所以，，， 又已知，所以． 设，，由，得， 即，解得，① 在中，由正弦定理可得，得②， 在中，由正弦定理可得，得③， 又， ②③得，即④， 由①④解得，（负值舍去），即，， 所以． 方法二：因为，所以， 设，则， 又B为线段的中点，所以， 又已知，，所以， 所以，得，所以，， 由， 得， 所以， 设，则， 由，互补得， 即， 解得，所以，， 所以 【变式7-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，．已知. (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的值； (3)若，，求的值. 【解析】（1）在中，，∴由正弦定理得，化简得， ∴由余弦定理可得. 又，所以. （2）由（1）知. 因为的面积为，解得. 由（1）可得，所以，即， 所以，解得（舍去）. （3）由（1）知. 由，得. 因为，所以，所以，即. ， 由正弦定理可知. 【变式7-3】（23-24高一下·河南漯河·期中）法国著名军事家拿破仑•波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”，如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，其中，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.    (1)求角； (2)求周长的最大值； (3)若的面积为，求的面积. 【解析】（1），则， 故，所以， 可得（负值舍），由，所以. （2）由（1）知：， 则， 即：， 即， 所以，当且仅当时取等号， 所以最大值为6， 所以周长的最大值为9. （3）如图，连接，由正弦定理得 ，,则， 正面积， 而，则， 在中，由余弦定理得：， 即，则， 在中，，由余弦定理得， 则， 所以的面积为 【强化训练】 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【答案】A 【解析】在中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 2．（24-25高一下·湖南长沙·期中）在中，，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，所以，所以最大， 设， 由余弦定理得：， 故选：A 3．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为且，有两解， 所以，得． 故选：C 4．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 【答案】A 【解析】对于A，由正弦定理，可得， 三角形无解，故A正确； 对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在， 故三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，此时， 三角形有一解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，三角形无解， 故D错误； 故选：A 5．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别是若，且，则该三角形的形状是（    ） A．三边均不相等的三角形 B．底边与腰不相等的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因为，，所以，即， 又由，结合正弦定理得：， 即，则， 因为有一个角是的等腰三角形是等边三角形，所以为等边三角形. 故选：C. 6．（多选题）（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（   ） A．若CD是中线，则 B．若CD是高，则 C．若CD是角平分线，则 D．若D是线段AB的三等分点，则 【答案】AC 【解析】 A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则 则 B选项： 则则故B错误. C选项： 即 则则故C正确. D选项：在中 在中若， 可得若是线段的三等分点，则或 但,均不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 7．（多选题）（24-25高一下·江苏宿迁·期中）的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．，则为等腰三角形 C．，，，则有两解 D．若，则可以是钝角三角形 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以由正弦定理可得，又大边对大角，则，故A正确； 对于B，由，得，所以由余弦定理得， 所以，得， 所以，所以， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，过作于点，则， 因为，所以有两解，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 因为，且不可能有两个钝角，所以， 所以三个内角均为锐角，故D错误. 故选：AC 8．（多选题）（24-25高一下·福建莆田·期中）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则三角形有两解 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为钝角三角形 【答案】AD 【解析】由大边对大角可知，故A正确； 对于B： 若，，， 由正弦定理可知， ∴，∴， ∵，∴，∴角为锐角， ∴角只有一解，∴只有一解，故B错误； 对于C： 解法一：若， 结合余弦定理可得， 整理分解因式可得， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 解法二：∵，， ∴，∴， ∵， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D： ∵，结合余弦定理可得， 又∵，则， ∴为钝角三角形，故D正确. 故选：AD. 9．（24-25高一下·天津南开·期中）一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了2km到达地，然后由地向南偏东方向骑行了2km到达地，再从地向北偏东方向骑行了8km到达地，则A，D两地的距离为 km． 【答案】 【解析】由题可知，， 所以，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 即两地的距离为. 故答案为： 10．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为 ．      【答案】 【解析】如图所示，由题意得，在中，可得， ，， 所以 由正弦定理得． 因此，点与灯塔的距离为是. 故答案为：. 11．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若，，求的周长． 【解析】（1）由，得， 所以 又，所以，所以， 因为，所以． （2）因为，所以，则， 又，余弦定理，所以， 可得，即， 所以，即的周长为20． 12．（24-25高一下·重庆·期中）在中，设角所对的边分别是，已知． (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的周长． 【解析】（1）则，又为内角，故. （2），故. 又，故， 故，即，故的周长为 13．（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，且三角形的面积为，求的周长l． 【解析】（1）∵， 又，所以． （2），即， 由余弦定理得：．解得： 所以的周长 14．（23-24高一下·福建南平·期末）已知的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，且的面积为，求的周长． 【解析】（1）由正弦定理可得， 所以， 即， 因为，所以， 所以，化简得，即， 又由，可得， 故，所以； （2）由已知可得，， 可得，化简得，，即， 又由余弦定理可得，化简得，， 联立解得， 所以的周长为 15．（24-25高一下·山东·期中）已知的内角的对边分别是，向量，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【解析】（1）因为向量， 所以， 根据正弦定理，得， 在中，，则， 则， 即， 也即 又在中，，则， 则可得：，即， 在中，，所以. （2）因为的面积为，由（1）知， 所以，则， 在中，由余弦定理得，， 又，则，解得， 所以的周长为． 16．（23-24高一下·辽宁·期中）古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，    (1)若，，，（图1），求线段长度的最大值； (2)若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； (3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. 【解析】（1）由，，，，可得， 由题意可得， 即， 即，当且仅当四点共圆时等号成立 即的最大值为； （2）如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，， 所以，即，， 在中，，① 在中，由余弦定理可得，② 由①②可得， 解得，而，可得， 所以， 此时． 所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为． （3）由题意可知所以，即， 在中，由余弦定理可得, 故, 故， 故，当且仅当时等号成立， 故最大值为 17．（23-24高一下·江苏南京·期中）在扇形中，圆心角，半径，点在弧上（不包括端点），设. (1)求四边形的面积关于的函数解析式； (2)求四边形的面积的取值范围； (3)托勒密所著《天文学》第一卷中载有弦表，并且讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：在圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.先分别在线段，上取点，，使得为等边三角形，求面积的最小值. 【解析】（1） ，； （2）因为，所以，所以， 所以，即四边形的面积的取值范围为. （3）因为，由托勒密定理知：， 化简得， 在中，由余弦定理得： ， 当且仅当时取到最小值， 所以，当且仅当时取等号. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$