精品解析：江苏省无锡市青山高级中学2024-2025高二下学期期中考试数学试卷

无锡市青山高级中学 2025年春学期高二数学期中考试试卷 命题：谢柳柳 审卷：丁利娟 2025年4月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或3 2. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 3. 在的展开式中，的系数是（ ） A. B. C. 20 D. 80 4. 2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲､乙､丙､丁､戊､己共6名同学进行数学文化知识比赛，决出第1名到第6名的名次.甲､乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名.”对乙说：“你和丙的名次是相邻的.”从对这两人回答分析，这6人的名次排列的所有可能不同情况有（ ）种. A 144 B. 156 C. 168 D. 192 7. 已知函数，若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钓着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，若从顶端投入1024粒小球，则落入3号格子的小球的均值为（ ） A. 93 B. 120 C. 210 D. 300 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有项选错得0分． 9. 已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（ ） -2 1 3 A. B. C. D. 10. 某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C D. 11. 对于函数，下列结论正确（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 一质点的运动方程为（s的单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为________. 13. 展开式中的系数为________． 14. 已知函数有三个不同的零点，其中则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答． （1）从中选出1名男生和3名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生必须站一起； （3）全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾． 16. 已知，求解： （1）； （2）； （3）． 17 已知函数． （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若在上有解，求实数的取值范围． 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 19. 已知函数 （1）当 时，求曲线 )在点处的切线方程; （2）讨论函数的单调性； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市青山高级中学 2025年春学期高二数学期中考试试卷 命题：谢柳柳 审卷：丁利娟 2025年4月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数公式的性质求解即可. 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：D. 2. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性计算即可求解. 【详解】由题意得， 由正态曲线的对称性知， 所以． 故选：C 3. 在的展开式中，的系数是（ ） A. B. C. 20 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】先求出展开式中的通项，再求出值即可． 【详解】展开式中的通项公式为： ， 令，则， 展开式中的系数为， 故选：D． 4. 2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析“莎头”组合以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜，利用二项分布的概率公式计算可得. 【详解】“莎头”组合再次以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜， 所以“莎头”组合再次以获胜的概率. 故选：B 5. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果. 【详解】由可得， 令可得，即. 故选：D 6. 甲､乙､丙､丁､戊､己共6名同学进行数学文化知识比赛，决出第1名到第6名的名次.甲､乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名.”对乙说：“你和丙的名次是相邻的.”从对这两人回答分析，这6人的名次排列的所有可能不同情况有（ ）种. A. 144 B. 156 C. 168 D. 192 【答案】C 【解析】 【分析】分丙排第一名和不是第一名讨论，结合捆绑法进行求解. 【详解】依题意，甲､乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻， 当丙是第一名时，则第二名肯定是乙，则共有种不同名次排列情况； 当丙不是第一名时，甲､乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻， 则共有种不同名次排列情况， 故共有种不同名次排列情况. 故选：C 7. 已知函数，若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为在上恒成立，然后分离参数，转化为恒成立，然后求导即可得到其范围，从而得到结果. 【详解】由可得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即，即恒成立， 令，则， 当时，，则单调递增， 所以， 所以，即. 故选：D 8. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钓着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，若从顶端投入1024粒小球，则落入3号格子的小球的均值为（ ） A. 93 B. 120 C. 210 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，从而求得小球落入第三个格子的概率，再计算均值即可》 【详解】由于小球是等概率的向左或向右下落，则最后落入格子的号码数， 所以， 又1024个小球落入第三个格子的球数， 所以，即落入第三个格子的球数均值为120. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有项选错得0分． 9. 已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（ ） -2 1 3 A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分布列的性质求得，再依次计算期望、方差、概率. 【详解】对于，由分布列的性质可得，解得，故错误； 对于，故B正确； 对于 ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10. 某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据组合数的定义，结合题意，利用分步乘法原理以及分类加法原理，结合古典概型以及条件概率，可得答案. 【详解】由题意，总情况数为， 符合事件的情况有先选定男生甲，再从剩下的人种选出人，则情况数为， 所以， 对于事件“男生甲被选定，且男生乙和女生丙至少一个被选中”， 符合事件的情况有 ①先选定男生甲，再选定男生乙， 最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为， ②先选定男生甲，再选定女生丙， 最后再除男生甲乙与女生丙之外的人中选出人，则情况数为， ③先选定男生甲，再选定男生乙与女生丙，则情况数为， 所以， 对于事件，易知其对立事件“男生乙与女生丙都不选”， 则事件的情况有从除男生乙与女生丙之外人选人，则情况数为， 所以， 由条件概率公式可得． 故选：ACD． 11. 对于函数，下列结论正确的（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得到的单调区间，可判定A正确；根据的单调性，结合当时，，当时，，画出的图象，可判定B错误；根据的单调性，得到，结合，可判定C正确；转化为在恒成立，令，求得，得到函数的单调性与，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，所以A正确； 当时，，当时，， 则函数的图象，如图所示， 所以函数有且仅有一个零点，所以B错误； 由函数的图象，可得， 因为，所以，所以C正确； 若在恒成立，则在恒成立， 令，可得， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以D正确 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 一质点的运动方程为（s的单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为________. 【答案】12 【解析】 【分析】先求得，进而求得瞬时速度. 【详解】因为质点的运动方程为，所以， 所以当时的瞬时速度为. 故答案为： 13. 展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用的二项展开式的通项公式，可求的系数. 【详解】因为展开式通项， 所以展开式中项为： ， 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 已知函数有三个不同零点，其中则的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】令，则原函数会转化为关于的一元二次方程的根，通过韦达定理确定根的情况，同时研究内层函数的图象，数形结合研究零点的范围. 【详解】设， ， 当时，； 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且时，；时，， ∴， 作出的图象，如图 要使有三个不同的零点，其中 令，则需要有两个不同的实数根（其中） 可得， ∵，∴，则 ∴，则，且 ∴， 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：数形结合的思想来确定零点所在的区间，以及零点之间的关系，再利用韦达定理化简进而求得结果。 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答． （1）从中选出1名男生和3名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生必须站一起； （3）全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）从男生中任选1名有种选法，从女生中任选3名有种选法，再将4个人全排列即可求解； （2）利用捆绑法即可求解 （3）先安排甲，再全排列即可求解， 小问1详解】 从3名男生中任选1名有种选法，从4名女生中任选3名有种选法， 再将选取的4人全排列有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法． 【小问2详解】 将3个男生看作一个整体，然后与4个女生全排有种， 再将3个男生全排列有种，由分步乘法计数原理可得共有种排法． 【小问3详解】 乙站在排尾，对于甲有种排法，其他人有种排法， 由分步乘法计数原理可得共有种排法． 16. 已知，求解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用赋值法，令、求得、的值，即可求值； （2）问题化为求的系数和，再利用赋值法求值； （3）对已知等式两边求导，再利用赋值法求值. 【小问1详解】 令，得①． 令，得②， 由①②，得， . 【小问2详解】 求，即相当于求二项式的系数和， 令，得． 【小问3详解】 因为， 两边分别求导，得， 令，得． 17. 已知函数． （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若在上有解，求实数取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）不等式变形为在上有解，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【小问1详解】 当时，，所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； 【小问2详解】 在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】（1）分布列见解析，1 （2）（ⅰ）；（ⅱ）1100 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解； （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望． 【小问2详解】 （ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 19. 已知函数 （1）当 时，求曲线 )在点处的切线方程; （2）讨论函数的单调性； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. （2）利用导数，讨论，求出的单调区间作答. （3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答. 【小问1详解】 当时，函数， 求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程是. 小问2详解】 ， 当时，，恒成立，函数在定义域单调递减； 当时，由，可得：，由，可得， 所以在单调递减，在单调递增； 综上：当时，在定义域单调递减，无增区间， 当时，在单调递减，在单调递增； 【小问3详解】 ，， 令，求导得， 由（2）知，在上单调递增，，， 因此存在唯一，使得，即， 当时，，即，当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，则， 所以整数的最大值是3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$