培优提分练习(1)-【宝典训练】2024-2025学年八年级下册数学高效课堂（北师大版）

数学·培优提分练习 ●·培优提分练习(1)··● 1.【阅读理解】 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段 与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题。 图1 图2 图3 (1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA,DB, DC之间的数量关系. 解题思路：延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,根据∠BAC十∠BDC=180°，可证 ∠ABD=∠ACE,证得△ABD≌△ACE,得出△ADE是等边三角形，所以AD=DE,从 而探寻线段DA,DB,DC之间的数量关系. 根据上述解题思路，请直接写出DA,DB,DC之间的数量关系是 【拓展延伸】 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.若点D是边BC下方一点，∠BDC 90°，探索线段DA,DB,DC之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 (3)如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角 顶点之间的距离PQ的长为 cm. 1 官典例练「数学·八年级下册（北师大版） ●●-● 2.【问题初探】 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的 点，且EF=BE十FD,探究图中∠EAF,∠BAE,∠FAD之间的数量关系.甲同学探究 此问题的方法：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG (SAS),再证△AEF≌△AGF(SSS),请你根据甲同学的解题思路直接写出∠EAF, ∠BAE,∠FAD之间的数量关系 G 图2 图3 【类比分析】 像(1)题一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方 法一截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段 的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度.请你用这种方法解答(2) (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B十∠ADF=180°，E,F分别是BC,CD上 的点，且EF=BE十FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由： 【学以致用】 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC十∠ADC=180°.若点E在CB的延长 线上，点F在CD的延长线上，且EF=BE+FD,请直接写出∠EAF与∠DAB之间 的数量关系 2 数学·培优提分练习 3.阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠B= 2∠C.求证：AB+BD=AC” 李老师给出了如下简要分析：要证AB十BD一AC就是要证线段的和差问题，李老师采用 了‘截长法'，如图2，在AC上截取AE=AB,连接DE,只要证BD= 即可，这就将证 明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出△ ≌△ ,得出∠B= ∠AED及BD= ,再证出∠ =∠，进而得出ED=EC,则结论成立. D 图1 图2 图3 请仿照上题方法解决以下问题： 【变式应用】如图3，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC,BD=DC,∠BAC= 70°，∠BDC=110°，以A为顶点作一个35角，角的两边分别交边DB,CD延长线于点E,F, 连接EF,则BE,EF,FC之间存在什么样的关系？并说明理由 3 官典例练「数学·八年级下册（北师大版） ●●● d 4.【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系. 截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等.补短法：延长 较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等. 【应用】如图1，把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD=∠CBD=90°，组成一个四 边形ACBD,以D为顶点作∠MDN,交边AC,BC于点M,N. D 图1 图2 图3 (1)如图2，若∠ACD=30°，∠MDN=60°，证明：AM十BN=MN;经过思考，小红得到了 这样的解题思路：利用补短法，延长CB到点E,使BE=AM,连接DE,先证明 △DAM≌△DBE,再证明△MDN≌△EDN,即可求得结论.按照小红的思路，请写出 完整的证明过程： (2)当∠ACD+∠MDN=90时，AM,MN,BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出 你的结论，不用证明) (3)如图3，在(2)的条件下，若将点M,N改在CA,BC的延长线上，完成图3，其余条件不 变，则AM,MN,BN之间有何数量关系？不需要证明. 数学·培优提分练习 5.阅读材料并完成习题： 在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题.请看这 个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,若 AC=2cm,求四边形ABCD的面积. 图1 解：延长线段CB到，点E,使得BE=CD,连接AE,我们可以证明△BAE≌△DAC, 根据全等三角形的性质得AE=AC=2,∠EAB=∠CAD, 则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°， 得S日帮AD=S△ABe十S△ADC=S△AB十S△ABR=S△AC, 这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形AEC的面积. (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm: (2)请你用上面学到的方法完成下面的习题. 如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,∠G=∠V=90°，求五边形FGHMN的 面积. H G 图2 5参考答案 .∠ABE=∠AEB,即AB=AE, :'∠B+∠ADC=180,∠ADG+∠ADC=180. 同理CF=CD,又AB=CD,.CF=AE, .∠B=∠ADG, 又，AD=BC,.AD-AE=B-CF,.BF=DE 在△ABE和△ADG中， BF∥DE,∴.四边形BFDE是平行四边形： BE=DG. (2)解：，∠AEB=68°.AD∥BC, ∠B=∠ADG .∠EBF=∠AEB=68°， AB=AD. :BE平分∠ABC.∴.∠ABC=2∠EBF=136, .△ABE2△ADG(SAS), 答图 .∠C=180°-∠ABC=44. .AE=AG,∠BAE=∠DAG 基础突破第29天 EF=BE+FD,GF=DG+FD=BE+FD. ∴.GF=EF, 1.C2.B3.B4.655.7206.300 AE=AG 7.证明：，四边形ABCD为平行四边形，∴.AFCE,AD=BC. 在△AEF和△AGF中，EF=GF, 又点E,F分别是平行四边形ABCD的边BC,AD的 AF=AF. 中点， .△AEF2△AGF(SSS),,.∠EAF=∠GAF, ..AF=CE :∠GAF=∠DAG+∠FAD=∠BAE+∠FAD, ∴，四边形AECF为平行四边形 .∠EAF=∠BAE+∠FAD .AE=CF 故结论仍然成立 8.解：，'BD是△ABC的AC边上的中线，∴.AD=CD, (3)如答图2，延长DC到点G,使DG ,DE=BD,,四边形ABCE是平行四边形 BE.连接AG 基础突破第30天 :∠ABC+∠ADC=180', 答图2 1.C2.B3.C4.(5,3)5.AD∥BC6.30 ∠ABC+∠ABE=180°， 7.证明：∠1=∠2，.ABCD. .∠ABE=∠ADG, :∠3=∠4，∴AD∥BC. BE=DG. ∴.四边形ABCD是平行四边形 在△ABE和△ADG中，{∠ABE=∠ADG, 8.解：在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，E, AB=AD. F分别是AB.CD的中点， ∴.△ABE2△ADG(SAS..AE=AG,∠BAE=∠DAG, EF=BE+ED.FG=DG+FD=BE+ED. .PF,PE分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴GF=EF, PF-BC.PE-TAD. AE-AG. AD-BC.PF-PE. 在△AEF和△AGF中，{EF=GF, 故△EPF是等腰三角形， AF-AF. :∠PEF=30°，∴∠PFE=∠PEF=30 ∴△AEF≌△AGF(SSS)..∠EAF=∠GAF, ,∠EAF+∠DAB+∠BAE+∠FAD=360°， .∠EAF+∠DAB=360°-（∠BAE十∠FAD), 培优提分练习答案} ∴.∠EAF+∠DAB=360°-（∠DAG+∠FAD), dhpoonoononoroononod .∠EAF+∠DAB=360°-∠GAF, ∴.∠EAF+∠DAB=360-∠EAF, 培优提分练习(1) ∴.2∠EAF十∠DAB=360°， 1.解：(1)DA=DC+DB (2)2DA=(DC+DB),理由如下： ∠EAF-180-号∠DAB. 如答图，延长DC到点E,使CE 3.CE ABD AED DE EDC C BD,连接AE, 解：【变式应用】BE十EF=FC,理由如下： :∠BAC=90,∠BDC=90, 在CF上截取CG=BE,连接AG,如答 .∠ABD+∠ACD=360° 图， ∠BAC-∠BDC=180, AB=AC,∠BAC=70°. :∠ACE+∠ACD=180, .∠ABD=∠ACE, 答图 ÷∠Ac-∠AB-号ar-m=53 AB=AC. 'BD=DC,∠BDC=110, 在△ABD和△ACE中，{∠ABD=∠ACE, BD=CE. ∴∠DC=∠cB=218w-10M=35' 答图 .△ABD≌△ACE(SAS). ∴∠ABD=∠ACD=90,.∠ABE ∴.AD=AE,∠BAD=∠CAE, =90°， ÷∠DAE=∠BAC=90°.∴.DA+AE=DE2, .△ABE2△ACG(SAS), ∴.2DA=(DC+DB)2. .∠EAB=∠GAC,AE=AG 3)72+76 ∠EAB+∠BAF=35=∠GAC+∠BAF, 2 .∠FAG=∠BAC-(∠GAC+∠BAF)=35 2.(1)∠EAF=∠BAE+∠FAD ∴.∠FAG=∠FAE,.△FAG≌△FAE(SAS) (2)证明：如答图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, ..EF-FG. 41 题学入年级下册（北师大版》 GF+GC=CF.:.BE+EF=FC. SGH=SArGH +SAHF SAMry =2SArs =2X 4.(1)证明：根据题意得：AD=BD 延长CB到点E,使BE=AM,连接DE,如答图1， 2MK·FN=4(em). ∠A=∠CBD=90°. 培优提分练习(2) .∠A=∠EBD=90. 在△DAM和△DBE中 1.(1)DE AE IAM=BE. (2)证明：如答图，作DM⊥AF于点M,EN⊥AF于点N, ∠A=∠DBE, BC⊥AF,∠BAD=90°， AD=BD. .∠BFA=∠AMD=90', '.△DAM≌△DBE(SAS), ∠1+∠2=∠1+∠B=90 答图1 ∴.∠BDE=∠ADM,DM=DE ∴∠B=∠2. :∠MDN=∠ADC=60°， 在△ABF和△DAM中， ∴∠ADM=∠NDC.∴.∠BDE=∠NDC, ∠BFA=∠AMD. ,∠NDC+∠NDB=60°， ∠B=∠2， 答图 '.∠BDE+∠NDB=∠NDE=60°， AB=DA. ∴.∠MDN=∠NDE, .△ABF≌△DAM(AAS,.AF=DM DM=DE. BC⊥AF,∠CAE-90°，.∠CFA=∠ANE=90, 在△MDN和△EDN中，{∠MDN=∠NDE. ∠FAC+∠NAE=∠FAC+∠C=90°，.∠C=∠NAE, DN=DN. ∠CFA=∠ANE ∴.△MDN≌△EDN(SAS.∴.MN=EN, 在△ACF和△EAN中，{∠C=∠NAE, 'EN=BE+BN=AM+BN,∴，AM+BN=MN AC=EA. (2)AM+BN=MN.由(1)中条件得∠ACD+∠MDN=90, ∴.△ACF≌△EAN(AAS).∴.AF=EN.∴.DM=EN 证明方法同(1)类似， DM⊥AF,EN⊥AF,∴.∠GMD=∠GNE=90, .AM+BN=MN: I∠DMG=∠ENG, (3)BN-AM=MN. 在△DMG和△ENG中，∠DGM=∠EGN, 证明：在CB上截取BE=AM,连接 DM=EN. DE,如答图2， .△DMG≌△ENG(AAS),∴.DG=EG, :∠B=∠CAD=90°. .点G是DE的中点. .∠B=∠DAM=90', 2.(1)证明：：BD⊥直线m,CE⊥直线m, 在△DAM和△DBE中， .∠BDA=∠AEC=90°，.∠BAD+∠ABD=90 AM-BE. ,∠BAC=90,.∠BAD+∠CAE=90, ∠DAM=∠DBE, D .∠ABD=∠CAE AD-BD. 答图2 I∠BDM=∠AEC, ∴△DAM≌△DBE(SAS), 在△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE, ∴.∠BDE=∠ADM,DM=DE, AB-CA. :∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°， ∴.△ADB2△CEA(AAS),.BD=AE.AD=CE. .∠MDN=∠CDA, .DE=AE+AD=BD+CE. .∠MDN-∠ADN=∠CDA-∠ADN, (2)成立.理由如下： 即∠MDA=∠CDN,∴∠BDE=∠CDN, :∠BDA=∠BAC=a :∠ADC=∠BDC, ∴.∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°-a, ,∠ALDC-∠CDN=∠BDC-∠BDE, .∠DBA=∠EAC 即∠NDA=∠EDC,.∠NDA+∠MDA=∠EDC+∠CDN. I∠BDA=∠AEC. 即∠MDN=∠EDN. 在△ADB和△CEA中，{∠DBA=∠EAC, DM=DE. AB=CA. 在△MDN和△EDN中， ∠MDN=∠EDN. .△ADB≌△CEA(AAS)..BD=AE,AD=CE. DN=DN. .DE=AE+AD=BD+CE. .△MDN≌△EDN(SAS),.MN=NE, (3)不成立，理由如下： NE=BN-BE=BN-AM..BN-AM=MN. ∠BDF=∠DEC.∴.∠BDA=∠AEC. 5.解：(1)2 :∠BDF=∠DBA+∠BAD, (2)延长MN到点K,使NK=GH,连接FK,FH,FM, ∠BAC=∠EAC+∠BAD,∠BDF=∠BAC, 如答图所示， .∠DBA=∠EAC. FG=FN-HM-GH+MN=2 cm. ∠DBA=∠EAC, ∠G-=∠N=90°， 在△ADB和△CEA中，{∠BDA=∠AEC, ∴∠FNK=∠FGH=90, AB=CA. .△FGH2△FNK(SAS), .△ADB2△CEA(AAS)..BD=AE,AD=CE ..FH=FK. .DE=AD-AE=CE-BD. .HM=KM-MN+GH=MN+ 3.(1)证明：AD⊥DE,BE⊥DE, NK =MK=2 cm. 答图 .∠D=∠E=90°=∠ACB, 42