第1章 第5课时 直角三角形(1)-【宝典训练】2024-2025学年八年级下册数学高效课堂（北师大版）

数学·八年级下册（北师大版） 第5课时 直角三角形(1) ● 识储备 1.直角三角形角的性质定理： 2.直角三角形角的判定定理： (1)直角三角形的两个锐角 (1)有两个角互余的三角形是 三角形. 几何语言：在△ABC中，：∠C=90, 几何语言：在△ABC中，，∠A十∠B ∴.∠A+∠B=90° 90°，∴.∠C=90°，即△ABC为直角三角形. (2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 (2)如果三角形的三条边长a,b,c,满足a十 平方，如果直角三角形的两直角边长分别 c2,那么这个三角形是 三角形. 为a,b,斜边长为c,那么 几何语言：：a2+b=c2,.∠C=90, 几何语言：，∠C=90,.a2+6=c2. △ABC为直角三角形 3.逆命题与逆定理：如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为 命题.如果把其中 个叫原命题，则另一个叫做它的 命题：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也 是一个定理，这两个定理称为 定理，其中一个定理称为另一个定理的 定理 ● 知识点】直角三角形的性质 变1如图，直线m∥n,点A在 例1在一个直角三角形中，若有一个锐角等于 直线n上，点B在直线m 25°，则另一个锐角的度数是 上，连接AB,过点A作 A.25 B.55 C.65 D.75 AC⊥AB,交直线m于点C.若∠1=55°，则 ∠2的度数为 A.35 B.45 C.55°D.60 例2（易错题）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长， 变2（易错题）若一个直角三角形的两边分别是3 则下列关系中正确的是 和4，则第三边是 ( A.a2+6=c2 B.ac2=b A.5 B.7 C.b+c=a D.以上都有可能 C.7 D.5或7 知识点2直角三角形的判定 例3在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是 变3下列条件能判定△ABC是直角三角形的是 a,b,c,下列条件不能判断△ABC是直角三 ( 角形的是 ( A.∠A-∠B=∠C A.∠A+∠B=90 B.∠A∠B:∠C=3:4:5 B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.AB=3,BC=√4，AC=5 C.a:b:c=3:4:5 D.AB:BC:AC=2:2:3 D.a2=c2+b2 ●》144 第一章三角形的证明 知识点3逆命题 例4“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 A.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 B.两个角互余的三角形是等腰三角形 C.在同一个三角形中，等边对等角 D.如果一个三角形有两个边相等，那么这个三角形是等腰三角形 课堂过€ 第一关过基础 1L.若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另2.有两个角互余的三角形是 一个锐角等于 ( A.直角三角形 B.等边三角形 A.50 B.60 C.70 D.140 C.锐角三角形 D.钝角三角形 3.(教材P18问题解决5改编)如图， 4.请写出命题“如果a>b,那么a>√石”的逆命 有一长，宽各为2m,高为3m且封 题： 闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点 A爬到与A点相对的顶点B,那么这只昆虫爬 行的最短路径为 m. 雪第二关过能力 5.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,则图中互余的角有 对 第三关过思维 6.如图，AD⊥BC,垂足为点D,且AD=4,BD=8,点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速 度匀速运动，F为BE的中点，连接AE,AF,设点E运动的时间为1秒. (1)当1= 时，AE=AF: (2)当1=5时，判断△ABE的形状，并说明理由. ●》15数学八年级下册（北师大版） 综上，另外两个内角的度数分别是55°，55°或70°，40 ,将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB上的点E处， 举一反三解：100的内角只能为这个等腰三角形的顶角， .BE=BC=3cm,DE=DC,∠BED=∠C=90°， 则另外两个内角均为底角， .AE=AB-BE=2 cm, 它们的度数为180°，100°=40. ,设AD=x,则CD=DE=4一x, .在R△ADE中，AD=AE+DE, 例2解：①当底边是6，腰长是8时，8十8>6，能构成三角形， 即王=2+(4-x), 则其周长=6+8+8=22. ②当底边是8，腰长是6时，6+6>8，能构成三角形，则 解得x-号AD=号m 其周长=8+6+6=20. 例3解：(1)15 举一反三解：①当腰是3，底边是7时， (2)在等边△ABC中， 3十3<7，不满足三角形的三边关系，因此舍去. ∴，AB=BC=CA,∠A=60°， ②当底边是3，腰长是7时， 如答图1，设点M,N运动x秒后，△AMN为等边三角形， 7十7>3，能构成三角形，则其周长=3十7十7=17. .AN-AM. 例36举一反三B 例4解：此题需要分情况讨论：等腰角形的顶角是纯角，等腰 由运动知，AN=15-2x,AM=x, 三角形的顶角是锐角 15-2x=x,解得x=5, .点M,N运动5秒后，△AMN是 等边三角形； (3)存在，M,N运动的时间为20 D. 秒，理由如下： 答图 如答图2，设M,N运动y秒后，得 到以MN为底边的等腰三角形AMN, 答图1 答图2 .AM=AN,'.∠AM=∠AMN, 如答图1，∠ACB=∠D+∠DAC=90°+20°=110°， :△ABC是等边三角形， 如答图2，∠ABD=20°，故顶角∠A=90°一∠ABD=90 ∴AC=AB,∠C=∠B=60, -20°=70°， '.△ACN≌△ABM(AAS), 举一反三解：①如答图1，当该等腰三角形为锐角三角形时， ∴.CN=BM, 由题意可知∠ABD=45°，∠BDC=90°， ∴.CM=BN, .∠A=∠BDC-∠ABD=45°， 由运动知，CM=y-15,BN 答图2 ∴∠ABC=∠C=7180°-∠A)=61.5 15×3-2y. y-15=15×3-2y,∴y=20, 故点M,N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的 等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为20秒， 举一反三解：(1)线段BC的中点6 (2)当点M,N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等 腰三角形， 答图1 答图2 由(1)知6秒时M,N两点重合，恰好在C处， ②如答图2，当该等腰三角形为钝角三角形时， 如答图，假设△AMN是等腰三角形， 由题意可知∠ABD=45°，∠D=90°， 设M,N运动1秒时，得到以MN为底的等 ∠A=∠D+∠ABD=135° 腰△AMN, ..AN=AM,CM=t-6,BN=18-2t, ∠ABC=∠C=2180°-∠A)=22.5. .∠AMN=∠ANM, 综上可知，这个等最三角形的底角度数为67.5或22.5. .∠AMC=∠ANB, 答图 微专题2等腰三角形中的方程思想 △ACB是等边三角形，∴∠C=∠B,AB=AC, 例1解：AD=DE=EB, '.△ACM2△ABN(AAS),'.CM=BN, .设∠BDE=∠ABD=x, ∴.t-6=18-2, ∴.∠AED=∠A=2x, 解得t=8,符合题意， .BD=BC,AB=AC. 所以假设成立，当M,N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰 ∴.∠BDC=∠C=∠ABC=3x, 三角形. 在△ABC中，3x+3x+2x=180°， （③)号安受安号或9 解得x=22.5. .∠A=2x=22.5°×2=45° 第5课时 直角三角形(1) 例2解：AB=10,AC=8,BC=6, 知识储备 ∴AC+BC=8+6=10=AB, 1.(1)互余(2)a2+=c2 .△ABC是直角三角形，且∠C=90°， 2.(1)直角 (2)直角3.互逆逆互逆逆 DE垂直平分AB,.AD=BD, 核心讲解 设CD=x,则AD=BD=8-x, 例1C变1A例2D变2D例3B变3A 在Rt△BCD中，(8-x)'=6'+x2, 例4A 解得x=子CD=名 课堂过关 1.A2.A3.54.如果√a>√6，那么a>b5.4 举一反三解：，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm, 6.解：(1)由题意得：BE=2t, ∴.AC=√VAB-BC=4cm, :F为BE的中点，∴BF=EF=之BE= AB=AC,.点A,F均在线段BC的垂直平分线上， 即直线AF垂直平分线段BC. AD=4,BD=8, 例3解：如答图，分别以A和B为圆心 .DF=BD-BF=8-t,DE=BE-BD=21-8, AD⊥BC,AE=AF,.DE=DF, 以大于？AB的长为半径画孤，两孤 即2-8=8-6，解得1=9 交于点E和F, 作直线EF,与河岸交于点C,则码 B 当=时，AE=AF 头应建在点C处， 课堂过关 故答案为：9， 1.B2.C3.D4.B5.C 答图 6,解：如答图，点E即为所求， (2)△ABE是直角三角形， 理由：当=5时，BE=21=10, M .DE=BE-BD=10-8=2, 在Rt△ADB中，AB=AD+BD=4+8=80. 在Rt△ADE中，AE=AD+DE=42+22=20, ,AB+AE=100,BE=102=100, B ∴.AB2+AE=BE, ∴：△ABE是直角三角形 答图 第6课时直角三角形(2) 第8课时线段的垂直平分线(2)】 核心讲解 知识储备 例1A变1D 1.PA PB PC 例2证明：：CB⊥AB,∴∠ABC=∠FBC=90°， 核心讲解 :∠BAC=45,∴∠BCA=45°=∠BAC, 例1D例2100°变1160° 例3B △ABC为等腰直角三角形，.AB=CB, 变4解：如答图，点M即为所求 在Rt△ABE和R△CBF中，AECF, AB=CB, ,∴.Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). 例3B 课堂过关 1.C2.A 答图 3.解：(1)结论：AF=3BF 课堂过关 证明：如答图，过点D作DG⊥AB于点G,则∠DGB=90°， 1.B2.C3.D ∠ACB=90°，∠ABC=45°， 4.解：(1)中线CD如答图1所示： ∴.AC=CB,∴.AC+BC=AB (2)AB边上的高CH如答图2所示. BC-号AB, :DA=DB,∠ADB=90°， G ∴.∠ADG=∠BDG=45=∠DAG ∠DBG, ÷DG-AG-BG-2AB, 答困 在Rt△BEC中，∠BEC=9O°，EB=EC, D BE-号BC-专AB,DG-BE, 答图1 答图2 2 5.解：∠BAC=110°， ∠DFG=∠EFB, .∠B+∠C=180°-110=70°， 在△DFG和△EFB中， ∠DGF=∠EBF :MP,MQ分别垂直平分AB和AC, DG-BE. .BP=AP,CQ=AQ,,∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C, .△DFG≌△EFB(AAS),∴FG=BF,∴.AF=3BF: ∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=110°-70°=40°. (2)猜想：AF=3FB. 6.B 第7课时线段的垂直平分线(1) 第9课时角平分线(1) 核心讲解 核心讲解 例1A变136例2A 例1B变1C AB-AC, 例2解：：DE⊥AB,DF⊥AC,·∠DEB=∠DFC=90, 变2证明：(1)在△ABE和△ACD中， ∠A=∠A, ∠DEB=∠DFC, AE-AD, 在△BDE和△CDF中，BE=CF, .△ABE≌△ACD, ∠B=∠C, .∠ABE=∠ACD: △BDE≌△CDF(ASA),·DE=DF, (2)如答图，连接AF 而DE⊥AB,DF⊥AC, 'AB=AC,.∠ABC=∠ACB, ,点D在∠BAC的平分线上 由(1)可知∠ABE=∠ACD, 变2解：DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠DEB=∠DFC=90°， ∴.∠FBC=∠FCB,.FB=FC, 答图 3