专题06 复数的综合运用（8大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题06 复数的综合运用 【题型归纳目录】 题型一：复数的概念 题型二：复数的几何意义 题型三：复数的最值问题 题型四：复数相等与共轭复数 题型五：复数的三角形式 题型六：复数模的综合应用 题型七：复数方程 题型八：复数的四则运算 【知识点梳理】 一、基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、基本性质 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 【典型例题】 题型一：复数的概念 【例1】（2025·河南·二模）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·重庆·阶段练习）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：复数的几何意义 【例2】（24-25高一下·湖南·期中）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】（24-25高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·四川凉山·期中）复数（为虚数单位）在复平面内所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三：复数的最值问题 【例3】（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则的最小值为 ． 【变式3-2】（24-25高一下·安徽芜湖·期中）设是复数且，则的最大值为 ． 题型四：复数相等与共轭复数 【例4】（24-25高一下·河南许昌·期中）已知复数z满足，则 ． 【变式4-1】（24-25高一下·广东潮州·期中）已知为虚数单位，，若，则 . 【变式4-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知，则＝ . 题型五：复数的三角形式 【例5】（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-2】（23-24高三上·辽宁·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 题型六：复数模的综合应用 【例6】（23-24高一下·上海浦东新·期末）若复数z满足且，则 ． 【变式6-1】（24-25高一下·福建莆田·期中）已知复数z满足，则 ． 【变式6-2】（2025·辽宁·一模）设复数满足，则 . 题型七：复数方程 【例7】（24-25高一下·河南·期中）已知是一元二次方程的一个复数根，且复数，i为虚数单位，. (1)求m，n的值； (2)求； (3)求的实部和虚部，并说明其在复平面内对应的点位于第几象限？ 【变式7-1】（24-25高一下·山东济宁·期中）已知复数为虚数. (1)若是实数，求复数的模； (2)若，是关于的方程的一个根，求. 【变式7-2】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【变式7-3】（24-25高二上·四川内江·开学考试）材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 题型八：复数的四则运算 【例8】（24-25高一下·福建漳州·期中）已知复数，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求 【变式8-1】（24-25高一下·河北邢台·期中）（1）求． （2），，求． （3）求方程的根． 【变式8-2】（24-25高一下·新疆伊犁·期中）已知i是虚数单位，复数 ． 【强化训练】 1．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东中山·模拟预测）若复数的实部大于0，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏·期中）已知i为虚数单位，复数z满足，则（   ） A． B．1 C． D． 4．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 6．（24-25高一下·广东广州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）设，则在复平面内z对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A． B． C．2 D． 9．（24-25高一下·天津河西·期中）是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（24-25高一下·福建三明·期中）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设是虚数单位，若复数满足，则 . 13．（24-25高一下·河北·期中）已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 14．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知复数（，），且和均为实数，其中是虚数单位，复数对应的点为． (1)求向量的坐标； (2)若对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 15．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知复数，且为纯虚数． (1)求复数z； (2)若复数，求以及它的共轭复数． 16．（24-25高一下·福建三明·期中）已知复数，且为纯虚数（其中是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)若复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，求向量在向量上的投影向量的坐标. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 复数的综合运用 【题型归纳目录】 题型一：复数的概念 题型二：复数的几何意义 题型三：复数的最值问题 题型四：复数相等与共轭复数 题型五：复数的三角形式 题型六：复数模的综合应用 题型七：复数方程 题型八：复数的四则运算 【知识点梳理】 一、基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、基本性质 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 【典型例题】 题型一：复数的概念 【例1】（2025·河南·二模）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，故，其虚部为． 故选：C． 【变式1-1】（24-25高一下·重庆·阶段练习）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 【变式1-2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若，互为共轭复数，设，则， 则，若，则，所以“，互为共轭复数”推不出“，的差为纯虚数， 不妨取，，则，显然满足，的差为纯虚数， 但，不互为共轭复数，所以“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 题型二：复数的几何意义 【例2】（24-25高一下·湖南·期中）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为， 所以对应的点的位于在第四象限，故D正确. 故选：D 【变式2-1】（24-25高一下·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D 【变式2-2】（24-25高一下·四川凉山·期中）复数（为虚数单位）在复平面内所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】， 其实部为，虚部为， 所以在复平面内所对应的点在第一象限， 故选：A 题型三：复数的最值问题 【例3】（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 【答案】 【解析】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为且，所对应的向量，满足，即， 不妨令，，则，， 又，设，即 则， 所以 ， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足， 由复数的几何意义可知，点Z到点和的距离相等， 所以在复平面内，点Z的轨迹为x轴， 又表示点Z到点的距离， 所以的最小值为x轴上的动点Z到定点距离的最小值， 所以的最小值为2． 故答案为： 2 【变式3-2】（24-25高一下·安徽芜湖·期中）设是复数且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离. 由图可知，. 故答案为：. 题型四：复数相等与共轭复数 【例4】（24-25高一下·河南许昌·期中）已知复数z满足，则 ． 【答案】 【解析】设，则， 由，得，则，解得， 所以. 故选： 【变式4-1】（24-25高一下·广东潮州·期中）已知为虚数单位，，若，则 . 【答案】 【解析】由题设，则，可得. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知，则＝ . 【答案】/ 【解析】因为， 所以，所以. 故答案为： 题型五：复数的三角形式 【例5】（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 【变式5-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高三上·辽宁·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故. 故选：A. 题型六：复数模的综合应用 【例6】（23-24高一下·上海浦东新·期末）若复数z满足且，则 ． 【答案】2 【解析】令且， 由，则，可得， 由，则，可得， 所以，故. 故答案为：2 【变式6-1】（24-25高一下·福建莆田·期中）已知复数z满足，则 ． 【答案】 【解析】复数z满足， 则，所以 则． 故答案为：. 【变式6-2】（2025·辽宁·一模）设复数满足，则 . 【答案】 【解析】因为对任意复数，都有， 又，所以， 所以，所以. 故答案为：. 题型七：复数方程 【例7】（24-25高一下·河南·期中）已知是一元二次方程的一个复数根，且复数，i为虚数单位，. (1)求m，n的值； (2)求； (3)求的实部和虚部，并说明其在复平面内对应的点位于第几象限？ 【解析】（1）因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以是方程的另一个根， 所以，， 即，解得. （2）由（1）知，， 所以， 所以. （3）， 所以实部为，虚部为，复数对应点在第二象限. 【变式7-1】（24-25高一下·山东济宁·期中）已知复数为虚数. (1)若是实数，求复数的模； (2)若，是关于的方程的一个根，求. 【解析】（1）由复数为虚数，则， 又因为， 因为是实数，所以，即，所以； （2）由是方程的一个根，所以，即，由， 所以. 【变式7-2】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【解析】（1）因为复数满足， 所以， 所以. 所以. （2）因为复数是关于的方程的一个根， 由（1）知，所以 ， 所以， 解得，. 【变式7-3】（24-25高二上·四川内江·开学考试）材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 【解析】（1）由阅读材料可知：，且， 有：； （2）由材料可知：一元四次方程可改写为展开得： ， 故可得：. （3）由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为, 题型八：复数的四则运算 【例8】（24-25高一下·福建漳州·期中）已知复数，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求 【解析】（1）复数，则，又a是实数， 因此，解得， 所以实数a的值是. （2）复数，， 则， 因为是纯虚数，于是，解得， 因此，又，，，， 则，，，，， 即有，， 所以. 【变式8-1】（24-25高一下·河北邢台·期中）（1）求． （2），，求． （3）求方程的根． 【解析】（1）． （2）因为，所以，， 故． （3）由，有， 所以方程的解，． 【变式8-2】（24-25高一下·新疆伊犁·期中）已知i是虚数单位，复数 ． 【答案】 【解析】复数． 故答案为：. 【强化训练】 1．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知， 则， 故， 故选：B 2．（2025·广东中山·模拟预测）若复数的实部大于0，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，其中，， 则. 又， ∴，解得，∴. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏·期中）已知i为虚数单位，复数z满足，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴， ∴. 故选：C. 4．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】因为复数是纯虚数， 所以， 解得. 故选：A. 5．（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】A 【解析】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图， 如图，最小值为. 故选：A 6．（24-25高一下·广东广州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 7．（24-25高一下·重庆荣昌·期中）设，则在复平面内z对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由， 所以z对应点坐标，第三象限， 故选：C 8．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由，则. 故选：D 9．（24-25高一下·天津河西·期中）是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】复数对应的坐标为，在第三象限. 故选：C. 10．（24-25高一下·福建三明·期中）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为. 所以复数的虚部为：2. 故选：D 11．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】， 则， 所以在复平面内对应的点的坐标为（-2，-3），位于第三象限. 故选：C. 12．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设是虚数单位，若复数满足，则 . 【答案】/ 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为： 13．（24-25高一下·河北·期中）已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【解析】（1）由复数，， 可得， 因为复数为纯虚数，所以，解得． （2）由， 可得， 因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得 所以实数的取值范围为． 14．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知复数（，），且和均为实数，其中是虚数单位，复数对应的点为． (1)求向量的坐标； (2)若对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【解析】（1）由为实数，得，则， 又为实数， 则，解得，因此，所以； （2）由（1）知，，而，则， 复数在复平面内对应的点在第四象限， 于是，即，解得或， 所以的取值范围为． 15．（24-25高一下·贵州黔南·期中）已知复数，且为纯虚数． (1)求复数z； (2)若复数，求以及它的共轭复数． 【解析】（1）， 由于为纯虚数，故且， 解得，所以； （2）， 故，. 16．（24-25高一下·福建三明·期中）已知复数，且为纯虚数（其中是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)若复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，求向量在向量上的投影向量的坐标. 【解析】（1）由已知得, ∴, 依题意得 ，解得： ; （2）∵ 依题意得，解得： ∴的取值范围是; （3）由已知得 ∴， ∴量在上的投影向量坐标为. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$