第六章第08讲 章节复习专题：平行四边形（5个知识点+12大常考题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第08讲 章节复习专题：平行四边形 目录 【考点一 利用平行四边形的性质求解】 3 【考点二 平行四边形的性质与判定多结论问题】 8 【考点三 利用平行四边形的性质求动点问题】 16 【考点四 平行四边形中的折叠问题】 21 【考点五 判断能否构成平行四边形】 29 【考点六 平行四边形中的作图】 32 【考点七 平行四边形中的性质和判定】 38 【考点八 与三角形中位线有关的求解问题】 47 【考点九 平行四边形与中位线综合问题】 50 【考点十 多边形内角和、外角和问题】 57 【考点十一 多边形中的对角线问题】 59 【考点十二 多边形中的截角问题】 61 知识点01 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 知识点02 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 知识点03 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 知识点04 三角形的中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） （2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 知识点05 多边形的概念、内角和、外角和 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【考点一 利用平行四边形的性质求解】 例题：（24-25八年级下·上海·期中）在中，若，则∠D为 度． 【答案】45 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等，对边平行是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，，再结合，可得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45 【变式训练】 1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，则 ， ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形 【分析】作于点，由平行四边形的性质得，由三角形内角和定理得，由含的直角三角形的性质得，所以，最后由勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：作于点，则， 四边形是平行四边形，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，中，，点E在的延长线上，，若平分，则 ． 【答案】4.5 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）在中，是边上的高，，，且，则的面积为 【答案】36或60 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了勾股定理，以及平行四边形的面积公式，解题的关键是分类讨论．分析：分两种情况讨论：①E在线段上，如图1，②E在的延长线上，如图2．分别利用勾股定理解答即可． 【详解】①当E在线段上时，如图1， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴的面积=； ②当点E在的延长线上时，如图2， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴的面积=； 综上所述：的面积为36或60． 故答案为36或60． 4．（2025·江西九江·二模）在中，，，，点在上，，点在上，连接，是的中点．若是等腰三角形，则的长为 ． 【答案】6，或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】需分三种情况讨论：①当时，连接，过点C作于点F，根据已知得结合平行四边形的性质求得，，进一步得，，，即可求得； ②当时，过点F作于点N，交于点M，过点C作于点H，则，有，同理可得，，，再证明得，进一步求得，，利用勾股定理求得和，则； ③当时，过点F作于点N，交于点M，过点C作于点H，同理可得，，，求得，利用即可． 【详解】解：若是等腰三角形，需分三种情况讨论． ①当时，连接，过点C作于点H，如答图1， ∵是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵在中，， ∴， ∵，，， ∴，，， 则； ②当时，过点F作于点N，交于点M，过点C作于点H，如答图2， 则， ∴， 同理可得，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，，则， ， 则； ③当时，过点F作于点N，交于点M，过点C作于点H，如答图3， 同理可得，，，，解得， ． 故答案为：6，或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟悉平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，以及分类讨论思想的应用． 【考点二 平行四边形的性质与判定多结论问题】 例题：（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质，证得是等边三角形以及是的中位线是解答本题的关键． 由中，，易得是等边三角形，又由，证得；继而证得，得；由、以及，可得；可得是三角形的中位线，证得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，故正确； ， ，故正确； ，， ， ，故错误； ，，， ， ， ， ， ，故错误； 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（   ）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断； ②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算，的长，即可求的长； ③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断； ④根据三角形中位线定理可作判断； ⑤由三角形中线的性质可得：． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ， ，， ， 中，， 四边形是平行四边形， ∴ ， 中， 故②正确 ③由②知：， ， 故③正确； ④由②知：是的中位线， ， ， ， 故④正确； ⑤ 故⑤错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理，三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系 2．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立． 【详解】解：①延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故①正确； 在中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作交延长线于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，则为等腰直角三角形， ∴， 由等腰直角三角形可知，， ∴， 故③正确； 由勾股定理可知，，则， 过点作于，则， ∵， ∴， ∴， 则，， ∴， 故④不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形 【分析】根据平行四边形的性质即可得，又因为平分，则可得，即为等边三角形，再结合三角形外角性质和等腰三角形性质即可判断①；根据平行四边形性质，结合勾股定理即可判断③；，，则为三角形的中位线，利用中位线的性质和平行四边形性质即可判断②；与为同底等高的三角形，根据面积关系即可判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分， ， 为等边三角形， ， 又， ，， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ，， ， 故③正确； ，， 为三角形的中位线， ，， ， 又， ，故②正确； 与为同底等高的三角形， ， ，故④正确， 综上，正确的有①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，根据已知条件，巧妙运用相关知识判断． 4．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，点O是的对角线的交点，，的平分线交于点E，与交于点F，，连接．下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有 ． 【答案】①②④ 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理等，解题的关键是平行四边形性质的应用．本题综合运用这些性质定理逐项进行判断即可． 【详解】解：在中， ∵，，平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， 故平分，故②正确； 依据中，， 即可得到，故③错误； ∵是中点，为中点， ∴是的中位线， ∴，， 在中，， ∴， ∴，故④正确； 综上，①②④正确． 故答案为：①②④． 【考点三 利用平行四边形的性质求动点问题】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，且，，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向点A方向运动，点Q以的速度向点C运动，几秒后四边形是平行四边形（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查的是平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．由运动时间为t秒，则，，而四边形是平行四边形，所以，则得方程求解． 【详解】解：设t秒后，四边形为平行四边形， 则，， ∵ ∴， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 知：即可， 即：， ∴， 当时，， 综上所述，2秒后四边形是平行四边形， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图1，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（   ） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查的是动点图象问题，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．由图2知，，，，可知，由图可知，当点在上时，，即可求解． 【详解】解：由图2知，，，， 则， ∴， 由图可知，当点在上时，， 故选：B． 2．（2024·河南周口·三模）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A． B． C．平行四边形的周长为44 D．当时，的面积为20 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息，应用相关知识求解即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图， 此时的面积是面积的一半， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，点F是上一个动点，以，为邻边作另一个，当F点由D点向C点运动时，下面给出四个结论： ①的面积先由小变大，再由大变小； ②的面积始终不变； ③线段的最小值为； ④． 其中说法正确的选项是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质， 本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点F与点C重合时，， ∵， ∴线段的最小值为； 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∵都是定值， ∴是定值， ∴是定值， 故①错误，②正确， 故选：D． 4．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图（1），在中，，，动点从点出发，沿直线运动至点，再从点沿直线运动至点．设点运动的路程为，的面积为，图（2）是点运动时随变化的函数关系图象，则的长为（　　）    A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】根据函数图象，先确定点的位置，推出为等边三角形，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据，求出的长即可． 【详解】∵在中，，， ∴， ∴， 由图象可知，当时，的面积不变为， ∴点在线段上，且， 连接，过点作，则：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；    故选A． 【点睛】本题考查动点的函数图象问题，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是确定点的位置． 【考点四 平行四边形中的折叠问题】 例题：（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，点，分别为边，的中点，将平行四边形沿着折叠，点，分别落在，处，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，折叠的性质，根据平行四边形的性质，可得，，得到，根据点，分别是，的中点，可得，由折叠可得，，根据等边对等角，则，根据三角形的内角和，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·河南·模拟预测）在平行四边形中，点为边的中点，将 沿折叠，使点落在点处，把纸片展平，延长与射线交于点． 若 ，，则线段 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、折叠问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定及性质；①当在边上，连接，由平行四边形的性质得，，由折叠性质得 ，，，由等腰三角形的判定及性质得 ，即可求解；②当在边延长线上，同理可求解；掌握相关的性质，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①如图，当在边上， 连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ． ②如图，当在边延长线上， 同理可求：， ， ； 综上所述：的长为或． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为 ．    【答案】2或6 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及折叠的特点．分和两种情况，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：如图1，当时，    ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴； 如图2，当时，      ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴，此时与点重合， ∵， ∴， ∴． 综合以上可得的长为2或6． 故答案为：2或6． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得，由折叠知，由折叠的性质可得，再由平行四边形的性质求得，据此即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由折叠知， 由折叠知， ∵， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， 故答案为：，； （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）综合与实践 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P． 【观察发现】 （1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______． 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2）成立，证明见解析；（3）或 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据折叠的性质得到，．由E为的中点，推出，根据三角形内角和定理及平角的定义得到，推出，由四边形是平行四边形，得到，继而证明四边形为平行四边形，即可得出结论． （2）同理（1）证明即可； （3）过点A作交CB的延长线于点M，分点F在平行四边形内和点F在平行四边形外；两种情况讨论即可． 【详解】解：（1），，理由如下： 证明：由折叠，可得，． ∵E为的中点， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴． （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立． 同理（1）证明即可； （3）①当点F在平行四边形内时，过点A作交CB的延长线于点M，如解图1所示． 由（2）可知， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∵，， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． 设，则，． 由（2）可得， ∴． 在中， ，即， 解得（负值已舍去）． 由（2），可知， ∴． ②当点F在平行四边形外时，过点A作于点M，如解图2所示． 同理可得．设，则，， 可得， ∴． 在中， ，即， 解得（负值已舍去）． 由（2），可知， ∴． 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上性质是解题的关键． 【考点五 判断能否构成平行四边形】 例题：（24-25八年级下·山东德州·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不可能是平行四边形，故A不符合题意； B．由图中数据只能得到一组对边平行，不能判断四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．由图中数据可得一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故C不符合题意； D．由图中数据只能得到一组对边相等，且这组对边平行，能判断四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知四边形，下列条件能判断它是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定方法即可判断． 【详解】解：A、由，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、由，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D、由，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖北随州·期中）如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查平行四边形判定。根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案。 【详解】解：∵， ∴能判断四边形是平行四边形，即A选项不符合题意， ∵， ∴能判断四边形是平行四边形，即B选项不符合题意， ∵， ∴不能判断四边形是平行四边形，即C选项符合题意， ∵， ∴能判断四边形是平行四边形，即D选项不符合题意， 故选：C. 3．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， A.∵， ∴四边形是平行四边形．故选项A不符合题意； B.由无法判断四边形是平行四边形．故选项B符合题意； C.， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴，即，、 又， ∴四边形是平行四边形．故选项C不符合题意； D.同理可证， ∴， ∴， 又, ∴四边形是平行四边形．故选项D不符合题意； 故选：B． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形的对角线相交点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．由平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； B、， ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； C、， ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； D、， ，不可以判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选：D． 【考点六 平行四边形中的作图】 例题：（2025·广东广州·一模）如图，四边形为平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2)10 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）①以为圆心，适当长为半径画弧，交于，于，②分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，③作射线，交于即可； （2）延长交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，求得，于是得到． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：延长交的延长线于， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键． 【变式训练】 1．（2025·江西·模拟预测）如图，为内一点，请仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，平分，作的平分线； (2)在图2中，为任意一点，在内作线段，使平行且等于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）连接交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接，则即为所求； （2）连接、于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图1所示，连接交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接，则即为所求； ∵是对角线的交点 ∴ ∴四边形是平行四边形，则 ∴ ∵平分， ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴ ∴，即是的平分线； （2）解：如图2所示，连接、于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，则即为所求 如图，连接， 根据作图可得，， 则四边形是平行四边形， 则， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴平行且等于．则即为所求． 2．（24-25八年级下·四川广安·期中）根据要求作图． (1)如图1，平行四边形，点，分别在边，上，且，连接．求作线段中点（要求尺规作图，保留画图痕迹，不必说明理由）． (2)如图2，平行四边形，点在边上，请你在边上找一点，使得四边形为平行四边形．（要求尺规作图，保留画图痕迹，并证明四边形为平行四边形）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）连接，与的交点即为点O； （2）连接交于点O，连接并延长交于点F；由平行四边形的性质得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图点O即为所求， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图点F即为所求， ∵平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 3．（2025·浙江·二模）尺规作图问题： 如图，在中，P是对角线上一点，连结，请按要求完成下列问题： (1)用无刻度直尺和圆规在边上作点Q，连接，使得．（保留作图痕迹，不必写做法） (2)依据你的作图，请说明成立的理由．（要求写出推理过程） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）以D为圆心，以为半径画弧，与的交点Q即为所求； （2）由平行四边形的性质可得，即；再证明可得，即，最后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：点Q即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2025·宁夏银川·一模）如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本作图：在上截取．使．连接，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)请判断：四边形的形状并加以证明 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平四边形的判定与性质，尺规作图，熟练掌握平四边形的性质，尺规作图的作法是解题的关键． （1）根据角平分线的作法及线段的作法，利用尺规作图画出图形即可； （2）根据平行四边形的性质可得，由作图可得，推出，再由平分，可得，从而得到，进而得到，求出，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示，点E、F即为所求； （2）解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 由作图可得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【考点七 平行四边形中的性质和判定】 例题：（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，在中，F是的中点，延长到点E，使，连结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，平行线的性质以及勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知，且；再证，然后根据平行四边形的判定定理即可得出结论； （2）如图，过点C作于点H．解直角三角形得到，再根据勾股定理即可得出结论； 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，且， 是的中点， ． 又， ， ， 四边形是平行四边形 （2）如图，过点C作于点H． 在中，， ， 在中， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 则 在中，根据勾股定理得： 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，的周长是12，求平行四边形的周长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，线段垂直平分线的性质，正确运用平行四边形的性质及判定定理是解题的关键。 （1）根据平行四边形的性质可得，,再结合已知利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形是平行四边形即可； （2）根据平行四边形的性质得，由可证明是的垂直平分线，可得，根据的周长是12及平行四边形的对边相等这一性质即可求出平行四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， （2）解：由（1）得，平行四边形， ， ， ， 的周长是12， ， ∴平行四边形的周长. 2．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，点是的中点，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再由得出，确定，即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，，，，是中点，，动点以每秒个单位长的速度从点出发向点移动，连接并延长在交于点，点移动时间为秒． (1)求与间的距离； (2)为何值时，四边形为平行四边形； (3)直接写出为何值时，． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、三线合一、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据勾股定理，可得的长，根据面积的不同表示方法，可得答案； （2）证明，得出，结合，可知只需时，四边形便是平行四边形，即，可得答案； （3）分情况讨论：当第一次等于时，过点作于点，过点作于点，先证明，再证明四边形是平行四边形，即可求解；当第二次等于时，过点作交于点，过点作于点，证明四边形是平行四边形，推出，利用等腰三角形性质得出，并求解，再求，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴, 如图，过作于， 则由， 得， ∵， ∴与间的距离为； （2）解：∵， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴只需时，四边形便是平行四边形， ∴， ∴， ∴时，四边形为平行四边形； （3）解：如图，当第一次等于时，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，当第二次等于时，过点作交于点，过点作于点， ∵， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时： ①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由； ②请写出，之间的数量关系并说明理由； ③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________. 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②，理由见解析；③ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）证明，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）①连接，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，则是等腰直角三角形，即可得结论； ②证明，利用全等三角形性质即可得到； ③过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， ． ，， ， ， ． 四边形是平行四边形； （2）①，理由如下： 连接，如图所示： 由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，则， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ②，理由如下： 由上可知是等腰直角三角形， ∴，， ， ． ， ． ，， ， ， ． ③． 理由如下：过点作交于点，如图所示： ，， ， ， ． 四边形是平行四边形，， ． ，， ， ，， ， ， ． 在中，，则． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【考点八 与三角形中位线有关的求解问题】 例题：（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，，分别是的边，的中点，如果，则 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理，由题意可得是的中位线，由此计算即可得解． 【详解】解：∵，分别是的边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在中，，，，点分别平分线段，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，得出的长是解题关键．首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出的和长，再利用勾股定理得出的长，进而利用三角形中位线定理与性质得出的长． 【详解】解：∵， ∴， 在平行四边形中，，， ，， ∴， ∵点分别平分线段， 是的中位线， ∴． 故答案为：． 2．（2025·山东日照·一模）如图所示，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点分别为的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案． 【详解】点D、E分别为，的中点，点G、F分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； ， ， ， ， 为中点， 即线段的长度为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是 ． 【答案】 【知识点】分式乘方、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，图形的变化规律，根据三角形的中位线性质可得后一个三角形的周长是前一个三角形周长的，据此得到第n个三角形的周长为，把代入计算即可求解． 【详解】解：由题可得的周长为， ∵点、、分别是边、、的中点， ∴、、是的三条中位线， ∴的周长是， 同理，的周长是， ⋯， 以此类推，的周长是， ∴第2025个三角形的周长是， 故答案为：． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，．点、分别为线段、上的动点（含端点，但点不与点重合），点、分别为、的中点，则长度的最大值是 ． 【答案】6.5 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为N与B重合时最大，从而求得的最大值为6.5． 【详解】解：连接， ∵点、分别为、的中点， ∴， ∴是三角形的中位线 ∴， ∴最大时，最大， ∵N与B重合时最大， 此时， ∴的最大值为． 故答案为：6.5 【考点九 平行四边形与中位线综合问题】 例题：（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图， 中，点，分别是边，的中点，过点作 交的延长线于点， 连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时， 若 ，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握各项性质并灵活应用． （1）利用平行线的性质和中点的性质得出，再根据全等三角形的性质得出，进而利用平行四边形的判定定理即可得出答案； （2）利用相等的线段和中点，依据等腰三角形的三线合一得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∵点，分别是边，的中点， 是的中位线， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点是边的中点，， ， ∵，点是边的中点， ， 在中，由勾股定理得，， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． (1)求证：； (2)连接，为的中点，连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据四边形是平行四边形，得到，从而证明，进而得证； （2）根据三角形的中位线，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∴， ， ， 在和中， ，，， ， ； （2）解：∵点为的中点，， 是的中位线， ， ，． 2．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点，若，，，求，的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，的长为 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论； （）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，，再由勾股定理求出，，最后由平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明: ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵ ∴四边形为平行四边形； （2）解: 由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 即的长为． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，交于点O，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接、、，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，，． ，， 是的中位线， ，． 为的中点，， ，． ，． ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接、、， ，， ，． ∵， ． ∴四边形是平行四边形， ，． ， ∴， ∵， ∴． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的对角线相交于点O，平分，分别交于点． (1)试说明是等腰三角形； (2)连接，若，． ①求线段的长； ②求的面积． 【答案】(1)理由见解析 (2)①1；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）①依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可判断得解； ②由（1）是等腰三角形，又，从而是等边三角形，可得，结合，可得边上的高，又是的中位线，则，故的边上的高的边上的高，进而计算可以得解． 【详解】（1） 解：（1）平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2） ①由题意， 由（1）， 又， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ， 是的中位线， ， ②由（1）是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， 又 ， 边上的高， 是的中位线， ， ∴的边上的高的边上的高， 又， ． 【考点十 多边形内角和、外角和问题】 例题：（2025·广东清远·一模）一个多边形的内角和为，这个多边形的边数是 ． 【答案】5 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用，准确计算是解题的关键．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理得， ， 解得． 故答案为：5． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，这个正多边形是 边形． 【答案】八 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】此题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是掌握多边形的内角与外角是邻补角的关系． 首先设外角为，则内角为，根据内角与外角是邻补角的关系可得，再解方程可得外角度数，然后再用除以外角度数可得边数． 【详解】解：设外角为，则内角为，由题意得： ， 解得：， ， ∴这个正多边形为八边形． 故答案为：八． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知一个多边形的边数为n． （1）若，则这个多边形的内角和是 °； （2）若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则 ． 【答案】 540 8 【知识点】多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和公式以及多边形的外角和为是解本题的关键． （1）直接根据多边形内角和公式为求解即可； （2）根据多边形的外角和为，然后根据多边形内角和列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 所以这个多边形的内角和为； 故答案为：540 （2）由题意得，， 解得：， 故答案为：8． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键． 由多边形内角和定理得，整理得，则，即可得出结论． 【详解】解：由图2可知，， 整理得：， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如你从点出发，沿直线走10米后向左转度，接着沿直线前进10米后，再向左转度如此下去，当她第一次回到点时，发现自己走了100米，则的度数为 ． 【答案】/36度 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是是解决问题的前提，求出正多边形的边数是解决问题的关键．由“沿直线走10米后向左转度，接着沿直线前进10米后，再向左转度，当她第一次回到A点时，发现自己走了100米”可知这个多边形是正多边形且可求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是求出答案即可． 【详解】解：由题意可知，这个多边形是正多边形，边数为， 所以， 故答案为：． 【考点十一 多边形中的对角线问题】 例题：（24-25八年级下·上海·期中）正多边形的一个内角是，则这个多边形的对角线总数为 ． 【答案】20 【知识点】多边形对角线的条数问题、正多边形的外角问题 【分析】本题主要考查了多边形的外角与内角和对角线条数，解题关键是掌握任意多边形的外角和都等于． 先求出正多边形的一个外角度数，再根据多边形的外角和等于，即可求出这个多边形的边数，根据对角线条数公式即可求出对角线总数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∵多边形的外角和等于， ∴这个多边形的边数是， ∴对角线总数为 故答案为：20． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知一个正多边形每个内角都是，则这个正多边形共有 条对角线． 【答案】9 【知识点】多边形对角线的条数问题、正多边形的内角问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的对角线，熟记多边形内角和定理以及多边形对角线条数的计算公式是解题的关键． 先根据正多边形内角和定理求出其边数，再根据多边形的对角线条数公式计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 根据题意得，， 解得：， ∴正六边形共有条对角线， 故答案为：9． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）从一个多边形的一个顶点可以引出9条对角线，则这个多边形为 边形，内角和为 ． 【答案】 十二 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形对角线的条数问题，多边形内角和问题等知识点，熟练掌握多边形对角线的条数公式及多边形的内角和公式是解题的关键：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，边形共有条对角线；边形的内角和为． 由多边形对角线的条数公式及多边形的内角和公式即可直接得出答案． 【详解】解：从边形的一个顶点出发可以引条对角线， ， ， 边形的内角和为， 该多边形的内角和为：， 故答案为：十二，． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线最多可以画出的条数是 条． 【答案】9 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角与外角性质，对角线条数的求法，熟知多边形的外角和是是解题的关键．先计算多边形的边数，再求对角线的条数即可． 【详解】解：∵一个多边形每个外角都等于， ∴这个多边形的边数为， ∴从这个十二边形的某个顶点画对角线，最多可以画出条， 故答案为：9． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）若一个正多边形的一个外角是，则从这个正多边形的一个顶点出发，最多可以作 条对角线． 【答案】9 【知识点】多边形对角线的条数问题、正多边形的外角问题 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，多边形对角线条数问题，根据正多边形外角和为360度求出边数，再根据从n边形一个顶点出发最多可以作条对角线进行求解即可． 【详解】解：∵一个正多边形的一个外角是， ∴这个多边形的边数为， ∴从这个正多边形的一个顶点出发，最多可以作条对角线， 故答案为：9． 【考点十二 多边形中的截角问题】 例题：（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 故选：D． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】如图所示： 多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形； 另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形； 新的多边形的内角和可能是，或，或． 故选：D． 3．（23-24八年级上·重庆秀山·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为（   ）． A．6 B．6或7 C．6或8 D．6或7或8 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题主要考查了截一个多边形，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，据此画图利用数形结合的思想求解即可． 【详解】解：如图所示，六边形，七边形和八边形截去一个角后都可以形成七边形， ∴原多边形边数为6或7或8， 故选：D．    4．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（    ） A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12 或13 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1可得答案，理解截取一个角后多边形的边数的变化情况是解本题的关键． 【详解】解：设多边形截去一个角后的边数为n， 则， 解得， ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原来多边形的边数是11或12或13． 故选D． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 章节复习专题：平行四边形 目录 【考点一 利用平行四边形的性质求解】 3 【考点二 平行四边形的性质与判定多结论问题】 8 【考点三 利用平行四边形的性质求动点问题】 16 【考点四 平行四边形中的折叠问题】 21 【考点五 判断能否构成平行四边形】 29 【考点六 平行四边形中的作图】 32 【考点七 平行四边形中的性质和判定】 38 【考点八 与三角形中位线有关的求解问题】 47 【考点九 平行四边形与中位线综合问题】 50 【考点十 多边形内角和、外角和问题】 57 【考点十一 多边形中的对角线问题】 59 【考点十二 多边形中的截角问题】 61 知识点01 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 知识点02 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 知识点03 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 知识点04 三角形的中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） （2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 知识点05 多边形的概念、内角和、外角和 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【考点一 利用平行四边形的性质求解】 例题：（24-25八年级下·上海·期中）在中，若，则∠D为 度． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，则 ， ． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，中，，点E在的延长线上，，若平分，则 ． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）在中，是边上的高，，，且，则的面积为 4．（2025·江西九江·二模）在中，，，，点在上，，点在上，连接，是的中点．若是等腰三角形，则的长为 ． 【考点二 平行四边形的性质与判定多结论问题】 例题：（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（   ）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，点O是的对角线的交点，，的平分线交于点E，与交于点F，，连接．下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有 ． 【考点三 利用平行四边形的性质求动点问题】 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，且，，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以的速度向点A方向运动，点Q以的速度向点C运动，几秒后四边形是平行四边形（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图1，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（   ） A．18 B．24 C．30 D．36 2．（2024·河南周口·三模）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A． B． C．平行四边形的周长为44 D．当时，的面积为20 3．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，点F是上一个动点，以，为邻边作另一个，当F点由D点向C点运动时，下面给出四个结论： ①的面积先由小变大，再由大变小； ②的面积始终不变； ③线段的最小值为； ④． 其中说法正确的选项是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 4．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图（1），在中，，，动点从点出发，沿直线运动至点，再从点沿直线运动至点．设点运动的路程为，的面积为，图（2）是点运动时随变化的函数关系图象，则的长为（　　）    A．3 B．4 C． D．5 【考点四 平行四边形中的折叠问题】 例题：（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平行四边形中，点，分别为边，的中点，将平行四边形沿着折叠，点，分别落在，处，若，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（2024·河南·模拟预测）在平行四边形中，点为边的中点，将 沿折叠，使点落在点处，把纸片展平，延长与射线交于点． 若 ，，则线段 ． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为 ．    3．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）综合与实践 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P． 【观察发现】 （1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______． 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，请直接写出线段的长． 【考点五 判断能否构成平行四边形】 例题：（24-25八年级下·山东德州·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知四边形，下列条件能判断它是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·湖北随州·期中）如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形的对角线相交点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【考点六 平行四边形中的作图】 例题：（2025·广东广州·一模）如图，四边形为平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求线段的长． 【变式训练】 1．（2025·江西·模拟预测）如图，为内一点，请仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，平分，作的平分线； (2)在图2中，为任意一点，在内作线段，使平行且等于． 2．（24-25八年级下·四川广安·期中）根据要求作图． (1)如图1，平行四边形，点，分别在边，上，且，连接．求作线段中点（要求尺规作图，保留画图痕迹，不必说明理由）． (2)如图2，平行四边形，点在边上，请你在边上找一点，使得四边形为平行四边形．（要求尺规作图，保留画图痕迹，并证明四边形为平行四边形）． 3．（2025·浙江·二模）尺规作图问题： 如图，在中，P是对角线上一点，连结，请按要求完成下列问题： (1)用无刻度直尺和圆规在边上作点Q，连接，使得．（保留作图痕迹，不必写做法） (2)依据你的作图，请说明成立的理由．（要求写出推理过程） 4．（2025·宁夏银川·一模）如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本作图：在上截取．使．连接，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)请判断：四边形的形状并加以证明 【考点七 平行四边形中的性质和判定】 例题：（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，在中，F是的中点，延长到点E，使，连结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，的周长是12，求平行四边形的周长． 2．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，点是的中点，求平行四边形的面积． 3．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，，，，是中点，，动点以每秒个单位长的速度从点出发向点移动，连接并延长在交于点，点移动时间为秒． (1)求与间的距离； (2)为何值时，四边形为平行四边形； (3)直接写出为何值时，． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时： ①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由； ②请写出，之间的数量关系并说明理由； ③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________. 【考点八 与三角形中位线有关的求解问题】 例题：（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，，分别是的边，的中点，如果，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在中，，，，点分别平分线段，则的长为 ． 2．（2025·山东日照·一模）如图所示，在中，点，分别为，的中点，点在线段上，连接，点分别为的中点．若，则的长为 ． 3．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图，中，，，，点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第2025个三角形的周长是 ． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，．点、分别为线段、上的动点（含端点，但点不与点重合），点、分别为、的中点，则长度的最大值是 ． 【考点九 平行四边形与中位线综合问题】 例题：（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图， 中，点，分别是边，的中点，过点作 交的延长线于点， 连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时， 若 ，求的长． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． (1)求证：； (2)连接，为的中点，连接．若，求的长． 2．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点，若，，，求，的长． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，交于点O，若，，求的长度． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的对角线相交于点O，平分，分别交于点． (1)试说明是等腰三角形； (2)连接，若，． ①求线段的长； ②求的面积． 【考点十 多边形内角和、外角和问题】 例题：（2025·广东清远·一模）一个多边形的内角和为，这个多边形的边数是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，这个正多边形是 边形． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知一个多边形的边数为n． （1）若，则这个多边形的内角和是 °； （2）若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则 ． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如你从点出发，沿直线走10米后向左转度，接着沿直线前进10米后，再向左转度如此下去，当她第一次回到点时，发现自己走了100米，则的度数为 ． 【考点十一 多边形中的对角线问题】 例题：（24-25八年级下·上海·期中）正多边形的一个内角是，则这个多边形的对角线总数为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知一个正多边形每个内角都是，则这个正多边形共有 条对角线． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）从一个多边形的一个顶点可以引出9条对角线，则这个多边形为 边形，内角和为 ． 3．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线最多可以画出的条数是 条． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）若一个正多边形的一个外角是，则从这个正多边形的一个顶点出发，最多可以作 条对角线． 【考点十二 多边形中的截角问题】 例题：（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【变式训练】 1．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 3．（23-24八年级上·重庆秀山·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为（   ）． A．6 B．6或7 C．6或8 D．6或7或8 4．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（    ） A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12 或13 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$