第23天 搞定概率统计（解答题）综合计算（4考点32题）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第23天-搞定概率统计（解答题）综合计算 第23天寄语： 不必纠结能考多少分，专注能提多少分。 识·必备知识 1．离散型随机变量定义 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 4．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 5. 独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算 公式 Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，继而求得概率． 6. 两点分布 X 0 1 P 1－p p 这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率． 7. 超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 8. 正态分布 正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826； (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544； (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974. 明·直击考点 序号 考点 考点01 独立性检验 考点02 回归方程 考点03 正态分布 考点04 分布列及期望方差 练·抢分演练 一、独立性检验 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：    品牌 性别 男性 15 30 女性 30 25 (1)根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)； (2)根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联. 【分析】（1）根据表格数据，应用古典概型的概率求法求概率即可； （2）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论. 【详解】（1）由表格数据知，女性消费者偏好品牌的概率； （2）列联表如下，    品牌 性别 男性 15 30 45 女性 30 25 55 45 55 100 由题设，， 所以根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联. 2．（2025·湖南湘潭·三模）为了解正在研发的新产品在18~22岁和23~27岁两个年龄段青年群体中的受众面，某科技公司发布问卷调查，回收整理了400份问卷并整理数据，得到如下列联表： 感兴趣 不感兴趣 合计 18~22岁 160 40 200 23~27岁 s 70 t 合计 290 110 400 (1)求表中s，t的值； (2)分别计算18~22岁和23~27岁青年群体对新产品感兴趣的频率； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为对新产品感兴趣与青年的年龄段有关？ 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)，     (2)18~22岁青年群体对新产品感兴趣的频率为， 23~27岁青年群体对新产品感兴趣的频率为 (3)认为对新产品感兴趣与青年的年龄段有关 【分析】（1）完善列联表； （2）根据古典概型即可求解； （3）计算卡方，利用独立性检验的思想即可求解. 【详解】（1）由列联表可得，         ． （2）由题意可得18~22岁青年群体对新产品感兴趣的频率为：，     23~27岁青年群体对新产品感兴趣的频率为：． （3）零假设为：对新产品感兴趣与青年的年龄段无关联． 因为，     则根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对新产品感兴趣与青年的年龄段有关． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)分布列见解析， (2)答案见解析 【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； （2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【详解】（1）样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为， 按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人， 所以随机变量的所有取值为. 则 ， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以. （2）提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 4．（2025·湖南·一模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． (1)请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)表格见解析，与性别有关联 (2)分布列见解析，2 【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算公式即可求解； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，由已知可得服从超几何分布，计算概率写出分布列，最后计算数学期望. 【详解】（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人， 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人， 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 零假设为：学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢哪吒角色与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于； （2）由题意，按分层随机抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为， 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数， 所以的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 5．（2025·江苏盐城·三模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关 (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算即可求解； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合服从超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望. 【详解】（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 根据列联表中的数据，计算可得 ，故没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. （2）由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为. 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则， ， . 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 6．（2025·河北沧州·模拟预测）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为DeepSeek的使用情况与学历无关 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； （2）（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可； （ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； （2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， ， ， ， 比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30， 则， ， ， 所以比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束时乙恰好答对一道题”， ， 则， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为． 二、回归方程 7．（2025·云南曲靖·二模）自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目，旗下一款机器人Unitree Aliengo在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出机器人Unitree Aliengo在某地区2024年1月至5月的销售量如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/台 26 37 50 64 93 (1)经计算样本的相关系数，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数的分布列和数学期望． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 【答案】(1) (2)的分布列见解析，数学期望为1.2 【分析】（1）由线性回归方程，分别计算各部分的值，代入公式求解即可； （2）先计算各组数据的残差，再结合超几何分布，得到所有取值的概率，从而得到分布列和数学期望. 【详解】（1）由表格可得，，， ，， 所以，， 故y关于x的经验回归方程是. （2）当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为； 当时，，残差的绝对值为. 所以“次数据”为第四组和第五组共两组数据. 故“次数据”对数的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列如下： 0 1 2 的数学期望. 8．（2025·辽宁·模拟预测）某公司统计了该公司销售部员工工龄（单位：年）与一年中的月均销售额（单位：万元）的数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 15.1 4.84 24.2 94.9 155.5 82.5 表中. (1)由散点图知，可用经验回归方程拟合y与x的关系，试根据提供的有关数据，预测月均销售额超过20万元的工龄最小值； (2)该公司为激励销售部员工，规定每月的销售冠军奖励1万元，其他名次无奖励.甲为该公司销售部的员工，他在第一季度（每年的前3个月）的第一个月成为销售冠军的概率为，从第二个月开始，若上个月不是销售冠军，则这个月为销售冠军的概率为；若上个月为销售冠军，则这个月仍为销售冠军的概率为.求他在第一季度所得奖励金额X的分布列和数学期望. 附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，，，，，. 【答案】(1)12 (2)分布列见解析，0.87 【分析】（1）设，则，计算出、的值，将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出关于的经验回归方程，进而得到关于的经验回归方程，根据提供的数据即可得解； （2）确定随机变量取值，计算出随机变量在不同取值下的概率，得出随机变量的分布列，进而运用期望公式可求解. 【详解】（1）设，则，则， ， 因为，， 所以经验回归方程为， 因为，，在区间内单调递增， 所以预测月均销售额超过20万元的工龄最小值为12. （2）由题意得的可能取值为0，1，2，3， 记甲在第一季度的第月成为销售冠军为事件， 则， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 ， 所以甲在第一季度所得奖励金额的数学期望为0.87万元. 9．（2025·山东济南·二模）每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， (1)根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ (2)根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 【答案】(1)应选模型②； (2)，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 【分析】（1）根据已知求得，结合已知及相关系数公式求相关系数，即可得结论； （2）应用最小二乘法求回归方程，再将代入预测第6天种子的胚芽长度. 【详解】（1）由题设，，所以， 所以，故应选模型②； （2）令，则求出线性回归方程， 所以，， 所以， 所以， 又，则，故， 所以回归方程为，故，有厘米， 所以，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 10．（2025·广西·三模）我国广西某自然保护区分布着国家一级保护动物白头叶猴，为了研究空气质量与白头叶猴分布数量的相关性，将该保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中20个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某空气指标和区域内白头叶猴分布的数量，得到数组.已知，，. (1)求样本的相关系数； (2)假设白头叶猴的寿命为随机变量（可取任意正整数）.研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.05，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”. ①求的表达式； ②推导白头叶猴寿命期望的值. 附：相关系数. 【答案】(1)0.75 (2)①；②20 【分析】（1）将对应数值代入相关系数公式求解即可； （2）①由已知得，则，类比已知数列递推公式求数列通项公式的方法作差求，得，从而根据等比数列的通项公式写出的表达式. ②设，利用错位相减法求出，再代入求极限即可. 【详解】（1） （2）①已知对于任意的，， ， ，   ① 当时，，   ② 两式相减可得：，， 又，所以 ②设， ， 两式相减得： ，所以， 所以白头叶猴寿命期望. 三、正态分布 11．（2025·河南·三模）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频数总和为样本总数的性质来求解和的值. （2）先根据分层随机抽样确定抽取的10人中成绩在内的人数，再确定的取值，通过组合数公式计算每个取值的概率，进而得到分布列和期望. （3）先根据正态分布的参数求出和，再利用正态分布的性质和参考数据计算成绩在内的概率，最后根据总人数估计该区间内的学生人数. 【详解】（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程，化简得. 又因为，将其代入，可得，即，解得. 把代入，可得. （2）计算分层抽样后成绩在内的人数：成绩在内的频数为人.从100人中抽取10人， 根据分层抽样的性质，抽取的10人中成绩在内的人数为人，那么成绩不在内的人数为人. 表示抽到的人中成绩在内的人数，所以的可能取值为，，，，. 计算取各个值的概率： . . . . .   列出的分布列： 可得. （3）已知，则，. ，. . 今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在内的学生人数约为人. 12．（2025·江西·二模）DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X). 参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973. 【答案】(1) (2)317 (3)分布列见解析 【分析】（1）应用对立事件概率及独立事件概率乘积公式计算求解； （2）应用正态分布性质计算概率； （3）先根据独立事件概率乘积公式计算概率，再写出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C， 则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率 （2）由已知得μ的近似值为90，σ的近似值为3， 所以 而， 所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317. （3）X的所有可能取值为0，800，1600，2400， 所以X的分布列为 x 0 800 1 600 2 400 P 13．（2025·辽宁·模拟预测）人工智能（Artificial  Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量.近几年以来，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客对AI手机的满意程度，M市某手机大卖场从购买了AI手机的顾客中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度得分Z（单位：分）制作了如下的频数分布表： 分组（单位：分） 频数 10 15 20 30 15 10 (1)若该手机大卖场中某手机店经销A，B两种品牌的手机，A品牌中AI手机占比为，B品牌中AI手机占比为，A，B品牌手机的数量之比是2:1，现从该手机店中随机抽取一部手机，求抽取到的手机是AI手机的概率； (2)为提升AI手机的销量，该手机大卖场针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励600元、300元现金，抽中一、二等奖的概率分别为，，其余情况不获得奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖结果相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位购买了AI手机的顾客获得的总奖金为X元，求X的分布列和数学期望； (3)由频数分布表可以认为从手机大卖场购买AI手机的顾客对AI手机的满意度得分Z近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.现将满意度得分Z超过84.81分的顾客对AI手机的态度定义为“非常满意”.若某月该手机大卖场共有1万名顾客购买了AI手机（每人一部），记为这些顾客中对AI手机“非常满意”的人数，事件“”的概率为，求使取最大值时的值. 参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，. 【答案】(1) (2)分布列见解析；（元） (3) 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）的可能取值为0，300，600，900，1200， 根据独立事件和互斥事件的概率公式依次求出概率，并列出其分布列； （3）先根据频数分布表求出，再根据正态分布求出每位顾客中对AI手机“非常满意”的概率，即可利用二项分布求出，再利用求解即可. 【详解】（1）记“抽取到的手机是A品牌手机”为事件，“抽取到的手机是B品牌手机”为事件， “抽取到的手机是AI手机”为事件B， 则，，，， 则， 则从该手机店中随机抽取一部手机，抽取到的手机是AI手机的概率为. （2）由题意可得，不获得奖金的概率为， 的可能取值为0，300，600，900，1200， ，， ， ，， 则的分布列为 0 300 600 900 1200 所以（元）. （3）样本平均数， 随机选1名顾客，其对AI手机“非常满意”的概率 ， 依题意，记，， 则， 则问题等价于求当取何值时，取得最大值. 由，得， 化简得， 得，即， 因，得， 即当时，取得最大值. 四、分布列及期望方差 14．（2025·江苏·三模）已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成． (1)先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率； (2)在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为3 【分析】（1）根据全概率公式即可计算结果. （2）由题意可知的取值为1，3，5，然后求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望． 【详解】（1）设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生” 则 （2），从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队,X的可能取值为1、3、5， 则,, 故的分布列为： X 1 3 5 P 数学期望为 15．（2025·陕西西安·模拟预测）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰，某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，，，且3道题目答对与否互不影响. (1)设X表示这20人中晋级的人数，求； (2)记这20人中人晋级的概率为，求取得最大值时k的取值. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）求解答对2、3题的概率可得每人晋级的概率，再根据二项分布的数学期望求解即可； （2）根据二项分布公式，结合取得最大值则满足，列不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，晋级需要答对2题或3题， 答对2题的概率. 答对3题的概率. 故每人晋级的概率为. 故. （2）由（1）可得，每人晋级的概率均为， 故， 则，， 当时，取得最大值则满足， 即， 故，即， 故，即，解得， 又，故，即取得最大值时k的取值为12. 16．（2025·安徽·模拟预测）某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． (1)求该运动员第二次投篮命中的概率； (2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； (3)设第次投篮命中的概率为，求证：． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)证明见解析 【分析】（1）设事件“第次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可； （2）由题意的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可； （3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可. 【详解】（1）设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，， 易知与是互斥事件， 所以由全概率公式得 该运动员第二次投篮命中的概率为． （2）由题意得，， 的所有取值为0,1,2， , 所以的分布列为 0 1 2 …… 所以． （3）由题意得，； 当时， 即， 变形为，所以数列是以为公比的等比数列， 又，于是， 即，所以． 17．（2025·湖南·三模）某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 7 10 米色内饰 3 5 (1)若小明从这些模型中随机抽取一个模型，记事件为抽到的模型为红色外观，事件为抽到的模型是米色内饰，求，并据此判断事件是否相互独立； (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中一次性抽两个汽车模型，根据这两个汽车模型的外观和内饰颜色确定奖金：若外观异色且内饰异色，则奖励600元，若外观同色且内饰同色，则奖励300元，若仅外观同色或仅内饰同色，则奖励150元，设一次抽奖的奖金为元，求的分布列与期望. 【答案】(1)，，不相互独立 (2)分布列见解析，287 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求出、、，再由条件概率公式求出，最后根据相互独立事件的定义判断即可； （2）依题意的所有可能取值为，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望. 【详解】（1）红色外观共有（个），， 米色内饰共有（个），， 是红色外观且是米色内饰的有个，， ， ，、不相互独立. （2）由题意知的所有可能取值为， 且， ， ， 的分布列为 600 300 150 . 18．（2025·河南郑州·三模）某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警报与服务器状态（正常/故障）高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下： 触发警报时状态分布 未触发警报时状态分布 正常 25台 正常 450台 故障 475台 故障 50台 运维单台服务器时，可选操作及经济损失（单位：千元）如下： 状态/操作 保持运行 快速诊断 深度检修 正常 0 1 3 故障 10 4 6 假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立． (1)若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率； (2)某次维护中，发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器．现有三种操作方案： 方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行； 方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行； 方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断． 从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案更优． 【答案】(1) (2)方案乙更优. 【分析】（1）根据条件概率公式计算； （2）分别计算三种方案下总经济损失的期望，然后比较大小. 【详解】（1）设服务器触发警报时其处于故障状态设为事件A，服务器未触发报警记时其处于故障状态记为B． 由题意可知，；， 由古典概型知识可知，. （2）∵，∴， 又，∴． ∴. 方案甲：触发警报的服务器深度检修的经济损失的数学期望为： （千元）． 未触发警报的服务器保持运行的经济损失的数学期望为： （千元）． ∴（千元） 方案乙：触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为： （千元）． 所以，（千元） 方案丙：未触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为： （千元）， 所以（千元） ∵，所以方案乙更优． 19．（2025·河北秦皇岛·三模）某村为提高村民收益，种植了一批苹果树，现为了更好地销售，从该村的苹果树上随机摘下100个苹果，测得其质量（单位：克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图： (1)按比例分配的分层随机抽样的方法从质量落在区间的苹果中随机抽取5个，再从这5个苹果中随机抽取2个，求这2个苹果质量均小于200克的概率； (2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，已知该村每亩苹果树上大约还有50000个苹果待出售，某电商提出两种收购方案： ．所有苹果均以4元/千克收购； ．低于225克的苹果以元/个的价格收购，高于或等于225克的苹果以1元/个的价格收购． 请你通过计算为该村选择收益最好的方案． 【答案】(1). (2)方案. 【分析】（1）先根据频率比确定分层抽样在不同区间抽取的苹果个数，再利用组合数准确计算从抽取的苹果中选2个的所有情况数以及满足条件（质量均小于200克 ）的情况数，最后依据古典概型概率公式求解. （2）一是利用频率分布直方图的性质准确计算各区间频率和苹果质量的平均数，进而得到总质量用于方案 A收益计算；二是分别算出不同质量标准下苹果的个数，用于方案 B 收益计算，最后通过比较收益大小做出合理选择. 【详解】（1）由题图可得苹果质量在区间和的比为， 所以应分别在质量为的苹果中抽取2个和3个， 所以所求概率为． （2）由题中频率分布直方图可知，苹果质量在区间的频率为， 同理，苹果质量在区间的频率依次为， 若按方案收购： 总收益为：（元）． 若按方案收购：由题意知苹果质量低于225克的个数为， 苹果质量高于或等于225克的个数为， 所以总收益为（元）． 因为，所以方案的收益比方案的收益高，应该选择方案B． 20．（2025·山东滨州·二模）某学校组织“一带一路”有奖知识竞赛，有两个问题，已知甲同学答对问题的概率为0.6，回答正确得奖金10元，回答错误得奖金0元；答对问题的概率为0.5，回答正确得奖金元，回答错误得奖金0元．甲同学回答两个问题正确与否相互独立． (1)若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率； (2)若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若甲先回答问题和先回答问题所获得的奖金总额的期望相同，求的值． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算可得结果； （2）求出甲先回答问题和先回答问题所获得的奖金总额的分布列，再由期望值相等解方程求得 【详解】（1）设甲同学答对问题的概率为，答对问题的概率为； 易知，又回答两个问题正确与否相互独立， 所以仅答对其中一个问题的概率为 . （2）设甲先回答问题所获得的奖金总额为， 则的所有可能取值为； 易知，， ； 此时期望值为； 设甲先回答问题所获得的奖金总额为， 则的所有可能取值为； 易知， ； 此时期望值为； 由可得， 解得. 21．（2025·江西赣州·二模）在一次数学测验中，有单选题（即单项选择题）和多选题（即多项选择题）两种．单选题指四个选项中仅有一个正确，选对得5分，选错或不选得0分；多选题指四个选项中有两个或三个正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的或不选得0分． (1)在单选题的测验中，小明如果不知道答案就随机猜测．已知小明知道单选题的正确答案的概率是，随机猜测的概率是，问小明在做某道单选题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单选题正确答案的概率； (2)小明在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多选题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多选题所得的分数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）记事件为该单项选择题回答正确，事件为小明知道该题的正确答案，根据已知确定相关概率值，再应用全概率公式、条件概率公式求概率即可； （2）由题设的可能值为，并求出对应概率值，即可得分布列，进而求期望. 【详解】（1）记事件为该单项选择题回答正确，事件为小明知道该题的正确答案， 由题设，，，，故， 所以，而， 所以，即所求概率为； （2）由题意，的可能值为， 设事件表示小明选择了个选项，事件表示选择的选项是正确的， 则， ， ， 所以的分布列， 0 3 6 所以. 22．（2025·甘肃白银·模拟预测）某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加． (1)求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率； (2)记参加活动的女学生的人数为，求的分布列及期望； (3)若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为，求的期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)13分 【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解； （2）参加活动的女学生人数为X，则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望. （3）根据一名女学生和一名男学生参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【详解】（1）设“有女学生参加活动”为事件A，“恰有一名女学生参加活动”为事件， ，，． （2）依题意知服从超几何分布，且， ，，， 的分布列为 0 1 2 ． （3）设一名女学生参加活动可获得的分数为，一名男学生参加活动可获得的分数为，则的所有可能的取值为3，6，的所有可能的取值为6，9， ，， ，， 有名女学生参加活动，有名男学生参加活动， ， ， 两个学生的得分之和的期望为13分． 23．（2025·海南海口·模拟预测）2025年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号和的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：和需依次完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5分、3分、2分，未完成项目得0分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了30次赛前模拟，数据如下： 完成电路板焊接次数 完成精密设备开启次数 完成精准打螺丝次数 10 18 24 15 15 15 若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立． (1)求比赛中只完成了一个项目的概率； (2)记在比赛中的总分为，求的分布列； (3)已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率． 【答案】(1)比赛中只完成了一个项目的概率为 (2)答案见解析 (3)已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为 【分析】（1）分析可得每个项目完成的概率均为，结合二项分布求解概率即可； （2）记比赛中得分，则的可能取值为，确定完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率，由此可确定随机变量对应的概率，从而得分布列； （3）记在比赛中的总分为，的可能取值为，求解的概率，再结合条件概率公式即可得所求. 【详解】（1）由于进行了30次赛前模拟，每个项目完成的次数均为30次， 则每个项目完成的概率均为， 设完成比赛项目个数为，则， 则， 故比赛中只完成了一个项目的概率为； （2）记比赛中得分，则的可能取值为， 完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率分别为， 所以， 所以的分布列为： （3）记在比赛中的总分为，的可能取值为， 所以，， 记比赛“获胜”为事件，“的总分不低于5分”为事件， 则， 故已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为. 24．（2025·福建南平·三模）建瓯挑幡是国家级非物质文化遗产，常见动作招式有手舞东风转、肩扛南天松、肘擎中军令、牙咬北海塔.现有甲、乙两队进行挑幡比赛，规则如下：①比赛至多4局，每局比赛获胜方得1分，负方得0分，没有平局；②若一方先多得2分，则赢得比赛，比赛终止；③若4局后一方未多得2分，比赛也终止.假设每局比赛甲队获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立. (1)求比赛局数为的概率； (2)已知比赛终止时甲队得2分，求甲队赢得比赛的概率； (3)将（1）中作为某区挑幡爱好者完成常见动作招式的概率的值.现从该区挑幡爱好者中随机调查20人，设其中能完成动作招式的人数为，求使得最大的的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析可得比赛局数为或，求出比赛局数为的概率，即可得解； （2）记比赛终止时甲队得2分为事件，甲队赢得比赛为事件，求出、，再由条件概率公式计算可得； （3）依题意可得，令，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）依题意比赛局数为或， 又比赛局数为的概率， 比赛局数为的概率， （2）记比赛终止时甲队得2分为事件，甲队赢得比赛为事件， 则， ， 所以. （3）依题意， 所以，且， 令，即， 即，解得， 又，所以. 25．（2025·甘肃白银·三模）围棋源于中国，是中国传统文化中的瑰宝，下围棋可陶冶情操.某中学坚持开展围棋活动，以提高学生的思维能力，其围棋社的成员中有名男生，名女生.为了解围棋社成员是否利用学棋的情况，现采用按性别比例分配的分层抽样方法抽取名成员调查分析. (1)求男生和女生各抽取多少人. (2)在抽取的人中，有名女生明确利用学棋，现在从剩下的名成员中再依次随机抽取次，每次抽取人. ①在第一次抽到女生的条件下，求第二次抽到男生的概率； ②设抽到的女生人数为，求的分布列与期望. 【答案】(1)有名女生，有名男生. (2)①；②分布列见解析， 【分析】（1）利用分层抽样的方法直接求解即可； （2）①根据条件概率公式直接求解即可；②根据求解离散型随机变量分布列的步骤，得到取值，求出相应概率，列出分布列，进而求得期望. 【详解】（1）由题意，得分层抽样的抽样比为， 所以抽取的男生人数为， 抽取的女生人数为. （2）由已知得剩下的名成员中，有名女生，有名男生. ①设“第一次抽到女生”为事件，“第二次抽到男生”为事件， 则， 则. 即在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生的概率为. ②由题知，的可能取值为， 则， ， ， ， 则的分布列为 故. 26．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知一个袋子中有x个红球，y个黑球，，这些球除颜色外完全相同. (1)当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束. ①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率； ②若规定甲乙摸球次数的总和达到时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求. (2)将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是X的数学期望，求证：当时，. 【答案】(1)①；②； (2)证明见解析. 【分析】（1）①利用独立事件的乘法公式计算即可； ②分析出的可能取值，再计算分布列和数学期望即可； （2）先写出的可能取值，再计算分布列和均值，最后合理放缩即可. 【详解】（1）①设事件为第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球， 则. 答：第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率为. ②由题意知的可能取值为，， 则，，， ，. 其概率分布如下： 2 4 6 所以， 设， ， 所以， 所以， 所以 （2）由题意知的可能取值为，， 则，，， 则其概率分布如下： ， 因为， 所以 ， 又因为所以. 27．（2025·重庆·三模）在一款冒险游戏中，共有编号为从 1 到 的 个平台从前至后排列，玩家从平台 1 出发． 玩家需投掷一个质地均匀的骰子(6 个面上的数字分别为 1，2，3，4，5，6)：若骰子向上的面的点数小于 3 ． 则移动到相邻的前一个平台；若骰子向上的面的点数不小于 3 ， 则移动到相邻的后一平台 投掷机会耗尽时到达的平台编号数即为其最终得分； 在挑战过程中， 当他处于平台 1 而需要移动到前一平台时， 游戏立刻结束， 得分为 0 ． 玩家在投掷机会耗尽前 (或因规则被迫结束挑战) 不会停止挑战． (1)若玩家拥有 3 次投掷机会，求在他的最终得分为 0 分的条件下，抛掷结果中有且仅有两次点数小于 3 的概率； (2)设玩家拥有 次投掷机会，其最终得分为 ． ①求 ； ② 设 ，证明： 当 为偶数时， ． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）写出，再利用条件概率公式即可得到答案； （2）①写出，再计算其分布列，最后利用期望公式即可得到答案； ②分析得，再利用期望公式计算即可. 【详解】（1）由题可知，移动到前一个平台的概率为， 移动到后一个平台的概率为． 记第次移动到后一个平台为，移动到前一个平台则为． 设“拥有3次投郑机会的玩家最终得分为0”为事件， “抛掷结果中有且仅有两次点数小于3”为事件， 则； . （2）①则， ， ， 作的分布列如下： 0 1 3 5 . ②由题意知，． 而， 当时，， . 因此， . 28．（2025·浙江·三模）在一个不透明的袋子中放有n个除颜色外完全相同的小球，其中有m个红色球与个白色球（满足且n，）.现设计如下试验流程：每次从袋中随机摸取一球，若为红色球则定义为“成功”事件，每次“成功”后将对应红球永久移除；若抽取为白色球则将其放回袋中并重新摇匀，试验持续至袋中无红色球时终止. (1)当，时，求前两次摸取过程中恰发生一次“成功”事件的概率； (2)设，若第X次摸取时试验首次出现“成功”事件，记随机变量X的数学期望为，试比较与的大小； (3)基于随机变量可加性原理，当，时，设试验终止时的累计抽取次数为.证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据独立事件的概率可求解. （2）有题意可知，再结合期望求解公式即可. （3）由题可知抽取次数为有四种情况，再根据随机变量可加性原理 即可证明. 【详解】（1）设事件第一次摸球“成功”且第二次摸球未“成功”为A，事件第一次摸球未“成功”且第二次摸球“成功”为B. 由题意得，， 因此. （2），由题意得. . （3）设第次摸球时试验首次“成功”，且从第次成功后又进行了次摸球恰好达到第k次“成功”，（）可知， 记4个阶段内每次摸到红球的概率分别为，，，，则 ，，，. 由（2）可知，，，. 因此. 29．（2025·山西晋中·三模）某学校有三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在A餐厅就餐，则当天还在A餐厅就餐的概率为，若前一天在B餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为，若前一天在C餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为． (1)求王同学第二天在A餐厅就餐的概率； (2)求王同学第n天在A餐厅就餐的概率； (3)以王同学在餐厅就餐的概率估计高一新生在餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过，则称就餐人数趋于稳定，试判断A餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定． 【答案】(1) (2) (3)A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定 【分析】（1）第i天去餐厅就餐的概率分别为，，，．由全概率公式即可求解； （2）由，结合全概率公式得到，即可求解； （3）法一，由（2）求得，，，即可判断，法二：，求解即可. 【详解】（1）记第i天去餐厅就餐的概率分别为，，，． 由全概率公式可得 ， 所以王同学第二天在A餐厅就䭆的概率为． （2）由题可知，当时， ， 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以王同学第n天在A餐厅就餐的概率为． （3）方法一：由（2）的计算可知 ，，，，， ，， ，， 所以A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定． 方法二：， 化简得，因为，所以， 所以A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定． 30．（2025·江苏南京·二模）不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为. (1)若，求； (2)若，且，求的最小值； (3)若，求证：且，. 【答案】(1)； (2)3； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据组合数和独立事件乘法公式即可得到答案； （2）计算得，再利用期望公式得，再根据的单调性即可得到最小值； （3）方法一：首先利用期望公式得，再利用得，最后再合理放缩并求和即可； 方法二：等价转化为证明，再利用数学归纳法即可证明. 【详解】（1）由，得 . （2）由，得． 则 . 令，得． 又在上单调递减， 且， 故的最小值为3． （3）由，得 ， 所以 . 方法1：先证． 设，则．令，得，列表如下： 0 0 极小值 所以， 故，当且仅当时取＂=＂． 令，则， 故， 即． 所以 ， 所以， 所以，故且． 方法2：要证且，即证，即证． ①当时，左边右边，成立； ②假设当且时命题成立，即． 则当时， ， 只要证，即证且． 因为， 所以且． 故当时，，命题也成立． 综合①②，且， 故得证． 31．（2025·湖北十堰·三模）某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖． (1)求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率； (2)求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率； (3)求由第名顾客终止抽奖活动的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析可知第名顾客抽取的是红球；第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球.结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）利用列举法列举出这两分别奖品都被第名、第名、第名顾客抽走的概率，利用归纳可得出这两份奖品都被第名顾客抽取的概率； （3）设由第名顾客终止抽奖的概率为，可得出的值，讨论的情形，第名顾客共抽取了两份奖品，则前面名顾客都没有抽到奖品；第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第名顾客抽到了一份奖品，计算出两种情况下所求概率，相加即可得解. 【详解】（1）由题意可得第名和第名顾客各抽中一份奖品，即第名顾客抽取的是红球； 第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球. 故第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率为. （2）这两份奖品被第名顾客抽走的概率为， 被第名顾客抽走的概率为， 被第名顾客抽走的概率为， ， 被第名顾客抽走的概率为. （3）设由第名顾客终止抽奖的概率为，则，以下讨论的情形： 若第名顾客共抽取了两份奖品，则前面名顾客都没有抽到奖品，其概率为， 若第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第名顾客抽到了一份奖品， 则前面名顾客五人抽到奖品，其概率为， 第名顾客只获得一份奖品，其概率为， 第名顾客到第名顾客都没有抽到奖品，其概率为， 所以，第名顾客抽取了一份奖品的概率为 ， 所以，， 当时，不符合上式， 因此，由第名顾客终止抽奖活动的概率为. 32．（2025·安徽芜湖·二模）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废. (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当，时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率； (3)为估计（2）中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量. 参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有. 【答案】(1)， (2) (3)1000 【分析】（1）先计算出每个芯片通过测试的合格率后，可得服从二项分布，则可借助二项分布的期望与方差公式计算得解； （2）可借助正难则反的思想计算出出一枚芯片合格的概率，也可借助全概率公式计算出出一枚芯片合格的概率，再结合首次测试（测试I）通过率为与条件概率公式计算从而得解； （3）由题意可得，则，，再结合所给参考内容，可得，，利用基本不等式可得，则对，均有，取可得，计算即可得解. 【详解】（1）每个芯片通过测试的合格率为，， 则，； （2）解法一：记事件A：通过测试I，事件B：通过测试II，事件C：芯片合格， ， 则； 解法二：记事件：经过测试I，事件：经过测试II，事件B：芯片合格， ，，，， ， 则； （3）因为，所以，， 解法一：，， ，， 又，当且仅当时等号成立， ，均有， 取，则， 根据题意要使得总能不超过0.1， 当，即时满足条件， 最小样本量大约为1000. 解法二：由已知得对，， ， 记，，， 又，当且仅当时等号成立， ，均有， 取，则， 根据题意要使得总能不超过0.1， 当，即时满足条件， 最小样本量大约为1000. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23天-搞定概率统计（解答题）综合计算 第23天寄语： 不必纠结能考多少分，专注能提多少分。 识·必备知识 1．离散型随机变量定义 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 4．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 5. 独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算 公式 Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，继而求得概率． 6. 两点分布 X 0 1 P 1－p p 这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率． 7. 超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 8. 正态分布 正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826； (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544； (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974. 明·直击考点 序号 考点 考点01 独立性检验 考点02 回归方程 考点03 正态分布 考点04 分布列及期望方差 练·抢分演练 一、独立性检验 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：    品牌 性别 男性 15 30 女性 30 25 (1)根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 2．（2025·湖南湘潭·三模）为了解正在研发的新产品在18~22岁和23~27岁两个年龄段青年群体中的受众面，某科技公司发布问卷调查，回收整理了400份问卷并整理数据，得到如下列联表： 感兴趣 不感兴趣 合计 18~22岁 160 40 200 23~27岁 s 70 t 合计 290 110 400 (1)求表中s，t的值； (2)分别计算18~22岁和23~27岁青年群体对新产品感兴趣的频率； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为对新产品感兴趣与青年的年龄段有关？ 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 4．（2025·湖南·一模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． (1)请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 5．（2025·江苏盐城·三模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 6．（2025·河北沧州·模拟预测）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 二、回归方程 7．（2025·云南曲靖·二模）自“机器人扭秧歌”这一节目在2025年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目，旗下一款机器人Unitree Aliengo在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛.现统计出机器人Unitree Aliengo在某地区2024年1月至5月的销售量如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销售量y/台 26 37 50 64 93 (1)经计算样本的相关系数，故变量x，y线性相关性很强，求y关于x的经验回归方程； (2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于5时，称该对数据为一对“次数据”，现从这5对数据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数的分布列和数学期望． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 8．（2025·辽宁·模拟预测）某公司统计了该公司销售部员工工龄（单位：年）与一年中的月均销售额（单位：万元）的数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 15.1 4.84 24.2 94.9 155.5 82.5 表中. (1)由散点图知，可用经验回归方程拟合y与x的关系，试根据提供的有关数据，预测月均销售额超过20万元的工龄最小值； (2)该公司为激励销售部员工，规定每月的销售冠军奖励1万元，其他名次无奖励.甲为该公司销售部的员工，他在第一季度（每年的前3个月）的第一个月成为销售冠军的概率为，从第二个月开始，若上个月不是销售冠军，则这个月为销售冠军的概率为；若上个月为销售冠军，则这个月仍为销售冠军的概率为.求他在第一季度所得奖励金额X的分布列和数学期望. 附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，，，，，. 9．（2025·山东济南·二模）每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， (1)根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ (2)根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 10．（2025·广西·三模）我国广西某自然保护区分布着国家一级保护动物白头叶猴，为了研究空气质量与白头叶猴分布数量的相关性，将该保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中20个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某空气指标和区域内白头叶猴分布的数量，得到数组.已知，，. (1)求样本的相关系数； (2)假设白头叶猴的寿命为随机变量（可取任意正整数）.研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.05，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”. ①求的表达式； ②推导白头叶猴寿命期望的值. 附：相关系数. 三、正态分布 11．（2025·河南·三模）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 12．（2025·江西·二模）DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X). 参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973. 13．（2025·辽宁·模拟预测）人工智能（Artificial  Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量.近几年以来，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客对AI手机的满意程度，M市某手机大卖场从购买了AI手机的顾客中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度得分Z（单位：分）制作了如下的频数分布表： 分组（单位：分） 频数 10 15 20 30 15 10 (1)若该手机大卖场中某手机店经销A，B两种品牌的手机，A品牌中AI手机占比为，B品牌中AI手机占比为，A，B品牌手机的数量之比是2:1，现从该手机店中随机抽取一部手机，求抽取到的手机是AI手机的概率； (2)为提升AI手机的销量，该手机大卖场针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励600元、300元现金，抽中一、二等奖的概率分别为，，其余情况不获得奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖结果相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位购买了AI手机的顾客获得的总奖金为X元，求X的分布列和数学期望； (3)由频数分布表可以认为从手机大卖场购买AI手机的顾客对AI手机的满意度得分Z近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.现将满意度得分Z超过84.81分的顾客对AI手机的态度定义为“非常满意”.若某月该手机大卖场共有1万名顾客购买了AI手机（每人一部），记为这些顾客中对AI手机“非常满意”的人数，事件“”的概率为，求使取最大值时的值. 参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，. 四、分布列及期望方差 14．（2025·江苏·三模）已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成． (1)先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率； (2)在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰，某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，，，且3道题目答对与否互不影响. (1)设X表示这20人中晋级的人数，求； (2)记这20人中人晋级的概率为，求取得最大值时k的取值. 16．（2025·安徽·模拟预测）某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． (1)求该运动员第二次投篮命中的概率； (2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； (3)设第次投篮命中的概率为，求证：． 17．（2025·湖南·三模）某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 7 10 米色内饰 3 5 (1)若小明从这些模型中随机抽取一个模型，记事件为抽到的模型为红色外观，事件为抽到的模型是米色内饰，求，并据此判断事件是否相互独立； (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中一次性抽两个汽车模型，根据这两个汽车模型的外观和内饰颜色确定奖金：若外观异色且内饰异色，则奖励600元，若外观同色且内饰同色，则奖励300元，若仅外观同色或仅内饰同色，则奖励150元，设一次抽奖的奖金为元，求的分布列与期望. 18．（2025·河南郑州·三模）某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警报与服务器状态（正常/故障）高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下： 触发警报时状态分布 未触发警报时状态分布 正常 25台 正常 450台 故障 475台 故障 50台 运维单台服务器时，可选操作及经济损失（单位：千元）如下： 状态/操作 保持运行 快速诊断 深度检修 正常 0 1 3 故障 10 4 6 假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立． (1)若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率； (2)某次维护中，发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器．现有三种操作方案： 方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行； 方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行； 方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断． 从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案更优． 19．（2025·河北秦皇岛·三模）某村为提高村民收益，种植了一批苹果树，现为了更好地销售，从该村的苹果树上随机摘下100个苹果，测得其质量（单位：克）均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图： (1)按比例分配的分层随机抽样的方法从质量落在区间的苹果中随机抽取5个，再从这5个苹果中随机抽取2个，求这2个苹果质量均小于200克的概率； (2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，已知该村每亩苹果树上大约还有50000个苹果待出售，某电商提出两种收购方案： ．所有苹果均以4元/千克收购； ．低于225克的苹果以元/个的价格收购，高于或等于225克的苹果以1元/个的价格收购． 请你通过计算为该村选择收益最好的方案． 20．（2025·山东滨州·二模）某学校组织“一带一路”有奖知识竞赛，有两个问题，已知甲同学答对问题的概率为0.6，回答正确得奖金10元，回答错误得奖金0元；答对问题的概率为0.5，回答正确得奖金元，回答错误得奖金0元．甲同学回答两个问题正确与否相互独立． (1)若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率； (2)若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若甲先回答问题和先回答问题所获得的奖金总额的期望相同，求的值． 21．（2025·江西赣州·二模）在一次数学测验中，有单选题（即单项选择题）和多选题（即多项选择题）两种．单选题指四个选项中仅有一个正确，选对得5分，选错或不选得0分；多选题指四个选项中有两个或三个正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的或不选得0分． (1)在单选题的测验中，小明如果不知道答案就随机猜测．已知小明知道单选题的正确答案的概率是，随机猜测的概率是，问小明在做某道单选题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单选题正确答案的概率； (2)小明在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多选题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多选题所得的分数为X，求X的分布列及数学期望． 22．（2025·甘肃白银·模拟预测）某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加． (1)求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率； (2)记参加活动的女学生的人数为，求的分布列及期望； (3)若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为，求的期望． 23．（2025·海南海口·模拟预测）2025年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号和的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：和需依次完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5分、3分、2分，未完成项目得0分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了30次赛前模拟，数据如下： 完成电路板焊接次数 完成精密设备开启次数 完成精准打螺丝次数 10 18 24 15 15 15 若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立． (1)求比赛中只完成了一个项目的概率； (2)记在比赛中的总分为，求的分布列； (3)已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率． 24．（2025·福建南平·三模）建瓯挑幡是国家级非物质文化遗产，常见动作招式有手舞东风转、肩扛南天松、肘擎中军令、牙咬北海塔.现有甲、乙两队进行挑幡比赛，规则如下：①比赛至多4局，每局比赛获胜方得1分，负方得0分，没有平局；②若一方先多得2分，则赢得比赛，比赛终止；③若4局后一方未多得2分，比赛也终止.假设每局比赛甲队获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立. (1)求比赛局数为的概率； (2)已知比赛终止时甲队得2分，求甲队赢得比赛的概率； (3)将（1）中作为某区挑幡爱好者完成常见动作招式的概率的值.现从该区挑幡爱好者中随机调查20人，设其中能完成动作招式的人数为，求使得最大的的值. 25．（2025·甘肃白银·三模）围棋源于中国，是中国传统文化中的瑰宝，下围棋可陶冶情操.某中学坚持开展围棋活动，以提高学生的思维能力，其围棋社的成员中有名男生，名女生.为了解围棋社成员是否利用学棋的情况，现采用按性别比例分配的分层抽样方法抽取名成员调查分析. (1)求男生和女生各抽取多少人. (2)在抽取的人中，有名女生明确利用学棋，现在从剩下的名成员中再依次随机抽取次，每次抽取人. ①在第一次抽到女生的条件下，求第二次抽到男生的概率； ②设抽到的女生人数为，求的分布列与期望. 26．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知一个袋子中有x个红球，y个黑球，，这些球除颜色外完全相同. (1)当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束. ①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率； ②若规定甲乙摸球次数的总和达到时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求. (2)将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是X的数学期望，求证：当时，. 27．（2025·重庆·三模）在一款冒险游戏中，共有编号为从 1 到 的 个平台从前至后排列，玩家从平台 1 出发． 玩家需投掷一个质地均匀的骰子(6 个面上的数字分别为 1，2，3，4，5，6)：若骰子向上的面的点数小于 3 ． 则移动到相邻的前一个平台；若骰子向上的面的点数不小于 3 ， 则移动到相邻的后一平台 投掷机会耗尽时到达的平台编号数即为其最终得分； 在挑战过程中， 当他处于平台 1 而需要移动到前一平台时， 游戏立刻结束， 得分为 0 ． 玩家在投掷机会耗尽前 (或因规则被迫结束挑战) 不会停止挑战． (1)若玩家拥有 3 次投掷机会，求在他的最终得分为 0 分的条件下，抛掷结果中有且仅有两次点数小于 3 的概率； (2)设玩家拥有 次投掷机会，其最终得分为 ． ①求 ； ② 设 ，证明： 当 为偶数时， ． 28．（2025·浙江·三模）在一个不透明的袋子中放有n个除颜色外完全相同的小球，其中有m个红色球与个白色球（满足且n，）.现设计如下试验流程：每次从袋中随机摸取一球，若为红色球则定义为“成功”事件，每次“成功”后将对应红球永久移除；若抽取为白色球则将其放回袋中并重新摇匀，试验持续至袋中无红色球时终止. (1)当，时，求前两次摸取过程中恰发生一次“成功”事件的概率； (2)设，若第X次摸取时试验首次出现“成功”事件，记随机变量X的数学期望为，试比较与的大小； (3)基于随机变量可加性原理，当，时，设试验终止时的累计抽取次数为.证明：. 29．（2025·山西晋中·三模）某学校有三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在A餐厅就餐，则当天还在A餐厅就餐的概率为，若前一天在B餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为，若前一天在C餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为． (1)求王同学第二天在A餐厅就餐的概率； (2)求王同学第n天在A餐厅就餐的概率； (3)以王同学在餐厅就餐的概率估计高一新生在餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过，则称就餐人数趋于稳定，试判断A餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定． 30．（2025·江苏南京·二模）不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为. (1)若，求； (2)若，且，求的最小值； (3)若，求证：且，. 31．（2025·湖北十堰·三模）某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖． (1)求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率； (2)求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率； (3)求由第名顾客终止抽奖活动的概率． 32．（2025·安徽芜湖·二模）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废. (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当，时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率； (3)为估计（2）中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量. 参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$