培优提分练习(2)-【宝典训练】2024-2025学年八年级下册数学高效课堂（北师大版）

官典例练「数学·八年级下册（北师大版） ●·培优提分练习(2)● 1.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题 【模型呈现】 (1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点 E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得 到△ABC≌△DAE,进而得到AC=,BC=.我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型： A 图1 图2 【模型应用】 (2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F, DE与直线AF交于点G,求证：点G是DE的中点 6 数学·培优提分练习 ●●● 2.三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角， 则又称一线三垂直模型).解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所 需角的相等条件，利用全等三角形解决问题 -m -m 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥ 直线m,垂足分别为D,E,求证：DE=BD+CE: (2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且 有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角，那么结论DE=BD十CE 是否仍成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由： (3)如图3，将(1)中的条件改为：AB=AC,A,E,D三点都在直线m上，且有∠BDF= ∠DEC=∠BAC=B,其中B为任意锐角，那么结论DE=BD十CE是否仍成立？若成 立，请你给出证明：若不成立，请说明理由. 官典树练丨数学·八年级下册（北师大版） ●●● d 3.【理解探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组 边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定 存在全等三角形， 图1 图2 图3 备用图 (1)【问题解决】 如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点 D,BE⊥DE于点E,求证：△ADC≌△CEB: (2)【问题探究】 如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于 点D,BE⊥DE于点E,AD-8cm,BE=3cm,求DE的长： (3)【拓展延伸】 如图3，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,且在平面直角坐标系中，点C在y 轴正半轴上，点A的坐标为(7,3)，点B是第一、三象限的角平分线1上的一个点，请直 接写出点C的坐标. 8 数学·培优提分练习 4.【模型介绍】 如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E. 则△ABC≌△DAE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型. 4 可 图1 图2 备用图 【模型应用】 在平面直角坐标系中，直线y=一2x十4与x轴交于点A,与y轴交于点B (1)如图2，将直线y=一2x十4绕点B逆时针旋转45°，得到直线1，求直线1的表达式.下 面是小明的想法，请你帮助完成 小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题.如图2，过点A作AB的垂线交！于点C, 再过点C作x轴的垂线，垂足为D,可求出点C的坐标为 ,从而求得直线的表 达式为 (2)若将直线y=一2x+4绕点A顺时针旋转45°，求所得直线的表达式； (3)点P是线段OB上的一个动点，点Q是线段AB上一动点，若△APQ是等腰直角三角 形，且∠APQ=90°，则点Q的坐标是 9做学八年级下册(北师大版) :GF+GC=CF...BE+EF=FC 'Ssmrony-S△rcn+S△nrM+S△ms =2S△rr-2X 4.(1)证明:根据题意得:AD一BD. 延长CB到点E,使BE-AM,连接DE,如答图1, “:乙A= CBD-90”, 培优提分练习(2) .乙A-乙EBD-90” 在△DAM和△DBE中. 1.(1DE AE AM-BE, (2)证明:如答图,作DMIAF于点M,ENIAF于点N. ·BC1AF,BAD-90* A-DBE. D ....E AD-BD. . BFA- AMD=90*。 :.△DAM2△DBE(SAS). 1+ 2- 1+ B-90 。 答图1 '. BDE= ADM,DM-DE .乙B-乙2, . MDN- ADC=60* 在△ABF和△DAM中, .ADM- NDC.. BDE= NDC BFA-乙AMD. {乙B-2, .NDC+ NDB-60*. 答图 '. BDE+ NDB= NDE=60* AB-DA. .MDN- NDE, :.△ABF△DAM(AAS),.'AF=DM DM-DE. ·BCAF,CAE-90”$ CFA- ANE-90”. MDN-乙NDE. 在△MDN和△EDN中, FAC+ NAE= FAC+ C-90.. C= NAE IDN-DN. CFA-乙ANE, 在△ACF和△EAN中. C-_NAE, ..△MDN△EDN(SAS)...MN-EN. ·EN-BE+BN-AM+BN,..AM+BN-MN. AC-EA. (2)AM+BN-MN.由(1)中条件得 ACD+ MDN-90”, ..△ACFS△EAN(AAS)..'AF=EN...DM=EN. 证明方法同(1)类似. . DM 1AF,EN1AF... GMD= GNE-90* '.AM+BN-MN: 乙DMG-乙ENG (③)BN-AM-MN. 在△DMG和△ENG中.DGM=EGN DM-EN. 证明:在CB上截取BE=AM,连接 DE.如答图2. :.△DMG△ENG(AAS)...DG-EG. “.B- CAD-90* .点G是DE的中点. . B- DAM-90*, 2.(1)证明:.BD1直线m,CEL直线m. 在△DAM和△DBE中, '. BDA- AEC-90{,'BAD+ ABD-90 (AM-BE, · BAC-90*.BAD+ CAE=90*, DAM- DBE, 2 '.乙ABD-乙CAE. 答图2 AD-BD. (乙BDA-乙AEC. .△DAM△DBE(SAS). 在△ADB和△CEA中.乙ABD=乙CAE. ' /BDE- ADM,DM=DE AB-CA. . CDA+ ACD=90*.MDN+ ACD=90 .△ADB△CEA(AAS)...BD-AE,AD-CE. .MDN=乙CDA. '.DE-AF+AD-BD+CE. .MDN- ADN=CDA- ADN, (2)成立,理由如下; 即 MDA= CDN.:. BDE= CDN. “ BDA- BAC-: :ADC-/BDC, :. DBA+ BAD= BAD+ EAC=180*-$ .乙ADC- CDN= BDC-乙BDE. .'.DBA=FAC 即/NDA=/EIC./NDA+ /MDA EDC+/CDN (乙BDA-乙AEC, 即 /MDN-/EDN 在△ADB和△CEA中:DBA-/EAC, (DM-DE. AB-CA. 在△MDN和△EDN中,MDN= EDN '.△ADB△CEA(AAS)...BD=AE,AD-CE DN-DN, '.DE-AE+AD-BD+CE. ..△MDN△EDN(SAS)..'MN-NE. (3)不成立,理由如下: .NE-BN-BE-BN-AM,..BN-AM-MN ·乙BDF= DEC...BDA- AEC. 5.解:(1)2 ./BDF=/DBA+ BAD. (2)延长MN到点K,使NK-GH,连接FK,FH,FM. BAC=EAC+ BAD, BDF- BAC 如答图所示, :DBA-/EAC. .FG-FN-HM-GH+MN-2cm, (DBA-乙EAC, G- N-90*. 在△ADB和△CEA中,乙BDA-乙AEC, '. FNK= FGH-90*. AB-CA. .△FGH△FNK(SAS). '.△ADB△CEA(AAS)..BD-AE,AD-CE .FH-FK. '.DE-AD-AE-CE-BD. .HM-KM-MN+GH-MN+ 3.(1)证明:.AD1DE,BEIDE, NK-MK-2cm. 答图 . D- E-90*= ACB, 42 参考答案 . ACD+/BCE=90=/ACD+/CAD (2)过点B作BC1AB交直线AC于点 ../BCE- CAD C,过点C作CD1y轴于点D,如答图1, CAD-乙BCE. .将直线y=-2x+4绕点A顺时针旋 在△ACD和△CBE中,D-乙E, 转45*得到直线AC,BC1AB, AC-BC, .CAB-45*, ABC=90*, :△ADC△CEB(AAS); '. ACB=90*-CAB=45*- CAB, (2)解:''AD DE,BE DE. .BA-BC. '. ADC- BFC-90*= ACB 又:BOA=90*,BC1AB,CD1y轴, ' ACD+ /BCE=90= /ACD+/CAD '.△ABO2△BCD..'OA=DB-2. 答图1 . BCE=CAD, OB=DC-4..C(4.6). CAD-乙BCE, 设直线AC的表达式为y=kx十b,过点A(2,0) 在△ACD和△CBE中,乙ADC=BEC, C(4,6). AC-BC. [2:+B:-0解得 .. 1-3. 14:十b.-6,” :.△ACD△CBE(AAS). lb.=-6, '.AD=CE-8 cm,BE-CD-3cm. '.直线AC的表达式为y=3x-6; .DE-CE-CD-5cm; (3)过点Q作QC1y轴于点C,如答图2,设P(0,m),则 (3)解:如答图1,当点B在第一象 #d.iE OP-m. 限角平分线上时,过点A作AD1 ·△APQ是等腰直角三角形,且乙APQ-90”,.'.PA-PQ. A1 直线CO于点D,过点B作BE 直 又:AOP-90*,QC1y轴. 线AD于点E, .△APO△POC. .ADC-BEA-90*-CAB, 答图1 '$OA-CP-2,OP-CQ-m. '.CAD十 BAE=90*= CAD十 ACD '.Q(m,m+2). .ACD- BAE,'AB-AC, .点Q是线段AB上一动点,直线 '.△ACD△BAE(AAS)..'.AD-BE,CD=AE AB的解析式为y=-2x+4, ·点A的坐标为(7,3)...AD=7,D0-3, .-2m+4-m+2. '$BBE-AD=7,DE-7+3-10=DA+AE ##(,).# 解得n= 'AE-3-CD..CO-6...点C(0,6); 如答图2,当点B在第三象限角平 故答案为.(2,8). 答图2 分线上时,过点A作AD上直线 CO于点D,过点B作BE1.直线 培优提分练习(3) AD于点E, 同理可求:△ACD△BAE(AAS). 1.解;(1)①r<-2或x>2②-5$ ..AD-BE,CD-AE :<5 .点A的坐标为(7,3). (2)·'2|x-2.51+4<6. .AD=7,DO=3..BE= *.$ x-2.5<2,即x-2.5<1 答图2 AD-7. ..x-2.5l 1的解集可表示为-1 x-2.5 1 'DE-4.'AF-11-CD..C0=14 解得1.5<x<3.5. '点C(0,14). 3 '.2x-2.5+4<6的解集为1.5<x<3.5 综上所述,点C(0,14)或C(0,6) 4.解:(1).直线y=一2x+4与x轴交于点A,与v轴交于 点B, 解不等式①,得x>m. 当x-0时,得y-4;当y=-2x+4-0时,得x-2. 解不等式②,得xn十2. '.A(2,0),B(0,4)...OA-2,OB-4. ..不等式组的解集为m<x<m十2, ·将直线y=-2x十4绕点B逆时针旋转45{,得到直线/. 由于(2)的整数解是2和3, AC1AB. '.m<2且m+23. . ABC-45*,/BAC-90”, '.m的取值范围是1<n<2. '. ACB=90*- ABC-45*= ABC.$AB=AC 2.解:(1)①-5或-1②-6<m6 又:BOA=90*,AC1AB,CD1:轴. (2)①由题意,得:点A表示的数为1十3t,点B表示的数 .△ABO△CAD.:'OA-CD-2,OB-AD-4. 为4十t, ..C(6,2). 设真线/的表达式为xx+,过点B(0,4).C(6,2) ②当点B在点A的左侧或者重合时,即n<1,随着时间的 -- :/6_. 解得 。。 增大,A,B之间的距离会越来越大, 16k十b-2, -4. ·0 t>3时,d[AB] 7...1-n+3$(3-1 7. .直线1的表达式为y二- 解得n0...0n<1; 当点B在点A的右侧时,此时n>1, 在A,B不重合的情况下,A,B间的距离越来越小, 故答案为:(6,2);y一一 '.n7..1n7. 43