第6章 微专题11 平行四边形中的等腰三角形模型-【宝典训练】2024-2025学年八年级下册数学高效课堂（北师大版）

数学·八年级下册(北师大版) 微专题11 平行四边形中的等腰三角形模型 类型1 平行四边形与角平分线结合 方法模型总结:平行四边形士角平分线→等腰三角形,常见解题模型如下 ###_ 图② 图① “图③ 如图,在□ABCD中,ABC和BCD的角【举一反三】如图,已知□ABCD,DE是ADC 平分线BE与CE相交于点E,且点E恰好落在 的角平分线,交BC于点E. 过AD上. (1)求证:CD-CE: (1)求证:BEC-90*: (2)若点E是BC的中点,C=108*,求DAE (2)若AB一2,求平行四边形ABCD的周长. 的度数. 第六章 平行四边形 类型2 平行四边形中的折叠问题 方法模型总结:模型“平行四边形十折叠→等腰三角形”,解题模型如图 测2在平行四边形ABCD中,E是BC边的中 【举一反三】如图,将平行四边形纸片ABCD按 点,将△ABE沿AE进行折叠点B落在点F处. 如图方式折叠,使点C与点A重合,点D的落点 (1)求证:CF/AE; 记为点D',折痕为EF,连接CF (2)若AE-AB-9,BC-12. (1)求证:四边形AFCE是平行四边形; 求CF的长. (2)若/B-45*$FCE-60{*},AB-6 ②,求线段DF 的长. 129数学八年级下册(北师大版) 平行线间的距离 第50课时 2.(n-2)·180°(n3) (2)(n-2)·180” 核心讲解 n 例1C 变1C 例2 8 变2 6 3.n-1,n,n+1 课堂过关 核心讲解 例112 1.B 2.D 3.A 4.C 5.12 6.(1)12 (2)120 变1 27 例2 D 变2 C 例3 D 变3 D 课堂过关 7.解;.'AG//BC..'.A到BC的距离等于C到AG的距离 '当AE-CF时,Ss-Src. 1.B 2.D 3.C 4.6或7 5.540” 6.36* 分两种情况讨论: 7.解;设一个多边形的边数为2x,另一个多边形的边数为5x ①点F在点C左侧时,AE-CF. 根据题意得(2x-2)·180*+(5x-2)·180”-1800. 解得x-2. 故这两个多边形的边数分别是4和10. ②当点F在点C的右侧时,AE一CF. 8.解:·五边形内角和为:(5-2)×180-540*; .阴影部分的面积之和是1.5个圆,即3x×1-1.5x. 故t为:或1。 所以圆与五边形重合的阴影部分的面积为1.5. 第53课时 多边形的内角和与外角和(2 第51课时 三角形的中位线 知识储备 知识健备 1.360*(3)360 2.平行 一半 DE/BC,DE-BC n. 核心讲解 3.中点四边形 平行四边形 例1 解:(1)设此多边形的边数为n,则: 核心讲解 (n-2)·180*-1440*+360*,解得n-12; 例1C变1B 答:这个多边形的边数为12. 例2 证明:如答图所示,连接AC, (2)这个正多边形的每一个内角是: ·E,F,G,H分别是凸四边形 (12-2)·180*-150”. ABCD的四边的中点: 12 .EH是△DAC的中位线. 例2 解:(1)设正n边形每个内角的度数为3x,外角度数 .EH/AC,EH-AC, 为2x, 则3x十2x-180*,解得:x-36*. 同理可得,GF/AC. '2x-2$36-72*.n-360-72-5. 答图 Gr-AC 即n的值为5: (2):正n边形的边数是5. '.EH//GF,EH-GF,..四边形EFGH是平行四边形. .正”边形每个顶点可引出的对角线的条数为2条, 课堂过关 这个正五边形的所有对角线的条数为: 1.中线 中位线 2.B 3.D 4.A ##(n-e3)-x5×2-5. 5.解:(1)如答图,取BD的中点P,连 接PE,PF, 课堂过关 .·P,E,F分别是边BD,AD,BC的 1.A 2.C 3.12 4.六 5.A 6.40* 中点,AB-16,CD-30. 7.解:(1)90” .PE/AB,PE-AB-8. 答图 /AMN-90*,证明过程如下: ·四边形ABCD是正四边形, PF/CD.PF-CD-15. .乙B-360”二90”, 4 : ABD-30*, BDC-120*, “. AMC-1+ B- 1+90*, '. EPD- ABD=30*,DPF-180*-BDC=60, 又·'AMC-2+AMN. AMN-90”, .EPF-90, .AMC-2+90”. 在Rt△PEF中,EF-PE+PF-V8+15-17. ./1-/2. .EF-17; (2)若乙AMN- B,则 1-2 (2)4FF-AB+CD,理由如下. 微专题11 平行四边形中的等腰三角形模型 如答图,取BD的中点P,连接PE,PF, 例1(1)证明::BE、CE分别平分ABC和BCD. .P.E.F分别是边BD,AD,BC的中点, . EBC-ABC,ECB-BCD, $PE/AB,PE-AB.PF/CD,PF-CD. .四边形ABCD是平行四边形,..AB/CD. :乙BDC-90*+乙ABD, 'ABC+BCD-180*. EPD- ABD,DPF=180*- BDC=90*- ABD$$ EBC+ECB-ABC+BCD=90”, .. EPF= EPD+ DPF-90*, 在Rt△PEF中,EF*-PE+PF. .乙BEC-90*; 即EP*-1AB+CD.4Er*-AB*+CD. (2)解::四边形ABCD是平行四边形, 'AD/BC,CD-AB-2. . EBC- AEB 第52课时 多边形的内角和与外角和(1) .BE平分ABC..EBC-乙ABE, 知识储备 . AEB- ABE..AB-AE-2, nfn-3) 1.(n-3) 同理可证DE-DC-2..'AD-DE+AE-4. (n-2) .C-2X(4+2)-12. 18 参考答案 举一反三 .DF=6+23. (1)证明:·四边形ABCD是平行四边形, 微专题12 平行四边形中的最值问题 '.AD// BC. ADE= DEC, 又·DE平分 ADC...ADE= EDC. 例1 210 例2 34 例3 ..DEC=EDC...CD=CE; 解:如答图,取BC的中点G,连接AG (2)解:·四边形ABCD是平行四边形,C-108*; :AB=B$G-$. AB$G= $D-6 0$$$$ '$AD/BC,AB=CD.BAD= /C-1$08$$$ .△ABG是等边三角形, .B+ C=180”,.B-180{-108^$}=7^$ *$AG-GC-2. AGB$ ·BF-CF,CF-CD,AB-CD.'.AB-BE, BAG-60*. '. GAC- GCA-30*, '.BAE- BEA-(180*-72”)-54 , '. BAC-90*,作点B关 .DAE- BAD- BAE-108$-54$-54^$ 于AC的对称点F,连接 例2 (1)证明:由折叠的性质可知,乙AEB= AEF,BE-EF CF,作FE1BC于E, .E是BC边的中点,.'.BE-CE, 'CF-CB, CBF-60”,B '△BCF是等边三角形: GEO $.EF=CE..EFC- ECF, AEB+AEF+CEF-180” EFC+ECF+CEF=180*, 则EF的长即为PB十PQ的最小值(垂线段最短). $2 AEF-2 EFC,AEF- EFC :EF-3×4-2v3. .CF/AE; (2)解;由题意可知,AE为对称轴,点B、F为对应点 .BP+PQ的最小值为23. 如答图,连接BF交AE于点G. 例4 #) 例56v2 由折叠的性质可知,AE垂直平 分BF, 例6 解:如答图,BC的下方作 CBT一30{},截取BT,使得BT . BGA= BGE,点G为BF -AD,连接ET,AT. 的中点, .四边形ABCD是菱形,/ABC=60*。 .E是BC边的中点: 答图 $. ADC-乙ABC-60”,乙ADF-ADC-30”; '.FG为△BCF的中位线, .EG-CF. .AD-BT,乙ADF TBE-30”,DF-BE. 设EG-x.则CF-2x. . △ADF △TBE .AF-AB-9,BC-12 (SAS)...AF-ET. $AG-AE-EG=9--,BE-BC-6, ._ABT-ABC+ CBT=60*+30*-90*,B ...: 在Rt△AGB中,BG-AB$-AG$$$$$$$ .( AB-AD-BT-4. 在Rt△EGB中,BG-BE-EG$$$ '.AT-AB+BT- '9-(9-x)-6-r”,解得x-2, 4+4-4/2,.AE+ 答图 .CF-4. 举一反三 AF-AE+ET, (1)证明:·点C与点A重合,折痕为EF, .AE+FT>AT.*AE+AF>4/2 “.AEF-CEF,AF-EC. ..AE+AF的最小值为4/2. .四边形ABCD为平行四边形 第54课时 章末复习 '.AD//BC../AFE= /CEF 高频考点精练·体验中考 '. AFF=AFE.'AE-AF..'AF=EC. 1.B 2.42 3.B 4.D 又:AF/EC. 5.①(或②) '.四边形AFCE是平行四边形 (D证明:选择①.' B- AED...DE/CB, (2)解:如答图,作AG1BE于点G. ·AB/CD...四边形BCDE为平行四边形; 则 AGB- /AGE-90* 选择②..AE-BE,AE-CD...CD-BE, .点D的落点为点D,折痕为EF, .AB//CD...四边形BCDE为平行四边形; .DF-DF. --.D (2)解:由(1)得DE-BC-10. “.四边形ABCD为平行四边形, .AD-BC. 'ADIAB,AD-8.'AE=DE-AD-6. GE 又:AF-EC,.'AD-AF=BC- 易错二次闯关 答图 FC.即 DF=BE. 1.B 2.C 3.20秒或8秒 4.v2 “在Rt△AGB中, AGB-90{, B-45{$,AB-6/$2$ 5.(1)证明:.点D,E分别是AC,AB的中点, *.AG-GB-6. '.DE是△ABC的中位线..'.DE//BC,BC-2DE. ·四边形AFCE为平行四边形,.AE/FC. .CF-3BF.'BC-2BF..'$DE-BF. .. AEB- FCE-60*, '.四边形DEFB是平行四边形; '在Rt△AGE中.{AGE-90*, AEB-60°$ .GF-AG2v3. :D是AC的中点,AC-6 cm.v.cCD-AC-3 cm, (2)解:由(1)得,DE一BF-2cm. ③ .BE-BG+GE-6+23 . ACB-90". '.四边形DEFB的面积-BF·CD-2X3-6(Ccm}). 19