培优提分练习(5)-【宝典训练】2024-2025学年八年级下册数学高效课堂（北师大版）

官典树练|数学·八年级下册（北师大版） ●·培优提分练习(5)· 1.阅读下列材料： 1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程 求解，并最早给出因式分解定理. 他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“x=a是该多项式值为0时的一个解”与 “这个多项式一定可以分解为(x一a)与另一个整式的乘积”可互相推导成立. 例如：分解因式x3十2x2一3. ,x=1是x3+2x2-3=0的一个解， ∴.x3十2x2一3可以分解为(x一1)与另一个整式的乘积. 设x3+2x2-3=(x-1)(ax2+bx+c), a=1, a=1, b-a=2, 而(x-1)(ax2十bx+c)=ax3+(b-a)x2+(c一b)x一c,则有 得b=3, c-b=0, c=3, -c=-3, 从而x3+2x2-3=(x-1)(x2+3x+3). 运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)①运用上述方法分解因式x3十2x+3时，猜想出x3十2x十3=0的一个解为 (只填写一个即可)，则x3+2x十3可以分解为与另一个整式的乘积； ②分解因式：x3+2x十3： (2)若x一1与x十2都是多项式x3十mx2十nx十p的因式，求m一n的值. 16 数学·培优提分练习 2.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将2a-3ab-4+6b因式分解. 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式=(2a-3ab)-(4一6b) =a(2-3b)-2(2-3b) =(2-3b)(a-2) 解法二：原式=(2a一4)一(3ab-6b) =2(a-2)-3b(a-2) =(a-2)(2-3b) 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再 利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法 在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.（温馨提示：因式分解一定要 分解到不能再分解为止) 【类比】(1)请用分组分解法将x2十ax一y2+ay因式分解； 【挑战】(2)请用分组分解法将a2一2ab+b2+ax一bx因式分解； 【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理.如图，“赵爽弦 图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直角三角形 的两条直角边长分别是a和b(a>b),斜边长是3，小正方形的面积是1.根据以上信息，先 将a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4因式分解，再求值. 17 官典树练数学·八年级下册（北师大版） 3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC上一动点，连接AD,过点A作 AE⊥AD,并且始终保持AE=AD,连接CE. (1)求证：△ABD≌△ACE; (2)若AF平分∠DAE交BC于点F,求证：DF2=BD十CF2; (3)在(2)的条件下，若BD=3,CF=4,求AD的长. 18 数学·培优提分练习 4.【问题探究】 (1)如图1，在锐角△ABC中，分别以AB,AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使 AE=AB,AD=AC,∠BAE=∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系， 并说明理由； 【深入探究】 (2)如图2，四边形ABCD中，AB=5cm,BC=3cm,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求 BD的长； (3)如图3，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，请直接写出BD的长. 图】 图2 图3 19参考答案 .ON-/OD-DNT- (2)证明：如答图，连接EF .'∠BAC=90°，AB=AC, D(-4): .∠B=∠3=45， 由(1)已证：△ABD≌△ACE, (3)连接AC,OE,OB,CE,作EG⊥x轴于点G,如答图3 ,,∠4=∠B=45°，BD=CE, D 所示， .∠FCE=∠3+∠4=45°+ 答图 由旋转的性质得：∠AOB=∠DOE,OD=AO,OB=OE, 45°=90°， ,四边形OABC是矩形， ∴CE+CF=EF,∴BD+CF=EF, ∴，AC=OB,∠AOB=∠CAO, ,'AF平分∠DAE,∴.∠DAF=∠EAF, ODAO. (AF=AF, ∴.∠DAO=∠ADO, 在△DAF和△EAF中，{∠DAF=∠EAF, ∠DOE=∠ADO, AD-AE. .AC//OE, ∴.△DAF≌△EAF(SAS),∴.DF=EF, .AC=OB,OB=OE, .DF-BD+CF ∴，AC=OE (3)解：如答图，过点A作AG⊥BC于点G, .四边形OACE是平行四边形， 答图3 由(2)知，DF=BD+CF=25, .OA-CE-OG-6,GE-OC-8, .DF=5(负值已合)， ,点E的坐标为(6,8). ∴.BC=BD+DF+CF=12, ,'AB=AC,AG⊥BC,∠BAC=90°， 培优提分练习(5) 1.解：(1)①x3+2x十3，观察知，显然x=一1时，原式=0， AG-BG-BC-6. 则x3十2x十3=0的一个解为x=一1，原式可分解为(x十 ∴.DG=BG-BD=6-3=3 1)与另一个整式的积. 则在Rt△ADG中，AD=√AG+DG=√6+3 故答案为：x=一1：(x十1)： 3√5. ②设另一个因式为(x2十ax十b), 4.解：(1)BD=CE (x+1)(z+ax+b)=x'+ar'+bz+x'+ax+b=x'+ 理由是：，∠BAE=∠CAD, (a+1)x2+(a+b)x+b, .∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, .a+1=0,a=-1,b=3, 即∠EAC=∠BAD, ∴多项式的另一因式为x2-x十3 在△EAC和△BAD中， ∴x2+2x+3=(x+1)(x2-x+3). ,AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC=AD, (2)设x十mx十nx十p=(x-1)(x十2)·M(其中M为 .△EAC≌△BAD, 二次整式)， ∴.BD=CE: 由材料可知，x=1,x=一2是方程x十mx2十nx十p=0 (2)如答图1，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直 的解， 角△BAE,使∠BAE=90°，AE=AB,连接EC 可得加公0o ∠ACD=∠ADC=45°，.AC=AD,∠CAD=90°， .∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, ∴②-①，得m-n=3. 即∠EAC=∠BAD, .m一的值为3. 在△EAC和△BAD中， 2.解：(1)原式-(x2-y2)+(ax+ay） :AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC=AD, =(x+y)(x-y)+a(x+y) ∴.△EAC2△BAD,∴.BD=CE. =(x+y)(x一y+a) AE=AB=5, (2)原式=(ax-bx)+(a2-2ab+b) .BE=/+5=52,∠ABE=∠AEB=45°， =x(a-b)+(a-b) 又：∠ABC=45, =(a-b)(x十a-b): ∴.∠EBC=∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°， (3)原式=(a'+2a'b3+b)-(2ab3+2a3b) ∴EC=BE+BC=√(52)+32=√5丽， =(a1+b)2-2ab(a'+b3) ,∴.BD=CE=/59cm: =(a2十b2)(a2+b2-2ab) =(a2+b2)(a-b)2, a2+b2=9,(a-b)2=1, .原式=9. 3.(1)证明：如答图，AE⊥AD, ∴.∠DAE=∠DAC+∠2=90°， .∠BAC=∠DAC+∠1=90°，.∠1=∠2， AB=AC, 答图1 答图2 在△ABD和△ACE中，{∠1=∠2， (3)如答图2，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点 AD=AE, A,交BC的延长线于点E. ∴.△ABD≌△ACE(SAS). 45 做学入年级下册（北师大版） AE⊥AB,∠BAE=90°， .∠DAB=∠PAC,∴.△DAB≌△PAC(SAS), 又：∠ABC=45°，∴∠E=∠ABC=45, ∴.BD=PC,:∠APB=30°， ∴AE=AB=5,BE=√3+5=5√2， .∠DPB=∠APB+∠APD=30°+60°=90°， 又，∠ACD=∠ADC=45°，.∠BAE=∠DAC=90°， ∴.PD2+PB2=BD2,∴.PA2+PB2=PC: ∴∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC, (3)如答图2，以线段AP为直角边朝外作等腰直角 即∠EAC=∠BAD, △APD,连接DB,DC, (AE-AB, 在等腰直角△APD,等腰直角 在△EAC和△BAD中，'{∠EAC=∠BAD △ABC中，PD=√2AD= AC-AD, .△EAC≌△BAD(SAS),∴.BD=CE, 2AP,AB=AC=号C、 BC=3, ∠DAP=∠BAC=90°， ∴BD=CE=BE-BC=(5√2-3)cm. ∴.∠DAB=∠PAC,∠DPA= 45°，.△DAB≌△PAC(SAS),P 培优提分练习(6) ..BD=PC. 1.(1)证明：：△ABC,△CDP都是等边三角形， 答图2 ,∠APB=45° .CB=CA,CD=CP,∠ACB=∠DCP=60°， .∠DPB=∠APB+∠APD=45+45=90°， .∠BCD=∠ACP, ∴.PD2+PB2=BD, CB=CA, ∴.(W2PA)'+PB=PC,即2PA+PB=PC 在△BCD和△ACP中，{∠BCD=∠ACP, CD=CP, 29 .△BCD≌△ACP(SAS), 3.解：(1)①由题意得，a=c=1,b十d=一5，bd=6, ..BD=AP; 所以可凑数b=一2，d=一3， (2)①证明：如答图，延长PM到点K,使得MK=PM,连 故x2-5x十6=(x-2)(x-3): 接CK. ②由题意得，ac=2,ad+bc=1,bd=-36, :AP⊥PM,.∠APM=90°， 所以可凑数a=1,c=2, 在△AMP和△CMK中， 则d+2b=1,bd=-36, (MA=MC, 又可凑数b=一4，d=9, ∠AMP=∠CMK, 故2y2+y-36=(y-4)(2y+9): MP=MK. (2)设(ax+b)(cx+d)=mx2-(3m-1)x+2m-1, '.△AMP≌△CMK(SAS), acx'+(ad+bc)x+bd=mx'-(3m-1)x+2m-1, ∴.MP=MK,AP=CK,∠APM= 答图 凑数a=1,c=m, ∠K=90°， :.mx+(d+mb)x+bd -mx*-(3m-1)x+2m-1, 同法可证△BCD≌△ACP,.BD=PA=CK, ∴.d+mb=-(3m-1),bd=2m-1, .PB=2PM,.PB=PK. 分四种情况讨论： PD=PC,.△PDB≌△PCK(SSS), 当b=1,d=2m一1时，代人d+mb=一(3m一1)，不成 ∴.∠PBD=∠K=90°， 立，舍去； .PB⊥BD 当b=2m-1,d=1时，代入d+mb=-(3m一1)，不成 ②结论：PC=2PA. 立，舍去： 证明：△PDB2△PCK,.∠DPB=∠CPK, 当b=-1,d=1-2m时，代人d+mb=一(3m-1),成 设∠DPB=∠CPK=x,则∠BDP=90°-x, 立，符合题意： :∠APC=∠CDB,∴.90°+x=60°+90°-x,∴.x=30°， 当b=1-2m,d=-1时，代入d+mb=-(3m-1),不成 .∠DPB=30°， 立，合去； ∠PBD=90°，.PD=2BD 所以只有b=一1，d=1一2m, PC=PD,BD=PA, 故mx-(3m-1)x十2m-1=(x-1)(mx+1-2m). .PC=2PA. 4.解：设x十mx十nx一16=A(x一1)(x一2)(A为整式)， 2.解：(1)同意.理由如下：，在等边三角形ABC中， 取x=1,得1十m十n一16=0①： .∠ABC=∠BAC=∠C=60°，AB=BC=AC, 取x=2,得16十8m十2m-16=0…②： ∠APB=30°， ,∠PAB=∠ABC-∠APB=60°-30°=30° 由D.@短为租组得们的2g0。 .PB=AB=AC,∠PAC=∠PAB+∠BAC=90°， ..PA+AC=PC,PA2+PB:-PC 解此方程组得m=一5， n=20. (2)(1)的结论成立， 证明：如答图1，以线段AP为边朝外作 培优提分练习(7) 等边△APD,连接BD 1.解：(1)方法1：在BC上截取BM=BA 在等边△APD,等边△ABC中， 连接DM,如答图1， AD-AP-PD,AB-AC, ,BD平分∠ABC, ∠DAP=∠BAC=∠DPA=60°， ∴.∠ABD=∠CBD, 答图1 答图1 46