培优提分练习(6)-【宝典训练】2024-2025学年八年级下册数学高效课堂（北师大版）

官典的练丨数学·八年级下册（北师大版） ●。·培优提分练习(6)·· 1.△ABC、△DPC都是等边三角形 (1)如图1，求证：AP=BD: (2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连接PM,PA,PB,BD,若PA⊥PM,且 PB=2PM. ①求证：BP⊥BD; ②判断PC与PA的数量关系并证明. D 图1 图2 20 数学·培优提分练习 …●●● 2.实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系 展开探究： B 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，已知等边三角形ABC边CB的延长线上一点P,且满足∠APB=30°，求线段 PA,PB,PC的数量关系，马超同学一眼看出结果为，PA2+PB2=PC2,你是否同意， 请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似 “鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深人探究：如图2，△ABC为等 边三角形，∠APB=30°，(1)中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先以线段 AP为边朝外作等边三角形APD,连接BD,PC…,请沿着小孙同学的思路尝试着走 下去看看结论是否符合(1)中的结论； (3)如图3，“鸡爪”图形PACB中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠APB=45°，请 直接写出线段PA,PB,PC的数量关系； (4)如图4，“鸡爪”图形PACB中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠APB=45°，若 PB=1,PC=2,直接写出PA的长为 21 官典的练丨数学·八年级下册（北师大版） 3.阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法.对于x2+3x十2，它不是完全平 方式，所以无法用公式法进行因式分解.现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范 围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，x2+3x+2最高含有x的二次项，所以看作由(ax +b)(cx+d)得到； 第二步，去括号，(ax+b)(cx十d)=acx2+(ad+bc)x+bd和x8+3x+2对比发现， 二次项系数为1，二次项由ax和cx相乘得出，所以a=c=1(为了计算简便，往往取整数)； 第三步，继续把x2+(b十d)x十bd和x2+3x+2对比，发现b,d两数之积为2，和为3，就 不难凑出b=1,d=2,检验一下：(x+1)(x+2)=x2+3x+2,换个方向写就是因式分 解了 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①x2-5x+6；②2y2+y-36; (2)对关于x的多项式因式分解：mx2-(3m一1)x+2m-1. 22 数学·培优提分练习 ●●-● 4.先阅读第(1)题的解答过程，然后再解第(2)题. (1)已知多项式2x3-x2+m有一个因式是2x+1,求m的值. 解法一：设2x3-x2+m=(2x十1)(x2+ax十b), 则：2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x十b, a=-1, 2a+1=-1, 比较系数得：a十2b=0,解得6=2 b=m, 解法二：设2x3一x2十m=A·(2x十1)(A为整式)， 由于上式为恒等式，为方便计算，取工=一】， 2 2x←-（←2+m=0,故m=2是 (2)已知x+mx3+nx一16有因式(x一1)和(x-2),求m,n的值. 23数学八年级下册(北师大版) .'AE]AB,. BAE-90. '. DAB= PAC..'△DAB△PAC(SAS). 又'ABC-45.' F-ABC-45 . $BD-PC.. APB-30°. $AE=AB=5,BE- 5+5-5$ '. DPB- APB+ APD-30+60*-90. 又: ACD= ADC=45*。' BAE= DAC=90$$ 'PD+PB=BD..$PA+PB=PC; .BAE- BAC= DAC- BAC, (3)如答图2,以线段AP为直角边朝外作等腰直角 即EAC= BAD. AAPD.连接DB,DC. (AE-AB. 在等腰直角△APD,等腰直角 乙EAC-BAD. 在△EAC和△BAD中,: △ABC 中,PD=v2AD= AC-AD. 2AP,AB-AC- #2C 2 ..△EAC△BAD(SAS)...BD=CE. .BC-3. DAP- BAC-90*. *.BD-CE-BE-BC-(52-3)cm. '. DAB= PAC. DPA= 45°..△DAB△PAC(SAS).P 培优提分练习(6) .BD-PC. “:乙APB-45. 答图2 1.(1)证明:.△ABC.△CDP都是等边三角形 $$CB=CA,CD=CP. ACB- DCP-60 '. DPB= APB+ APD=45$+45$-90*$$$$$ .BCD-乙ACP, '.PD+PB-BD. CB-CA. $(2PA)+PB=P[C$即2PA+PB-PC$ 在△BCD和△ACP中, BCD-乙ACP. CD-CP. 432 '.△BCD△ACP(SAS) 3.解;(1)①由题意得.a=c-1,6+d--5,bd-6; '.BD-AP: (2)①证明:如答图,延长PM到点K,使得MK一PM,连 所以可凑数6--2,d--3. 故r-5r+6-(x-2)(r-3); 接CK. .AP1PM..APM-90. ②由题意得,ac-2,ad+be-1,bd--36. 在△AMP和△CMK中. 所以可凑数。-1,(一2. M --K 则+25-1,bd--36. MA-MC. 又可凑数b--4.d-9. AMP- CMK. C MP-MK. 故2+v-36-(-4)(2+9); (2)设(ar+b)(cr+d)=mr*-(3m-1)x+2n-1. ..△AMP△CMK(SAS). 则acr +(ad+bc)r+bd=mr-(3m-1)r+2m-1. '.MP=MK.AP=CK. APM 答图 凑数a-1,c-m: 乙K-90*. '.nr+(d+mb)r+bd=nr-(3n-1)x+2n-1. 同法可证BCDACP..'BD=PA-CK. 'd+nb--(3m-1),bd=2m-1. :PB-2PM...PB-PK. ·PD=PC...△PDB△PCK(SSS). 分四种情况讨论: '. PBD- K-90*. 当$-1,d-2m-1时,代入d+mb=-(3n-1),不成 ..PBBD. 立,舍去: 当$=2m-1.d=1时,代入d+mb=-(3n-1),不成 ②结论:PC-2PA. 证明:'△PDB△PCK.DPB= CPK 立,舍去: 当$--1,d-1-2m时,代入d+mb=-(3m-1),成 设 DPB- CPK-r.则 BDP-90-$. .APC= CDB.$90+x-60+90-r.'r-30. 立,符合题意: 当$-1-2m,d--1时,代入d+mb=-(3m-1),不成 . DPB-30*. . PBD-90”...PD-2BD. 立,舍去: .PC-PD,BD-PA. 所以只有b--1.d-1-2n. .PC-2PA. 故mr-(3n-1)r+2m-1-(x-1)(mx+1-2n). 4.解;设x+mr+nr-16-A(r-1)(r-2)(A为整式). 2.解:(1)同意.理由如下:·在等边三角形ABC中. 取x-1,得1+m+n-16-0...①; $ ABC= BAC= C-60AB=BC=AC$ .APB-30*. 取x-2,得16+8n+2n-16-0..②; 由①、②组成方程组得 1+m+n-16-01.①. '. P$AB- ABC- APB-60$-30-30$$ 16+8n+2n-16-0...②. $.PB-AB-AC, PAC= PAB+ BAC=90 解此方程组得 {n=-5. '.PA+AC-PC,即PA+PB-PC; -20. (2)(1)的结论成立. 证明:如答图1,以线段AP为边朝外作 培优提分练习(7) 等边△APD,连接BD, 1.解:(1)方法1:在BC上截取BM-BA. 在等边△APD,等边△ABC中. 连接DM,如答图1. C AD=AP-PD.AB-AC. .BD平分乙ABC. DAP= BAC= DPA-6 0* 答图1 ..ABD=CBD. 答图1 46