黄金卷05（陕西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A．0 B．1 C． D． 3．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的直角三角形上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． （第3题图）（第4题图）（第5题图） 4．如图，在中，，点分别是边的中点，连接，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（  ） A．当时，是菱形 B．当时，是菱形 C．当时，是矩形 D．当时，是正方形 6．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，点A，B，E在以为直径的上，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，将其图象向右平移个单位，得到新的二次函数的图象，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．则实数的取值可以是（   ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 9．因式分解： ． 10．如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是 ． （第10题图）（第11题图）（第12题图） 11．如图，大正方形游戏板是由个全等的直角三角形和个小正方形（图中阴影部分）拼成的“弦图”，已知直角三角形的两条直角边的长度分别为，．假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 12．如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于 ． 13．如图，在矩形中，，，E为的中点，F为平面内一点，，连接．以为腰作等腰，则底边的最大值为 ． 三、解答题：（本大题13个小题，共81分） 14．计算：． 15．解方程：． 16．先化简，再求值：，其中． 17．作图题：如图，已知等边和直线．利用尺规在直线上作出点，使得．（保留作图痕迹，不写作法，作出一点即可） 18．如图，是边上的点，，，，求证：． 19．古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 20．春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上哪吒、敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上太乙真人、申公豹、李靖，放入不透明的乙袋中． (1)从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是______； (2)先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 21．某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 22．某校九年级同学进行跨学科主题学习活动，利用所学知识研究一种化学试剂在某种场景下的挥发情况．在实验过程中，当试剂挥发时间为分钟时，该场景中这种试剂的剩余质量为克． 下面是数学小组在探究过程中记录的与的几组对应值： （分钟） … … （克） … … (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若该场景中这种试剂的剩余质量（克）与试剂挥发时间（分钟）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是___________函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数表达式； (3)当该场景中这种试剂的剩余质量为8克时，请推算这种试剂挥发的时间． 23．在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了A，B，C三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（每位测试员打分不超过10分），各位测试员打分之和作为该款智能机器人运动能力测试成绩．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p (1)填空：　　　，　　　； (2)通过比较方差，测试员对　　　（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； (3)按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你通过计算判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 24．如图，是的直径，点B在上，过点B作的切线交的延长线于点E，平分交于点D． (1)求证：； (2)若，，求的值． 25．如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2，以水平地面为轴，以停车棚支柱为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则棚顶的竖直高度（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系的图象，其中点距地面，点为车棚最远端上的一点，距离停车棚支柱的水平距离为，距地面． (1)求二次函数的解析式； (2)某校数学兴趣小组研究一辆货车能否在如图2所示的停车棚下避雨，他们将货车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现货车能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； (3)如图，雨点沿着与地面的夹角为的方向直线落下，若问题（2）中的货车上货箱底部距地面（货箱和货物都看作一个矩形），请通过计算说明在货箱底部不会淋雨的情况下，货车最多还能装超出货箱多高的货物？（参考数据：，结果精确到） 26．问题提出 （1）如图1，在矩形中，，是上一点，是上一点，连接，．当是等腰直角三角形时，求的面积． 问题解决 （2）如图2，工人师傅需要制作一个零件模板，其形状为四边形，零件要求： ，，为了后续零件安装，需要在零件上刻画一道凹槽，即在边上确定一点，沿着刻画凹槽，同时为了使零件能够符合安装规格，还要求．请你根据要求，找出点的位置并求出边的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题3分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C A D C C B 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 11．/ 12． 13． 14．6 15． 三、解答题：（本大题共8个小题，共81分.） 14.解： （3分） ．（5分） 15.解：原方程可化为，（1分） 方程两边同乘，（2分） 得，（3分） 整理，得，解得．（4分） 当时，， ∴是原分式方程的解．（5分） 16．解： （2分） （3分） ，（4分） 当时， 原式．（5分） 17．如图所示为所求： （5分） 18．证明：， ．（1分） 又， ．（2分） 在和中， ， ，（4分） ．（5分） 19．解：设有x人， 根据题意得，， （3分） 解得， （4分） 物价：（元）， （5分） 答：有4人共同买这件物品，这件物品的价格为20元． 20．（1）解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种， ∴卡片人物恰好是哪吒的概率为． 故答案为：；（1分） （2）解：列表如下： C D E A B （3分） 共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种，（4分） ∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（5分） 21．解：延长交于点，过点作，由题意，得：， 则四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵斜坡的坡度i为，， ∴，（2分） 设，则：， ∴， ∴， ∴，，（4分） ∴， 在中，由题意，得：， ∴，（5分） ∴；（6分） 答：古树的高度为米． 22．（1）解：描出各点如图所示： （1分） 观察可知各点在同一条直线上，可能是一次函数；（2分） （2）观察表格数据得：时间每过分钟，剩余质量减少克， 和满足一次函数关系， 设，（3分） 把，代入， 得：， 解得， ∴关于的函数表达式为；（5分） （3）当时，，（6分） 解得：， 答：该化学试剂经过分钟剩余质量恰好为克．（7分） 23.（1）解：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， ∴A款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是8分， ∴， 故答案为：9；8；（2分） （2）解：由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴， 由表知， ∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 故答案为：B；（4分） （3）解：∵A款机器人的综合成绩为（分），（5分） B款机器人的综合成绩为（分），（6分） C款机器人的综合成绩为（分）， ∵， ∴综合成绩最高的是B款机器人．（7分） 24.（1）证明：连接，如解图所示． 是的切线， ． 是的直径， ．（1分） ， 即．（2分） ． ， ， ．（3分） ．（4分） （2）解：如图，连接， ∵，平分， ∴， ∴，（5分） ∴，， ∴， ∴，（6分） ∵，， ∴，（7分） ∴.（8分） 25.（1）解：由题意知，，代入，（1分） 得：， 解得， 二次函数的解析式为；（2分） （2）解：∵，棚顶外沿B距车棚支柱的水平距离为， ∴，（3分） 在中，当时，，（4分） ∵， ∴可判定货车能完全停到车棚内；（5分） （3）解：如图，过点B作轴，垂足为M，设G为货箱底部最外点，过G作，垂足为H， 由题意知，在中，，， ， ， 设，则，（6分） 由勾股定理得， 解得， 则点C的横坐标为：，（7分） 当时，， ， （8分） 即货车最多还能装超出货箱的货物． 26.解：（1）在矩形中，，， ，， 在等腰中，，， ， ， 在和中， ，（2分） ， ， ， ；（4分） （2）如图，过点作，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则，在上截取，连接， （5分） ， ，四边形是平行四边形， ， ，， 是等边三角形三角形， ， ，， ，（7分） ， ， ， ，（8分） ，， ， ， ， ， ， 即点的位置是到点的距离为处，边的长为．（10分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解答本题的关键．根据正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：B． 2．化简的结果是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 将分式的除法运算转化为乘法运算，即可得出答案． 【详解】解：， 故选：． 3．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的直角三角形上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，互余，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．由题意可知，，进而得到，再利用互余求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图，由题意可知，， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．如图，在中，，点分别是边的中点，连接，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，正确理解和运用相关的性质是解题的关键．先根据三角形的中位线得出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，最后得出问题即可求解． 【详解】解：点分别是边的中点， ， 在中，，点是的中点， ， ， 故选：． 5．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（  ） A．当时，是菱形 B．当时，是菱形 C．当时，是矩形 D．当时，是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理可排除选项． 【详解】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意； D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意； 故选D． 6．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象和正比例函数图象与其系数的关系，正比例函数中，当时，函数图象经过第一、三象限，当时，函数图象进过第二、四象限；一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限；据此判断出两个函数进过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数的图象经过第一、三象限，函数的图象经过第一、二、四象限， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 7．如图，点A，B，E在以为直径的上，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，先根据垂径定理得到垂直平分，则，根据等腰三角形的性质求得，然后根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：∵为的直径，， ∴垂直平分， ∴，又， ∴， ∵四边形是的圆内接四边形， ∴， 故选：C． 8．已知二次函数，将其图象向右平移个单位，得到新的二次函数的图象，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．则实数的取值可以是（   ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，熟知“左加右减”的平移法则及二次函数的性质是解题的关键．根据“左加右减”的平移法则，表示出平移后的函数解析式，再根据题意得出关于的不等式，据此可解决问题． 【详解】解： ∵， ∴， ∵时，随增大而增大；当时，随增大而减小， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 9．因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，直接利用完全平方公式进行因式分解即可．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 10．如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是 ． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的内角与多边形内角和定理、平面镶嵌，先求出第三块正多边形木板的内角，再根据多边形内角和列方程解方程即可． 【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为， ∴第三块正多边形木板的内角为， 设第三块正多边形木板的边数为, 解得， 即第三块木板的边数应是， 故答案为： 11．如图，大正方形游戏板是由个全等的直角三角形和个小正方形（图中阴影部分）拼成的“弦图”，已知直角三角形的两条直角边的长度分别为，．假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是几何概率，勾股定理，全等三角形，熟记概率公式是解题的关键．先根据题意求出大正方形及阴影部分的面积，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长度分别为，， ∴大正方形的边长的平方， ∴大正方形的面积， ∵阴影部分正方形的边长， ∴阴影部分正方形的面积， ∴飞镖击中阴影部分的概率， 故答案为：． 12．如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于 ． 【答案】6 【分析】先求出点的坐标，再根据平移，用表示出，的坐标，然后根据双曲线恰好同时经过点，时，列出方程求解． 【详解】解：设， ∵将线段绕点顺时针旋转至线段，点，点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵将沿轴正方向平移至， ∴，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当双曲线恰好同时经过点，时，， 解得：，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平移的性质求解，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，根据旋转的性质求解，解题的关键是根据反比例函数图象上的横纵坐标的积为求解． 13．如图，在矩形中，，，E为的中点，F为平面内一点，，连接．以为腰作等腰，则底边的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，连接，由矩形和勾股定理求出，结合，得到，最后根据以为腰作等腰，得到，，即可求出底边的最大值． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∵中，， ∴，即， 当、、三点共线时取等号，即， ∵以为腰作等腰， ∴，， ∴， ∴底边的最大值为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题13个小题，共81分） 14．（5分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、立方根，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．利用乘方、绝对值、立方根的法则化简，再加减即可． 【详解】解： ． 15．（5分）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法，方程两边乘得，解出方程的解并检验是解题的关键． 【详解】解：原方程可化为， 方程两边同乘， 得， 整理，得，解得． 当时，， ∴是原分式方程的解． 16．（5分）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用整式的混合运算法则计算，再代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 17．（5分）作图题：如图，已知等边和直线．利用尺规在直线上作出点，使得．（保留作图痕迹，不写作法，作出一点即可） 【答案】见解析 【分析】本题考查圆周角定理，作垂直平分线，三角形外心的性质，分别作线段和线段的垂直平分线，交于点，以交点为圆心，为半径画圆，交直线于点，连接，即可． 【详解】解：如图所示为所求： 是等边三角形，， ． 18．（5分）如图，是边上的点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，得到，根据三角形的内角和为180度，推出，证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ． 又， ． 在和中， ， ， ． 19．（5分）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 【答案】4人，20元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解题的关键．设有x人，则物品的价值可表示为或，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设有x人， 根据题意得，， 解得， 物价：（元）， 答：有4人共同买这件物品，这件物品的价格为20元． 20．（5分）春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上哪吒、敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上太乙真人、申公豹、李靖，放入不透明的乙袋中． (1)从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是______； (2)先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及卡片人物恰好哪吒和李靖的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种， ∴卡片人物恰好是哪吒的概率为． 故答案为：； （2）解：列表如下： C D E A B 共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种， ∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率． 21．（6分）某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】古树的高度为米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交于点，过点作，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，解直角三角形，求出的长，根据，进行计算即可． 【详解】解：延长交于点，过点作，由题意，得：， 则四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵斜坡的坡度i为，， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由题意，得：， ∴， ∴； 答：古树的高度为米． 22．（7分）某校九年级同学进行跨学科主题学习活动，利用所学知识研究一种化学试剂在某种场景下的挥发情况．在实验过程中，当试剂挥发时间为分钟时，该场景中这种试剂的剩余质量为克． 下面是数学小组在探究过程中记录的与的几组对应值： （分钟） … … （克） … … (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若该场景中这种试剂的剩余质量（克）与试剂挥发时间（分钟）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是___________函数关系；（请选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数表达式； (3)当该场景中这种试剂的剩余质量为8克时，请推算这种试剂挥发的时间． 【答案】(1)图见解析；一次 (2)关于的函数表达式为 (3)分钟 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意、熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表格中数据为坐标，描出各点即可，再根据描点结果判断函数的类别； （2）观察数据发现“观察表格数据得：时间每过5分钟，剩余质量减少5克”，判断各点在同一条直线上，设，把，代入求解即可； （3）根据题意“剩余质量恰好为克”，则时，，求解即可． 【详解】（1）解：描出各点如图所示： 观察可知各点在同一条直线上，可能是一次函数； （2）观察表格数据得：时间每过分钟，剩余质量减少克， 和满足一次函数关系， 设， 把，代入， 得：， 解得， ∴关于的函数表达式为； （3）当时，， 解得：， 答：该化学试剂经过分钟剩余质量恰好为克． 23．（7分）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了A，B，C三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（每位测试员打分不超过10分），各位测试员打分之和作为该款智能机器人运动能力测试成绩．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p (1)填空：　　　，　　　； (2)通过比较方差，判断测试员对　　　（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； (3)按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你通过计算判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 【答案】(1)， (2) (3)综合成绩最高的是B款机器人 【分析】本题考查扇形统计图，折线统计图和统计表，解题的关键是读懂题意，掌握中位数，众数，方差等概念． （1）把A款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小，即，由表知，即可得测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）根据图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， ∴A款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是8分， ∴， 故答案为：9；8； （2）解：由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴， 由表知， ∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 故答案为：B； （3）解：∵A款机器人的综合成绩为（分）， B款机器人的综合成绩为（分）， C款机器人的综合成绩为（分）， ∵， ∴综合成绩最高的是B款机器人． 24．（8分）如图，是的直径，点B在上，过点B作的切线交的延长线于点E，平分交于点D． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到．则，然后利用得到结论； （2）如图，连接，证明，可得，，，求解，证明，即可得到结论. 【详解】（1）证明：连接，如解图所示． 是的切线， ． 是的直径， ． ， 即． ． ， ， ． ． （2）解：如图，连接， ∵，平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识．掌握圆的相关性质是解决问题的关键． 25．（8分）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2，以水平地面为轴，以停车棚支柱为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则棚顶的竖直高度（单位：m）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系的图象，其中点距地面，点为车棚最远端上的一点，距离停车棚支柱的水平距离为，距地面． (1)求二次函数的解析式； (2)某校数学兴趣小组研究一辆货车能否在如图2所示的停车棚下避雨，他们将货车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现货车能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； (3)如图，雨点沿着与地面的夹角为的方向直线落下，若问题（2）中的货车上货箱底部距地面（货箱和货物都看作一个矩形），请通过计算说明在货箱底部不会淋雨的情况下，货车最多还能装超出货箱多高的货物？（参考数据：，结果精确到） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意构建二次函数模型是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）求出时对应的y值，与货车的高比较大小即可； （3）过点B作轴，垂足为M，设G为货箱底部最外点，过G作，垂足为H，计算出，进而求出点C的横坐标以及对应的y值，减去货车高度即为所求． 【详解】（1）解：由题意知，，代入，得： ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵，棚顶外沿B距车棚支柱的水平距离为， ∴， 在中，当时，， ∵， ∴可判定货车能完全停到车棚内； （3）解：如图，过点B作轴，垂足为M，设G为货箱底部最外点，过G作，垂足为H， 由题意知，在中，，， ， ， 设，则， 由勾股定理得， 解得， 则点C的横坐标为：， 当时，， ， 即货车最多还能装超出货箱的货物． 26．（10分）问题提出 （1）如图1，在矩形中，，是上一点，是上一点，连接，．当是等腰直角三角形时，求的面积． 问题解决 （2）如图2，工人师傅需要制作一个零件模板，其形状为四边形，零件要求： ，，为了后续零件安装，需要在零件上刻画一道凹槽，即在边上确定一点，沿着刻画凹槽，同时为了使零件能够符合安装规格，还要求．请你根据要求，找出点的位置并求出边的长． 【答案】（1）（2）点的位置是到点的距离为处，边的长为 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先证明 ，得到，根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则，在上截取，连接，得到四边形是平行四边形，可证明是等边三角形三角形，得到，得出，，得到，即可得到答案． 【详解】解：（1）在矩形中，，， ，， 在等腰中，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则，在上截取，连接， ， ，四边形是平行四边形， ， ，， 是等边三角形三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即点的位置是到点的距离为处，边的长为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$