专题04 整式的乘除（考题猜想，11大题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版2024）

专题04 整式的乘除（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 幂的混合运算 题型二 与幂有关的新定义问题 题型三 比较幂的大小 题型四 整式的混合运算 题型五 整式化简问题 题型六 与整式乘法有关的不含/无关型问题 题型七 多项式乘多项式与图形面积 题型八 多项式乘法中的规律性问题 题型九 用乘法公式简便运算 题型十 平方差公式与几何图形的应用 题型十一 完全平方公式在几何图形中的应用 题型一 幂的混合运算 1．（22-23六年级下·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方及单项式乘单项式，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方及单项式乘单项式是解题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算，然后再合并同类项； （2）利用幂的乘方及同底数幂的乘法可进行求解； （3）根据积的乘方及单项式乘单项式可进行求解； （4）根据同底数幂的乘法及幂的乘方可进行求解； （5）根据同底数幂的乘法可进行求解； （6）根据积的乘方及单项式乘单项式可进行求解． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5）. （6）． 2．（23-24六年级下·山东济宁·期中）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． (3)字母a，b，c之间的数量关系为________． 【答案】(1)25 (2)100 (3) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方可进行求解； （2）根据同底数幂的乘除法可进行求解； （3）由题意得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴； （3）解：，，， ∴， ∴； 故答案为． 3．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8) 【分析】（1）直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案； （2）先利用幂的乘方法则计算，再合并同类项计算得出答案； （3）先利用幂的乘方法则计算，再直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案； （4）先利用积的乘方法则计算，再合并同类项计算得出答案； （5）先利用积的乘方及同底数幂相乘的法则计算，再合并同类项计算得出答案； （6）根据单项式乘单项式的法则计算即可； （7）先根据零指数幂及负指数幂法则计算，再进行有理数运算即可。 （8）直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： 【点睛】此题主要考查了实数的运算、负指数幂、零次幂以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）（1）已知：，，求的值； （2）已知，，求的值． （3）若，求的值． （4）若，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算的逆运算，幂的乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）利用同底数幂的乘法运算的逆运算可得，再把条件变形整体代入计算即可； （2）利用同底数幂的除法运算的逆运算可得，再把条件变形整体代入计算即可； （3）把化为，再把条件变形整体代入计算即可； （4）由可得，再建立方程求解即可； 【详解】解：（1）∵，， ∴，即， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：. 题型二 与幂有关的新定义问题 5．（23-24六年级下·山东泰安·期末）新定义一种运算，其法则为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义下运算，幂的乘方，同底数幂的乘除运算，原式利用题中的新定义计算即可求出值．按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照幂的乘方，同底幂除法运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 7．（20-21七年级下·山东济南·期中）新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 【答案】32 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 题型三 比较幂的大小 8．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：； ；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请把a，b，c用“”连接起来； (2)若，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)200 (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘方，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小即可； （2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：， ∵， ∴原式； （3）解： ． 9．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则． （1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【详解】（1）∵，，， ∵， ∴； （2）∵，，， ∵， ∴． 题型四 整式的混合运算 10．（22-23六年级下·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除运算以及平方差公式和完全平方式，熟练掌握运算方法是解题的关键． （1）先乘方，再计算乘除，即可求解； （2）先根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则计算，再计算多项式除以单项式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3) (4) 【分析】本题是整式的混合运算，考查了积的乘方、幂的乘方法则，单项式的乘除法则，合并同类项法则、平方差公式和完全平方公式．计算时一定要注意运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减． （1）先算积的乘方，再利用单项式的乘除法则计算乘除即可． （2）先将化为，再利用平方差公式得结果，再进行加减计算即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行计算； （4）利用平方差公式进行计算． 【详解】（1）原式 ； （2） ； （3） ； （4）原式 ； 12．（23-24六年级下·山东淄博·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据平方差和完全平方公式进行展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（22-23六年级下·山东泰安·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据单项式乘以单项式，单项式除以单项式进行化简，然后合并同类项，即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解； （3）根据负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解； （4）根据整式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型五 整式化简问题 14．（22-23六年级下·山东济南·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式计算，再合并同类项化简后，把a的值代入求值即可． 【详解】解：原式， 当时 原式． 15．（23-24六年级下·山东烟台·期末）先化简再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)，3 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的灵活运用，化简求值，熟记运算法则与乘法公式是解本题的关键． （1）先利用乘法公式和多项式的乘法法则计算，根据零次幂和负整数指数幂计算求得和的值，再代入即可求解； （2）先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再整体代入数据计算即可． 【详解】（1）解： ， 又，， 所以，把，代入， 原式； （2）解： ， 又，得， 所以，原式． 16．（23-24六年级下·山东烟台·期中）先化简再求值： (1)，其中，． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算的法则及乘法公式是解决问题的关键． （1）利用整式的乘法展开，再合并同类项即可化简，把a与b的值代入计算即可求出值； （2）先利用乘法公式及整式的除法展开，再合并同类项即可化简，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ， 当，时，原式． 17．（23-24六年级下·山东威海·期中）（1）．（要求用乘法公式简便计算） （2）先化简，再求值：，其中． （3）有这样一道题：“化简求值：，其中．”小浩同学在解题时错误地把“”抄成了“”，但显示计算的结果也是正确的，你能解释一下这是怎么回事吗？ 【答案】（1）1；（2），；（3）见解析 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，平方差公式： （1）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂乘除法，再合并同类项，计算同底数幂除法化简，最后代值计算即可； （3）去括号，然后合并同类项对原式进行化简，然后根据化简结果进行分析解释． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式； （3） ， ∵化简后，原式结果为常数，与的取值无关， ∴小浩同学在解题时即便是错误地把“”抄成了“”，显示计算的结果也是正确的． 题型六 与整式乘法有关的不含/无关型问题 18．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论： 已知时，求代数式：的值． 小红 这道题与x无关，是可以解的． 小白 只知道y的值，没有告诉x的值，求不出答案． 根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？并求出代数式的值． 【答案】小红说得对，化简结果中不含x，所以值与x取值无关；代数式的值是 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的乘法公式是解决本题的关键．利用乘法法则化简给出的代数式，根据化简结果判断谁说得对并求值即可． 【详解】解：小红说得对． 理由： ． ∵化简结果中不含x，所以值与x取值无关． 所以小红说得对． 当时， 原式． 19．（23-24六年级下·山东烟台·期末）在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数； (2)如果计算所得多项式不含一次项，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据题中给定的方法计算即可； （2）根据题中给定的方法计算得到一次项系数为，若所得多项式不含一次项，则，由此求得a的值． 【详解】（1）解：根据题中的求法可知，所得多项式的一次项系数为： ， 所得多项式的一次项系数为：． （2）解： 所得多项式一次项系数为： ， 若所得的多项式不含一次项，那么一次项系数为0， ， ． 题型七 多项式乘多项式与图形面积 20．（23-24六年级下·山东烟台·期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 【答案】(1) (2)完成硬化共需要28000元． 【分析】本题考查了多项式的乘法混合运算，乘方的运算法则，完全平方公式的展开，结合图形准确列出阴影面积的代数式是解题关键． （1）硬化面积是大长方形的面积减去小正方形的面积； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）由图得，阴影面积为： ； （2）当时， 阴影面积为：（平方米），（元， 答：完成种植园共需要28000元． 21．（23-24六年级下·山东青岛·期末）某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地，划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是． 设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量： (1)B区的长是___________，宽是___________ ； (2)A区的种植面积是___________，C区的种植面积是___________； (3)若计划A区与B区的面积和是矩形空地面积的一半，那育苗区的边长为多少？ 【答案】(1)； (2)， (3)育苗区的边长为． 【分析】本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，区的长是：，宽为：； （2）根据题意，分别求出区和区的长与宽，再计算其种植面积即可； （3）根据题意，可列方程：，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，区的长是：，宽为：， 故答案为：；； （2）解：区的长为：，宽为：， 则区的种植面积是：， 区的长为：，宽为：， 则区的种植面积是：， 故答案为：；； （3）解：根据题意，得： ， 解得：， 答：育苗区的边长为． 22．（23-24六年级上·山东济南·期末）现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片和4张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，其周长分别为，． (1)请用含的式子分别表示，，当时，求的值； (2)请用含的式子分别表示，，当时，求的值． 【答案】(1)5； (2)2. 【分析】本题考查列代数，根据所给图形，用含的代数式表示出长方形的长和宽是解题的关键． （1）根据图2和图3中长方形的组成即可解决问题． （2）根据图2和图3中长方形的组成即可解决问题． 【详解】（1）由题知， 图2中长方形的长为，宽为， 所以； 图3中长方形的长为，宽为1， 所以； 则， 当时， ． （2）由（1）求出的长和宽可知， ， ， 所以， 当时， ． 23．（22-23六年级下·山东泰安·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1，可以得到．请解答下问题：    (1)写出图2中所表示的数学等式_______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)利用（1）中得结论直接写出的结果_______； (4)计算并画图说明结果的正确性．如同图1、图2在你画的图形中标上字母． 【答案】(1) (2) (3) (4)图见解析， 【分析】（1）从整体看正方形的边长为，因此可得到正方形的面积；再计算各部分面积的和； （2）将，代入（1）中的等式，即可求解； （3）根据（1）中的等式，即可解答； （4）构造边长为的正方形，再用两种方法表示图形面积即可． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形边长为， ∴大正方形的面积； 由图可知，图2由3个正方形，6个长方形组成， ∴大正方形面积， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知：， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得：， 故答案为：； （4）解：如图所示： 由图可知，大正方形边长为， ∴大正方形的面积； 由图可知，图2由5个正方形，4个长方形组成， ∴大正方形面积， ∴．    【点睛】本题考查了整式的乘法运算，多项式乘以多项式与图形面积，掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 题型八 多项式乘法中的规律性问题 24．（23-24六年级下·山东淄博·期中）在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x． 请参考上面的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______； (2)如果计算所得多项式不含一次项，则常数a的值是______； (3)如果，则的值是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； （3）根据给定的方法找出的一次项系数即可． 【详解】（1）解：所得多项式的一次项系数为： ； （2）根据题意，一次项系数， 即， 解得； （3）的一次项系数为： ， ， 25．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）观察下列各式： … (1)根据以上规律，则 ． (2)你能否由此归纳出一般性规律： ． (3)根据上述的规律，求的值． (4)根据上述的规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其规律问题，明确最后结果的最高指数比第二个括号中的最高指数多1，是解题的关键． （1）根据规律可得出结果； （2）由规律得出的指数为，即可得出答案； （3）将1写为，再根据规律计算即可； （4）根据规律分别计算和，再将原式分为两部分计算即可得出答案． 【详解】（1）由规律得：； 故答案为； （2）； 故答案为． （3） （4） ， ， ． 26．（22-23六年级下·山东东营·阶段练习）阅读下列式子： ， ， ， (1)_________； (2)根据你发现的规律，直接写出_______； (3)利用上述规律，计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察可知等式右边是按照x的降幂排列进行排列，其中最高次是等式左边被除数未知数x的次数减1，据此可得答案； （2）由（1）的规律可得，带入进行计算求解即可； （3）仿照（2）代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由（1）的规律可得， ∴当时，， ∴， 故答案为：； （3）由（1）的规律可得， ∴当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了多项式除以多项式，数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 27．（22-23六年级下·山东泰安·期中）教材49页《读一读》谈到：我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例：在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式，________； (2)的展开式中共有________项，所有项的系数和为________； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2)11，（或） (3) 【分析】（1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图即可得到答案； （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案； （3）利用（1）（2）的规律，可取，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示： ， 故答案为：； （2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示： 共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； …… 共项，所有项系数的和为， ∴共11项，所有项系数的和为， 故答案为：11，（或）； （3）解：由题意可知 ， ∴可取，即原式． 【点睛】本题考查找规律，读懂题意，找准规律是解决问题的关键． 题型九 用乘法公式简便运算 28．（23-24六年级下·山东淄博·期中）利用简便方法（公式）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法公式进行简便计算； （1）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 29．（22-23六年级下·山东东营·阶段练习）简便计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)6 【分析】（1）将原式改写成，然后利用平方差公式进行求解即可； （2）将原式改写成，然后利用平方差公式进行求解即可； （3）把原式改写成，然后利用完全平方公式进行求解即可； （4）先计算负整数指数幂，零指数幂，再把变形为，据此计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，负整数指数幂，零指数幂，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算等等，熟知相关计算法则是解题的关键． 30．（21-22六年级下·山东东营·期末）阅读例题的解答过程，并解答下列各题． 例：用简便方法计算． 解：   ①   ② ． (1)例题求解过程中，第②步变形的依据是_________； (2)用简便方法计算； (3)用简便方法计算． 【答案】(1)平方差公式 (2) (3)1 【分析】(1)根据平方差公式即可解答； (2)运用两次平方差公式的逆用即可求得答案； (3)根据平方差公式的逆用即可求得答案． 【详解】（1）解：   ①   ② 第②步变形的依据是：平方差公式， 故答案为：平方差公式； （2）解： ；、 （3）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式及其逆用，有理数的混合运算，熟练掌握和运用平方差公式及其逆用是解决本题的关键． 31．（2022·河北保定·模拟预测）在线上教学期间，张老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪分别将自己的计算过程上传给张老师，上传结果如下： 嘉嘉 琪琪 张老师经过批改，认为两名学生的作法都正确，并表扬琪琪同学的方法更简便．请根据上述材料计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1)8099 (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可． （2）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 … ． 【点睛】本题考查运用平方差公式进行运算，熟练掌握该知识点是解题关键． 题型十 平方差公式与几何图形的应用 32．（22-23六年级下·山东淄博·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：B； （2）①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 33．（22-23六年级下·山东淄博·期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．    (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含a、b的代数式表示：______，______（只需表示，不必化简）； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______； (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可； （2）根据（1）的结果，即可得到答案； （3）运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 故答案为：，； （2）解：以上结果可以验证乘法公式为：， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，利用面积公式表示出图形阴影部分面积是解题的关键． 34．（23-24六年级下·山东烟台·期中）已知，如图1所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)图2中的阴影部分面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式） 图3中的阴影部分面积可表示为 ；（写成两数平方的差的形式） (2)比较图2和图3的阴影部分的面积可以得到的等式是（    ） A.   B.  C. (3)请利用你得到的等式解决下面的问题：． ① 若，，则的值为 ； ②计算： ③的结果的个位数字为 ． 【答案】(1)； (2)B (3)①；②；③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景以及数字的变化规律， （1）根据图形面积计算方法可得答案， （2）由（1）可得等式； （3）①根据平方差公式可得答案； ②根据平方差公式进先计算即可求解； ③根据平方差公式进行计算，进而找到的个位数字的规律，即可求解． 【详解】（1）解：图2中长方形的长为，宽为，因此面积为， 图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 故答案为：； （2）解：由（1）得； 故选：B； （3）解：①因为，所以， 又因为， 所以； 故答案为：． ② ③原式 ＝…… ； 而……，其个位数字，，，，重复出现，而＝，于是、、、经过次循环， 因此的个位数字为， 故答案为：． 题型十一 完全平方公式在几何图形中的应用 35．（23-24六年级下·山东淄博·期末）【阅读思考】 若已知x满足，要求的值． 我们可以假设，， 则根据题意我们可以得到等式， 同时，， 所以，． 【理解尝试】 若x满足，请仿照上面的方法，求代数式的值． 【拓展应用】 如图，正方形的边长为x，E，F分别是边上的点，且，，长方形的面积为12，分别以为边作正方形和正方形．求正方形和正方形的面积之和（即阴影部分的面积）． 【答案】【理解尝试】10；【拓展应用】25． 【分析】根据题意，利用完全平方公式进行计算即可，本题主要考查完全平方在几何图形中的应用，采用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】解： 设，， 则根据题意，得， 因为，， 所以， ， 所以，代数式的值为10； 【拓展应用】因为，正方形的边长为，且，， 所以，，， 所以，， 设，， 则根据题意，得， 因为，， 所以， ， 所以，正方形和正方形的面积之和为25． 36．（23-24六年级下·山东泰安·期中）几何直观是初中数学的核心素养之一，几何图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决几何图形问题． 如图①长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形． (1)请由图②直接写出，，之间的一个等量关系式； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)两个正方形，如图③摆放，边长分别为，，若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，数形结合是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得，结合，，即可求解； （3）结合图形可得，，结合，可得，进而得到，可求出，最后根据利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】（1）解：，，之间的等量关系是： （形式可以变换）； （2）根据（1）中的结论得：， ，， ， ， ； （3）四边形，为正方形，且边长分别为，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ． 37．（23-24六年级下·山东淄博·期中）有两个正方形A，B，其边长分别为a，b（），现将B放在A的内部，得到图1，将A，B并列放置后构造新的正方形，得到图2．    (1)图1中的阴影部分面积为：______，图2中的阴影部分面积为：______；（分别用含有a，b的代数式表示） (2)若图1、图2中阴影部分的面积分别为1和，则正方形A，B的面积之和为______； (3)小明想拼一个长、宽分别为与的长方形，除需要若干个正方形A，B之外，还需要长、宽分别为a，b的长方形______个； (4)在（2）的条件下，若将3个正方形A和2个正方形B如图3摆放构造新的正方形，则阴影部分的面积是______． 【答案】(1)， (2) (3)7 (4) 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，平方差公式，多项式乘以多项式等知识．熟练掌握完全平方公式在几何中的应用，平方差公式，多项式乘以多项式是解题的关键． （1）由题意知，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，整理后作答即可； （2）由题意知，，，根据正方形A，B的面积之和为，代值求解即可； （3）由题意知，，由，作答即可； （4）由题意知，，，，则，可求，，根据，代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为， 故答案为：，； （2）解：由题意知，，， ∴正方形A，B的面积之和为， 故答案为：； （3）解：由题意知，， ∵， ∴还需要长、宽分别为a，b的长方形7个， 故答案为：7； （4）解：由题意知，，，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． $$专题04 整式的乘除（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 幂的混合运算 题型二 与幂有关的新定义问题 题型三 比较幂的大小 题型四 整式的混合运算 题型五 整式化简问题 题型六 与整式乘法有关的不含/无关型问题 题型七 多项式乘多项式与图形面积 题型八 多项式乘法中的规律性问题 题型九 用乘法公式简便运算 题型十 平方差公式与几何图形的应用 题型十一 完全平方公式在几何图形中的应用 题型一 幂的混合运算 1．（22-23六年级下·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) (4) (5) (6)． 2．（23-24六年级下·山东济宁·期中）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． (3)字母a，b，c之间的数量关系为________． 3．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）（1）已知：，，求的值； （2）已知，，求的值． （3）若，求的值． （4）若，求m的值． 题型二 与幂有关的新定义问题 5．（23-24六年级下·山东泰安·期末）新定义一种运算，其法则为，则 ． 6．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 7．（20-21七年级下·山东济南·期中）新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 题型三 比较幂的大小 8．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：； ；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请把a，b，c用“”连接起来； (2)若，求的值； (3)化简：． 9．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 题型四 整式的混合运算 10．（22-23六年级下·山东烟台·期中）计算： (1) (2) 11．（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（23-24六年级下·山东淄博·期末）计算： (1)； (2)． 13．（22-23六年级下·山东泰安·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 整式化简问题 14．（22-23六年级下·山东济南·期中）先化简，再求值：，其中 15．（23-24六年级下·山东烟台·期末）先化简再求值： (1)，其中 (2)，其中 16．（23-24六年级下·山东烟台·期中）先化简再求值： (1)，其中，． (2)，其中，． 17．（23-24六年级下·山东威海·期中）（1）．（要求用乘法公式简便计算） （2）先化简，再求值：，其中． （3）有这样一道题：“化简求值：，其中．”小浩同学在解题时错误地把“”抄成了“”，但显示计算的结果也是正确的，你能解释一下这是怎么回事吗？ 题型六 与整式乘法有关的不含/无关型问题 18．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论： 已知时，求代数式：的值． 小红 这道题与x无关，是可以解的． 小白 只知道y的值，没有告诉x的值，求不出答案． 根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？并求出代数式的值． 19．（23-24六年级下·山东烟台·期末）在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数； (2)如果计算所得多项式不含一次项，求a的值． 题型七 多项式乘多项式与图形面积 20．（23-24六年级下·山东烟台·期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 21．（23-24六年级下·山东青岛·期末）某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地，划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是． 设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量： (1)B区的长是___________，宽是___________ ； (2)A区的种植面积是___________，C区的种植面积是___________； (3)若计划A区与B区的面积和是矩形空地面积的一半，那育苗区的边长为多少？ 22．（23-24六年级上·山东济南·期末）现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片和4张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，其周长分别为，． (1)请用含的式子分别表示，，当时，求的值； (2)请用含的式子分别表示，，当时，求的值． 23．（22-23六年级下·山东泰安·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1，可以得到．请解答下问题：    (1)写出图2中所表示的数学等式_______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)利用（1）中得结论直接写出的结果_______； (4)计算并画图说明结果的正确性．如同图1、图2在你画的图形中标上字母．   题型八 多项式乘法中的规律性问题 24．（23-24六年级下·山东淄博·期中）在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x． 请参考上面的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______； (2)如果计算所得多项式不含一次项，则常数a的值是______； (3)如果，则的值是______． 25．（23-24六年级下·山东济南·阶段练习）观察下列各式： … (1)根据以上规律，则 ． (2)你能否由此归纳出一般性规律： ． (3)根据上述的规律，求的值． (4)根据上述的规律，求的值． 26．（22-23六年级下·山东东营·阶段练习）阅读下列式子： ， ， ， (1)_________； (2)根据你发现的规律，直接写出_______； (3)利用上述规律，计算． 27．（22-23六年级下·山东泰安·期中）教材49页《读一读》谈到：我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例：在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式，________； (2)的展开式中共有________项，所有项的系数和为________； (3)利用上面的规律计算：． 题型九 用乘法公式简便运算 28．（23-24六年级下·山东淄博·期中）利用简便方法（公式）计算： (1)； (2)． 29．（22-23六年级下·山东东营·阶段练习）简便计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 30．（21-22六年级下·山东东营·期末）阅读例题的解答过程，并解答下列各题． 例：用简便方法计算． 解：   ①   ② ． (1)例题求解过程中，第②步变形的依据是_________； (2)用简便方法计算； (3)用简便方法计算． 31．（2022·河北保定·模拟预测）在线上教学期间，张老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪分别将自己的计算过程上传给张老师，上传结果如下： 嘉嘉 琪琪 张老师经过批改，认为两名学生的作法都正确，并表扬琪琪同学的方法更简便．请根据上述材料计算下列各题． (1)； (2)． 题型十 平方差公式与几何图形的应用 32．（22-23六年级下·山东淄博·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 33．（22-23六年级下·山东淄博·期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．    (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含a、b的代数式表示：______，______（只需表示，不必化简）； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______； (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 34．（23-24六年级下·山东烟台·期中）已知，如图1所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)图2中的阴影部分面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式） 图3中的阴影部分面积可表示为 ；（写成两数平方的差的形式） (2)比较图2和图3的阴影部分的面积可以得到的等式是（    ） A.   B.  C. (3)请利用你得到的等式解决下面的问题：． ① 若，，则的值为 ； ②计算： ③的结果的个位数字为 ． 题型十一 完全平方公式在几何图形中的应用 35．（23-24六年级下·山东淄博·期末）【阅读思考】 若已知x满足，要求的值． 我们可以假设，， 则根据题意我们可以得到等式， 同时，， 所以，． 【理解尝试】 若x满足，请仿照上面的方法，求代数式的值． 【拓展应用】 如图，正方形的边长为x，E，F分别是边上的点，且，，长方形的面积为12，分别以为边作正方形和正方形．求正方形和正方形的面积之和（即阴影部分的面积）． 36．（23-24六年级下·山东泰安·期中）几何直观是初中数学的核心素养之一，几何图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决几何图形问题． 如图①长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形． (1)请由图②直接写出，，之间的一个等量关系式； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)两个正方形，如图③摆放，边长分别为，，若，，求图中阴影部分面积和． 37．（23-24六年级下·山东淄博·期中）有两个正方形A，B，其边长分别为a，b（），现将B放在A的内部，得到图1，将A，B并列放置后构造新的正方形，得到图2．    (1)图1中的阴影部分面积为：______，图2中的阴影部分面积为：______；（分别用含有a，b的代数式表示） (2)若图1、图2中阴影部分的面积分别为1和，则正方形A，B的面积之和为______； (3)小明想拼一个长、宽分别为与的长方形，除需要若干个正方形A，B之外，还需要长、宽分别为a，b的长方形______个； (4)在（2）的条件下，若将3个正方形A和2个正方形B如图3摆放构造新的正方形，则阴影部分的面积是______． $$