7.4.1 二项式定理 学案-2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

7.4.1　二项式定理(1)

1.  掌握二项式定理和二项展开式的通项，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题．

2.  提升归纳猜想、抽象概括、演绎证明等思维能力．

活动一  背景引入

问题：由多项式的乘法法则可以知道：

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，

那么你能写出(a＋b)4的展开式吗？

 

 

 

思考1►►►

(a＋b)4展开后，合并同类项之前有几项？

 

 

思考2►►►

合并同类项后有几项？

 

 

思考3►►►

合并前，每一项的系数是多少？合并后，如何求每一项的系数？

 

 

 

 

思考4►►►

类比刚才的研究过程思考：(a＋b)n展开后，它的各项是什么呢？

 

 

 

 

活动二　　二项式定理

1.  二项式定理：

(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－r·br＋…＋Cbn(n∈N*).

思考5►►►

如何证明这个结论呢？

 

 

 

 

2.

活动三　二项式定理的简单应用　

例1　利用二项式定理展开下列各式：

(1)  (a－b)n；

(2)  (1＋)4；

(3)  (2－)6.

 

 

 

 

 

例2　分别求(2a＋3b)6和(3b＋2a)6的展开式中的第3项．

 

 

 

 

 

 

 

(2a＋3b)6和(3b＋2a)6的二项展开式相同，但展开式中的第r项不相同．

例3　求(1＋2x)7的第4项的二项式系数和系数．

 

 

 

 

 

 

 

 

思考6►►►

二项展开式中，某一项的二项式系数与该项的系数有什么区别？

 

 

 

 

 

 

例4　求(x－)6的二项展开式中的常数项．

 

 

 

 

 

 

 

求二项展开式中的特定项的方法：

利用通项Tk＋1＝Can－kbk进行化简后，令字母的指数符合要求，解出项数k＋