培优提分练习(3)-【宝典训练】2024-2025学年八年级下册数学高效课堂（北师大版）

官典例练「数学·八年级下册（北师大版） ●·培优提分练习(3)· 1.阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝 对值不等式，求绝对值不等式x>3的解集， 小明同学的思路如下： 4}201含月 先根据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A,B,如图所示. 观察数轴发现，以点A,B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值 大于3：点A,B之间的点（不包括点A,B)表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的 数的绝对值大于3. 因此，小明得出结论：绝对值不等式x>3的解集为x<一3或x>3. 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你写出下列绝对值不等式的解集： ①x>2的解集是 ②x<5解集是 (2)求绝对值不等式2x一2.5+4<6的解集； (3)如果(2)中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组 (r<2x-m x-2≤m 的解，求m的 取值范围. 10 数学·培优提分练习 ◇ ●●● 2.阅读下列材料： 我们知道x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即x=x一0，这个结 论可以推广为x1一x2表示在数轴上数x1,x2对应点之间的距离.在解题过程中，我们经 常会应用绝对值的几何意义来帮助我们分析问题. 例如在解含有绝对值的方程x一2一1时，我们可以利用绝对值的几何意义把问题理解成 在数轴上找一点到2的距离等于1，如图1所示，显然这样的点有2个，对应的数分别为1， 3,即原方程的解为x=1或x=3:并且我们还可以把图中阴影部分理解成到2的距离大于 1的点在数轴上所对应的取值范围，即不等式x一2>1的解可表示为x>3或x<1:同样 的，我们可以利用绝对值的几何意义把解方程x十1十x一2=5的过程理解成在数轴上 找到一点使它与一1和2的距离之和为5，如图2. 1工 -32-101234 图1 图2 (1)参考以上阅读材料，回答下列问题： ①求出方程x+3=2的解为 ②若m=x一2一x十4，则m的取值范围可表示为 (2)现给出如下定义：对于数轴上的任意点P,Q,若点P到点Q的距离为d(d≥0)，则称d 为点P到点Q的追随值，记作d[PQ].例如，在数轴上点P表示的数是2，点Q表示的 数是一5，则点P到点Q的追随值为d[PQ]=7.如图3，点C表示的数是1，在数轴上 有两个动点A,B都沿着正方向同时移动，其中A点的速度为每秒3个单位，B点的速 度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B从点D出发，点D表示的数是n(n为整 数)，设运动时间为t(t>0) 32012345678 图3 ①当n=4时，问t为何值时，点A到点B的追随值d[AB]=2: ②若0<t≤3，点A到点B的追随值d[AB]≤7，求n的取值范围. 11 官典例练「数学·八年级下册（北师大版） 3.为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差 比较法”.要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法，因此，可以利用不等式比较大 小，如果要证明A>B,只需要证明A一B>0:同样的，要证明A<B,只需要证明A一B<0. 例如： 小明对于命题：任意的实数a和b,总有a2+b2≥2ab,当a=b并且只有a=b时，等号成 立，给出了如下证明： 证明：.a2+b2-2ab=(a-b)≥0， ∴.a2+b≥2ab,当a=b并且只有a=b时，等号成立. (1)请仿照小明的证明方法，证明如下命题： 若a,b,x,y≥0，且a≥x,则(a-x)2+(b-y)2≤(a十b-x)2+y2. (2)若a1≥a2≥…≥am≥0，b1≥b:≥…≥bn≥0，且a1十a2十…十am=b1十b2十…十bm=1, 求(a1-b1)2+(a2一b2)2+…十(am-bn)2的最大值. 12参考答案 ∴.∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD, (2)过点B作BC⊥AB交直线AC于点 ∴∠BCE=∠CAD, C,过点C作CD⊥y轴于点D,如答图1， I∠CAD=∠BCE, “,将直线y=一2x十4绕点A顺时针旋 D外r 在△ACD和△CBE中，∠D=∠E, 转45得到直线AC,BC⊥AB, AC=BC, ,.∠CAB=45°，∠ABC=90°， ∴.△ADC≌△CEB(AAS): ∴.∠ACB=90°-∠CAB=45°=∠CAB, (2)解：，AD⊥DE,BE⊥DE, .BA=BC, .∠ADC=∠BEC=90°=∠ACB, 又：∠BOA=90°，BC⊥AB,CD⊥y轴，可下 ∴∠ACD+∠BCE=9O°=∠ACD+∠CAD, △ABO2△BCD,∴OA=DB=2, 答图1 ∴.∠BCE=∠CAD, OB=DC=4,.C(4,6), ∠CAD=∠BCE, 设直线AC的表达式为y=k1x十b1,过点A(2,0), 在△ACD和△CBE中，（∠ADC=∠BEC, C(4,6), AC=BC. ∴.△ACD2△CBE(AAS), 小做物新得长。 b1=-6, .AD=CE=8 cm,BE=CD=3 cm, ∴直线AC的表达式为y=3x一6： ∴，DE=CE-CD=5cm: (3)过点Q作QC⊥y轴于点C,如答图2，设P(0,m),则 (3)解：如答图1，当点B在第一象 OP=m 限角平分线上时，过点A作AD⊥ :△APQ是等腰直角三角形，且∠APQ=90°，∴PA=PQ, 直线CO于点D,过点B作BE⊥直 又：∠AOP=90°，QC⊥y轴， 线AD于点E, .△APO2△PQC, ∴.∠ADC=∠BEA=90°=∠CAB, 答图1 ∴.OA=CP=2,OP=CQ=m, '.∠CAD+∠BAE=90°=∠CAD+∠ACD, .Q(m,m+2), ∠ACD=∠BAE,'AB=AC, :点Q是线段AB上一动点，直线 C ∴，△ACD≌△BAE(AAS),AD=BE,CD=AE AB的解析式为y=-2x十4， 点A的坐标为(7,3)，AD=7,D0=3, .-2m+4=m+2, .BE=AD=7,DE=7+3=10=DA+AE. ∴.AE=3=CD..CO=6,.点C(0,6): 解得m-子Q(侣号》。 如答图2，当点B在第三象限角平 答图2 分线上时，过点A作AD⊥直线 故答案为：（仔） CO于点D,过点B作BE⊥直线 培优提分练习(3) AD于点E 同理可求：△ACD≌△BAE(AAS), 1.解：(1)①x<一2或x>2②-5< ∴，AD=BE,CD=AE E x<5 :点A的坐标为(7,3)， (2),2|x-2.5+4<6, .AD =7,DO =3,..BE .2|x-2.5<2,即|x-2.5<1, AD=7, 答图2 .|x一2.5引<1的解集可表示为一1<x一2.5<1， ∴.DE=4,∴.AE=11=CD..C0=14 解得1.5<x<3.5, 点C(0,14). .2|x一2.5十4<6的解集为1.5<x<3.5: 综上所述，点C(0,14)或C(0,6). (3)<2x-m…①， 4.解：(1)：直线y=一2x+4与x轴交于点A,与y轴交于 x一2≤m…②， 点B, 解不等式①，得x>m, 当x=0时，得y=4:当y=一2x十4=0时，得x=2, 解不等式②，得x≤m十2， .A(2,0),B(0,4),.OA=2,OB=4, .不等式组的集为m<x≤m十2， ,将直线y=一2x十4绕点B逆时针旋转45°，得到直线L, 由于(2)的整数解是2和3， AC⊥AB, .m<2且m十2≥3， .∠ABC=45,∠BAC=90°， ∴，m的取值范围是1≤m<2, ∴∠ACB=90°-∠ABC=45°=∠ABC,∴.AB=AC, 2.解：(1)①-5或-1②一6≤m≤6 又，∠BOA=90°，AC⊥AB,CD⊥x轴， (2)①由题意，得：点A表示的数为1十3t,点B表示的数 ∴，△ABO≌△CAD,.OA=CD=2,OB=AD=4, 为4十t, .C(6,2) 1+31-4-=2,解得1=号或：=名 设直线【的表达式为y=kx十b,过点B(0,4),C(6,2), 1 ②当点B在点A的左侧或者重合时，即n≤1，随着时间的 6=4, 6k+b=2 解得 31 增大，A,B之间的距离会越来越大， b=4 ,0<t≤3时，dAB]≤7，∴.1-n+3X(3-1)≤7， 解得n≥0，.0≤m≤1： 心直线1的表达式为y三一了+，】 当点B在点A的右侧时，此时m>1, 故答案为：6,2y=-号十4 在A,B不重合的情况下，A,B间的距离越来越小， .n≤7，∴.1<n≤7， 43 做学入年级下册（北师大版） 综上，0≤n≤7. 9 ,9 3.解：(1)(a-x)2+(b-y)2-(a+b-x)2-y 当x=19时，W集m=57×9-30=27-30=-3, =a-2ax+x2+b2-2by+y2-(a2+b2+x2+2ab 2 2ax-2bx)-y 当x=号时，wm=57×号-30=38-30=8， =-2by-2ab+2bx 3.(1)证明：已知：AH=AG,∠HAG=90, =2b(x-y-a). ,∠BAC=90°，∴.∠BAH=∠CAG, a≥x,x-a≤0， 'AB=AC,.△AHB≌△AGC(SAS): y≥0，.-y≤0 (2)①证明：在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°， x-y-a≤0. ∠ABC=∠ACB=45°， b≥0，.2b(x-y-a)≤0. :点E,F分别为AB,AC的中点， ∴.(a-x)'+(b-y)2-[a+b-x)2+y2]≤0. .EF是△ABC的中位线， (a-x)+(b-y)≤(a+b-x)+y2. EF∥BC,AE=号AB,AF-号AC, (2)设a1≥b1, ∴.AE=AF,∠AEF=∠ABC=45°， b1≥b:≥…≥b,≥0，b1+b:++b.=1, ∠AFE=∠ACB=45°， 6,≥6所+号+所++6候<6+66，+6,6，++ :∠EAH=∠FAG,AH=AG, ∴.△AEH≌△AFG(SAS), b1bn=b:(b1十b:+十bn)=b1, b,(a,+ag+…+a.)=a1b1+b1(ag+a1+…+a,)≤ .∠AEH=∠AFG=45, a1b,十a1(a:十a1+…十an) ,.∠HFG=45°+45°=90°， ≤a1b1十azb:十…十a,b,十a1ag十aga,十…十a。-1a, ②@解：分两种情况： .a:b1+a2b:+…ab.≥b1(a1十a:+…+a.)-(a1a:十 i)如答图1，AQ=QG时， AQ=QG: aga,十…十a.-1a,）, ,.∠QAG=∠AGQ, ∴(a1-b1)2+(ae-b:)2+…+(a.-b.)月 ,AG⊥AH且AG=AH, =(a+ai+…+a)-2(a,b1+azb2+…+a.b.）+(+ ∴.∠AHG=∠AGH=45°， b+…+b)≤(a+ai+…+a)-2b,(a+a:+…+a,) ,.∠AHG=∠AGH 答图1 +2(a1a:十a:a,+…+a.-1a.)+b ∠HAQ=∠QAG=45°， =(a:+a:+…+a.)2-2b1+6 ∴.∠EAH=∠FAH=45, =1-2b1十b1 AE=AF,AH=AH,∴△AEH2△AFH(SAS), =1-b≤1-1-”-1 ∴.∠AHE=∠AHF, nn :∠AHE+∠AHF=180°， .(a:-b)”+(a-b:)+…十(a。-b.)2的最大值 ∴∠AHE=∠AHF=90°， 为二1 )如答图2，当AG=QG时， ∠GAQ=∠AQG, 培优提分练习(4) .∠AEH=∠AGQ=45°， 1.1 ∴.∠GAQ=∠AQG= 2.解：(1)：K(1,2)=7,K(-2,3)=0,K(x,y)=ax+by, 180°-45=67.5， 2 24w0。. 解方程组得a3, 6=2: "∠EAQ=∠HAG=90°， .∠EAH=∠GAQ=67.5, 答图2 (2)x+2y=10,∴.x=10-2y, xy是非负数，x≥0，即10-2y≥0，.0≤y≤5， .∠AHE=∠AQG=67.5; :H为线段EF上一动点（不与点E,F重合）， :4x-y=4(10-2y)-y=40-9y, .不存在AG=AQ的情况 -45≤-9y≤0，.-5≤40-9y≤40， 综上，当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5 故答案为：一5≤4x一y≤40. 或90°. (3)Ky)=3+z,K(2,2y）=4-3x,而6=2， a=3, 4.解：(1)如答图1，过点D作DM⊥OA 于点M, :3y十2红=3+解得 y=4-6x 由旋转可知： l3x+y=4-3x, =19x-9 2 OD=OA=6,∠DOM=30°， :工y之都为非负数， ∴.DM=3,OM■3√3， AM O x0, D(-33,3): 46x≥0解得 9 (2)如答图2，过点D作DN⊥OC于 答图1 19x-9、 点N, ,个y (2≥0， 在Rt△ODE中，OD=6,DE=8, B .W=x-3y十4z ∴.OE=√OD+DE=10, =x-3(4-6x)+4×19x-9 2 :OD·DE=OE,DN, =x-12+18x+38x-18 =57x-30: 4DN- 答图2