第27天 搞定小题概率（5考点35题）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第27天-搞定概率小题 第27天寄语： 错题本上的红笔印记，草稿纸上的反复演算，都是你与梦想对话的密码。 识·必备知识 1．古典概型特点 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． (2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． 2．古典概型概率公式 P(A)＝＝. 求古典概型概率的步骤 (1)判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A； (2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m； (3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率. 3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．　 4. 判断互斥、对立事件的两种方法 (1)定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． (2)集合法 ①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 5. 事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质： ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．　 6. 条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　 7. 条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 8. 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 9. 贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 明·直击考点 序号 考点 考点01 古典概率 考点02 正态分布对应的区间概率 考点03 独立重复事件对应的概率 考点04 条件概率 考点05 全概率 练·抢分演练 一、古典概率 1．（2025·湖南·三模）若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出所有排列情况，再求出甲乙相邻的排列情况，用总排列情况减去甲乙相邻的排列情况得到甲乙不相邻的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】5个人随机排成一排的总排列数为：种. 将甲乙看成一个整体（捆绑法），此时相当于有4个人随机排列，排列数为， 而甲乙两人之间又有种排列顺序. 根据分步乘法计数原理，甲乙相邻的排列数为：种. 所以，甲乙不相邻的排列数为种. 根据古典概型概率公式可得，甲乙不相邻的概率为：. 故选：A. 2．（2025·山东青岛·二模）5件产品中有2件次品，现逐一检查，直至能确定所有次品为止，则第四次检测结束的概率为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】总的检验方法数易求，恰好检验4次就停止，说明前三次中检验出一件次品，第4次检验出第2件次品，或前三次中检验出一件次品，第4次检验出一件正品，分别求出方法数后可得概率． 【详解】检验4次的方法总数为， 因为恰好检验4次就停止， 所以前三次中检验出一件次品，第4次检验出第2件次品，共种方法， 或前三次中检验出一件次品，第4次检验出一件正品，共种方法， 所以满足题意的概率为． 故选：C． 3．（2025·河南新乡·三模）某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对立事件可求3人中至少有1名女生的概率. 【详解】任取选3人，共有种选法， 任选3人，没有女生的选法总数为， 故选出的3人中至少有1名女生的概率为， 故选：C. 4．（2025·河北秦皇岛·三模）甲、乙、丙三人排成一排，则甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计数原理结合古典概型求解概率即可. 【详解】甲､乙､丙三人排成一排，共种情况， 符合题意的有丙､甲､乙或乙､甲､丙两种情况，故概率为． 故选：B． 5．（2025·河南安阳·三模）某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型利用组合进行求解公式. 【详解】. 故选：C. 二、正态分布对应的区间概率 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性即可得到结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态分布的对称轴为， 所以, 故选：B 7．（2025·河北邯郸·二模）已知随机变量，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性得到，进而建立方程，求解出，再利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为正态分布曲线关于对称，所以， 因为，， 所以，即，解得或（舍去）， 由正态分布的性质得，故B正确. 故选：B. 8．（2025·河北沧州·模拟预测）已知随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正态分布的对称性计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C． 9．（2025·湖北武汉·一模）已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在）和的概率为（    ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若服从正态分布，则，. A．0.57 B．0.75 C．0.80 D．0.84 【答案】C 【分析】由正太分布概率计算及概率乘法公式即可求解. 【详解】， ， 故所求概率， 故选：C. 10．（2025·广东湛江·二模）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（    ） 附：若，则． A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个 【答案】C 【分析】根据正态分布特殊区间的概率可求出结果. 【详解】由可知， 则， 故其中单果质量超过的草莓约有个． 故选：C. 三、独立重复事件对应的概率 11．（2025·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立重复试验概率的计算可得答案. 【详解】当时，表示前次中取到次红球，第次取到红球，所以， 故选：B. 12．（2020高三·全国·专题练习）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝ . 【答案】 【解析】首先求某产品两轮检测合格的概率，X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，然后根据二项分布求其概率，并计算. 【详解】由题意得该产品能销售的概率为,易知X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B， 所以， 所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝ ， P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝， P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝, 故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝. 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键. 13．（2025·江西新余·一模）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析“莎头”组合以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜，利用二项分布的概率公式计算可得. 【详解】“莎头”组合再次以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜， 所以“莎头”组合再次以获胜的概率. 故选：B 14．（2025·湖南·二模）甲､乙､丙､丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为，目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为，目标被三人击中而摧毁的概率为，若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得击中次数服从二项分布，分别求得其对应概率，再由全概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设击中次数为，则， 所以， ， 由全概率公式得，目标被摧毁的概率. 故选：C 四、条件概率 15．（2025·山西·模拟预测）设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题给条件求出，再利用条件概率公式即可求解. 【详解】由， 解得， 所以. 故选：A. 16．（2025·广东·模拟预测）2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由古典概率模型求得，再由条件概率即可取得结果. 【详解】由已知得，故. 故选：B. 17．（2025·浙江台州·二模）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，分别求出和，利用条件概率能求出在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率. 【详解】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球， 则，， 已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为： . 故选：A. 18．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知M，N是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由概率乘法公式可得，再由条件概率公式即可解出. 【详解】注意到，，则. 则. 故选：D 19．（2025·河南·模拟预测）已知随机事件满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据包含关系可知，结合对立事件概率公式、条件概率公式直接求解即可. 【详解】，； ，，. 故选：A. 20．（2025·山东·模拟预测）现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件M为“两根筷子都是红色的”，则． 设事件N为“取到的筷子中有红色的”，则． 所求即为． 故选：D 21．（2025·四川达州·模拟预测）某鱼塘只养殖有鲢鱼和鲫鱼，若鲢鱼和鲫鱼的数量比是，鲢鱼和鲫鱼被钓上来的概率分别是.现有一条鱼被钓上来了，这条鱼是鲢鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件表示鱼被钓上来，事件表示随机钓一条鱼且该鱼是鲢鱼，则， 所以. 故选:C. 22．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 23．（2025·重庆·模拟预测）用数字、、、、组成没有重复数字的三位数组成集合，现从集合中任取一个数，它能被整除的条件下，这个数能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记事件从集合中任取一个数，这个数能被整除，记事件从集合中任取一个数，这个数能被整除，利用排列计数原理求出的值，利用列举法求出的值，再利用条件概率公式可求出的值. 【详解】记事件从集合中任取一个数，这个数能被整除， 记事件从集合中任取一个数，这个数能被整除， 、、、、中能被整除的为，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、， 现考虑无重复数字的三位数能被整除，则所选的三个数应从、选择一个，从、中选择一个，必选， 所以，， 无重复数字的三位数既能被整除，又能被整除的有：、、、，即， 由条件概率公式可得. 故选：B. 24．（2025·安徽安庆·二模）设事件为两个随机事件，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用条件概率公式得出，然后利用公式化简得出结论. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以，即， 即，于是. 故选：B. 25．（2025·陕西咸阳·二模）已知甲箱中有3个白乒乓球和4个黄色乒乓球，乙箱中有4个白乒乓球和3个黄色乒乓球.先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黄球，再从乙箱中随机取出1球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（   ） A．，互斥 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的定义，可判定A正确；根据条件概率的计算公式，求得，可判定B正确；由，可判定C错误；由，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，分别表示甲箱中取出的是白球和黄球， 因为每次只取1个球，所以，是互斥的事件，所以A正确； 对于B中，由题意，可得，，，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以C错误； 对于D中，由，所以D正确. 故选：C. 26．（2025·青海西宁·二模）某科技兴趣小组设计了一个信号发生器，传输0，1，2信号，信号传输互不干扰，收到的信号不变的概率为，收到其他两种信号的概率均为．输入同一个信号的概率都是，输出3个信号作为一组信息单元，在输出信号为“0，2，1”的条件下，输入信号为“0，0，0”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据相互独立事件的概率乘法，结合条件概率的定义，可得答案. 【详解】设事件A为“输出信号为0，2，1”，事件B为“输入信号为0，0，0”， 则． 故选：C 27．（2025·辽宁本溪·模拟预测）甲､乙､丙､丁四名农业专家被派驻到A，B，C三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到A村的条件下，甲､乙被派驻到同一个村的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】法一：记事件表示甲被派驻到村，事件表示甲，乙被派驻到同一个村， 则，由题意可知将甲，乙，丙，丁四人分为3组， 再将这3组分配给三个村，则基本事件的总数为， 若事件同时发生，则甲，乙均被派驻到村，派驻方法有种， 所以，所以. 法二.：记事件表示甲被派驻到村，事件表示甲，乙被派驻到同一个村， 由题意可知甲被派驻到村有两种情况， ①被派驻到村的只有甲一人，派驻方法有种，此时甲，乙不在同一个村； ②被派驻到村的有两人，其中一人是甲，派驻方法有种， 其中甲，乙在同一个村的派驻方法有种， 所以. 故选：A. 五、全概率 28．（2025·广东汕头·二模）某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【分析】应用全概率公式计算求解. 【详解】记“第1天去餐厅”，“第1天去餐厅”，“第2天去餐厅”， 则由全概率公式得：． 故选：A. 29．（2025·江西赣州·一模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率的计算公式即可求. 【详解】分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球， 由题意可知，，， 所以， 故选：B 30．（2025·内蒙古赤峰·一模）某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】由题意，设王同学第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 则，， 则根据全概率公式，. 故选：C. 31．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式计算可求概率. 【详解】设事件为这个人患流感，分别表示这个人来自A，B，C三个地区， 由已知可得， 又， 由全概率公式可得 . 故选：C. 32．（2025·河北石家庄·一模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式求出接收到的信号为0的概率，再利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，， ， ． 故选：B. 33．（2025·河北廊坊·模拟预测）某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需要计算在3名学生均获奖的情况下，既有物理组合又有历史组合的学生的概率，利用全概率公式和条件概率公式即可求解. 【详解】令事件表示“参加数学竞赛的学生是物理组合”，令事件表示“参加数学竞赛的学生是历史组合”，令事件表示“获奖”，则有， 根据全概率公式有， 令事件表示“3人均获奖”，则， 令事件表示“这3人全是物理”，则， 令事件表示“这3人全是历史”，则， 令事件表示“这3人既有物理又有历史”，则， 根据条件概率公式有. 故选：B. 34．（2025·河南·二模）张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据全概率公式得到数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式，可求. 【详解】设表示第个月去公司，则，， 根据题意，得，， 由全概率公式，得 ， 即，整理得， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则. 故选：A 35．（2025·安徽淮北·二模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可根据从甲箱中取出球的颜色进行分类讨论，再结合条件概率公式分别计算从乙箱中取出两球颜色相同的概率，最后根据全概率公式求出最终结果. 【详解】从甲箱中随机取一个球，甲箱中有个红球和个白球， 那么从甲箱中取出红球的概率；取出白球的概率. 若从甲箱中取出一个红球放入乙箱，则乙箱中有个红球和个白球. 从个球中取出个球的组合数为种. 从个红球中取出个红球的组合数为种；从个白球中取出个白球的组合数为种. 所以在从甲箱取出红球的条件下，从乙箱取出两球颜色相同的概率. 若从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱中有个红球和个白球. 从个球中取出个球的组合数为种. 从个红球中取出个红球的组合数为种；从个白球中取出个白球的组合数为种. 所以在从甲箱取出白球的条件下，从乙箱取出两球颜色相同的概率. 由全概率公式可得，取出的两球颜色相同的概率为： . 故选：B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27天-搞定概率小题 第27天寄语： 错题本上的红笔印记，草稿纸上的反复演算，都是你与梦想对话的密码。 识·必备知识 1．古典概型特点 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． (2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． 2．古典概型概率公式 P(A)＝＝. 求古典概型概率的步骤 (1)判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A； (2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m； (3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率. 3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．　 4. 判断互斥、对立事件的两种方法 (1)定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． (2)集合法 ①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 5. 事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质： ①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．　 6. 条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　 7. 条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 8. 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 9. 贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 明·直击考点 序号 考点 考点01 古典概率 考点02 正态分布对应的区间概率 考点03 独立重复事件对应的概率 考点04 条件概率 考点05 全概率 练·抢分演练 一、古典概率 1．（2025·湖南·三模）若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·二模）5件产品中有2件次品，现逐一检查，直至能确定所有次品为止，则第四次检测结束的概率为 （ ） A． B． C． D． 3．（2025·河南新乡·三模）某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北秦皇岛·三模）甲、乙、丙三人排成一排，则甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南安阳·三模）某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 二、正态分布对应的区间概率 6．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 7．（2025·河北邯郸·二模）已知随机变量，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 8．（2025·河北沧州·模拟预测）已知随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·湖北武汉·一模）已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布.现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件，则这2件产品的质量指标分别在）和的概率为（    ）（运算结果保留小数点后两位）参考数据：若服从正态分布，则，. A．0.57 B．0.75 C．0.80 D．0.84 10．（2025·广东湛江·二模）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（    ） 附：若，则． A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个 三、独立重复事件对应的概率 11．（2025·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 12．（2020高三·全国·专题练习）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝ . 13．（2025·江西新余·一模）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·湖南·二模）甲､乙､丙､丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为，目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为，目标被三人击中而摧毁的概率为，若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为（    ） A． B． C． D． 四、条件概率 15．（2025·山西·模拟预测）设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则（   ） A． B． C． D． 16．（2025·广东·模拟预测）2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（    ） A． B． C． D． 17．（2025·浙江台州·二模）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知M，N是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 19．（2025·河南·模拟预测）已知随机事件满足，，，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025·山东·模拟预测）现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·四川达州·模拟预测）某鱼塘只养殖有鲢鱼和鲫鱼，若鲢鱼和鲫鱼的数量比是，鲢鱼和鲫鱼被钓上来的概率分别是.现有一条鱼被钓上来了，这条鱼是鲢鱼的概率为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025·重庆·模拟预测）用数字、、、、组成没有重复数字的三位数组成集合，现从集合中任取一个数，它能被整除的条件下，这个数能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·安徽安庆·二模）设事件为两个随机事件，，且，则（    ） A． B． C． D． 25．（2025·陕西咸阳·二模）已知甲箱中有3个白乒乓球和4个黄色乒乓球，乙箱中有4个白乒乓球和3个黄色乒乓球.先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黄球，再从乙箱中随机取出1球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（   ） A．，互斥 B． C． D． 26．（2025·青海西宁·二模）某科技兴趣小组设计了一个信号发生器，传输0，1，2信号，信号传输互不干扰，收到的信号不变的概率为，收到其他两种信号的概率均为．输入同一个信号的概率都是，输出3个信号作为一组信息单元，在输出信号为“0，2，1”的条件下，输入信号为“0，0，0”的概率为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·辽宁本溪·模拟预测）甲､乙､丙､丁四名农业专家被派驻到A，B，C三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到A村的条件下，甲､乙被派驻到同一个村的概率为（    ） A． B． C． D． 五、全概率 28．（2025·广东汕头·二模）某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4 29．（2025·江西赣州·一模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·内蒙古赤峰·一模）某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（    ） A． B． C． D． 31．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 32．（2025·河北石家庄·一模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（    ） A． B． C． D． 33．（2025·河北廊坊·模拟预测）某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为（    ） A． B． C． D． 34．（2025·河南·二模）张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（   ） A． B． C． D． 35．（2025·安徽淮北·二模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$