第08天 解答题模拟测+模拟练（三）-【决战高考】2025年高考数学百日冲刺（直击考点抢分秘籍）

第08天-解答题模拟测+模拟练（三） 模拟测 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数在处的切线方程. （2）分析函数的单调性，求函数的最小值，根据可证. 【详解】（1）因为，所以， 则，则. 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 令，得. 令，得，则在上单调递减； 令，得，则在上单调递增. . 因为，所以，即. 16．甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为. (1)当时，求甲第二局获胜的概率. (2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为. ①求； ②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析，期望为. 【分析】（1）根据全概率公式即可求解, （2）①②根据全概率公式即可求解概率，进而根据期望公式求解. 【详解】（1）设“甲第局获胜”，其中，依题意得， 当时，由全概率公式得. ， 所以甲第二局获胜的概率为. （2）①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为， 依题意得，解得. ②的可能取值为2，3. ， 所以的分布列为 2 3 . 17．如图，在高为6的直三棱柱中，底面的周长为分别为棱，上的动点. (1)若，证明：平面. (2)求的最小值. (3)若，求平面与底面夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知，可得，利用勾股定理的逆定理可得，由线面垂直的判定定理即可证得； （2）将侧面沿展开成矩形，则其对角线即为所求； （3）设的中点分别为，连接，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算分别求得平面和底面的一个法向量，利用公式由表示出，利用二次函数的性质求出的最大值，即为所求. 【详解】（1）因为底面的周长为12，且，所以， 则，所以. 在直三棱柱中，底面， 又平面，则， 又，平面，所以平面. （2）将直三棱柱的侧面沿剪开展平成矩形，如图所示， 其中，所以， 所以的最小值为. （3）设的中点分别为，连接， 因为三棱柱是直三棱柱，则. 因为，底面的周长为， 所以，所以，则. 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 又， 则，， 则. 设平面的一个法向量为，则， 即， 取，得. 易得底面的一个法向量为， 则， 当时，取得最小值， 则取得最大值，且最大值为， 所以平面与底面夹角的余弦值的最大值为. 18．已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. (1)求的离心率. (2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且. ①求的方程； ②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点. 【答案】(1)2 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和离心率公式，即可求解； （2）①直线方程与双曲线方程联立，根据向量共线的条件，结合韦达定理，即可求解； ②首先设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明定点问题. 【详解】（1）由题意可知， 则. （2）①解：直线的方程为， 联立得， . 设，则， 由，得， 代入，得， 则的方程为. ②证明：设的方程为. 联立得， ，且， . 因为， 所以， 即， 则， 整理得， 即. 因为点不在直线上，所以，则， 则， 故直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示坐标运算. 19．已知正数的整数部分记为，例如. (1)若，求数列的前项和. (2)设. ①求； ②求数列的通项公式； ③求数列的前100项和. 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）将化简，得，该表达式第一项恒为整数，则只需考虑的取值情况可得解； （2）①将代入直接求解即可；②令，则，而，则可平方脱根，判断整数部分可得解；③已知，则可表达数列的前100项,，应用并项求和即可. 【详解】（1）， 当时，. （2）①， 因为，且，所以. ②令，则， 则， 所以. 因为，所以， 又为正整数，所以. ③方法一： 因为 ， 所以数列的前100项和为. 方法二： 数列的前100项和为 . 【点睛】本题考查新定义与数列的交汇，考查数学抽象，逻辑推理与数学运算的核心素养. 模拟练 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右： 了解情况 非常了解 一般了解 不了解 人数（名） 580 320 100 (1)从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率； (2)该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可得出结果； （2）先求出重点宣传后 “非常了解” 的概率，再根据二项分布的性质确定X的分布列和数学期望，即可求得结果. 【详解】（1）已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中 “不了解” 的人数为100名， 根据古典概型概率公式可得， 所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识 “不了解” 的概率. （2）原来 “不了解” 的市民占比为0.1，“非常了解” 的市民占比为，“一般了解” 的市民占比为， 经过重点宣传后，“不了解” 的市民中有转变为 “一般了解”，有转变为 “非常了解”，其余保持不变， 所以重点宣传后 “非常了解” 的概率为. 从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识 “非常了解” 的人数，因为每次抽取是相互独立的，且抽取到 “非常了解” 的概率都为0.6，所以， 根据二项分布的概率公式. ， ， ， . 所以X的分布列为： 0 1 2 3 0.064 0.288 0.432 0.216 因为，根据二项分布的数学期望公式可得. 16．已知四棱锥，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，，，AD=2，BC=1，，M是PD的中点. (1)求证：直线平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点E，连接得到为二面角的平面角，再建立空间直角坐标系利用向量法即可求得结果. 【详解】（1）如图，取的中点N，连接，又M是PD的中点， 则且，又因为，AD=2，BC=1， 所以且，所以四边形为平行四边形，故, 因为平面,平面,所以直线平面 （2）取的中点E，连接,因为三角形为等边三角形， 所以,且 且，所以四边形为平行四边形，, 因为，所以，所以为二面角的平面角， 所以,，所以三角形为等边三角形， 因为平面,平面， 所以平面,作于点O，因为平面，所以, 又因为平面,平面， 所以平面，如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴， 以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系， 则,, 显然平面的法向量为，设直线CM与平面ABCD所成角为， 则， 故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为. 17．已知数列和满足，，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求的值.（其中表示不大于的最大整数，如） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由已知条件得出，可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而得出，利用前项和与通项的关系可求出数列的通项公式； （2）由放缩法得出，当时，，结合放缩法得出的范围，进而可得出的值. 【详解】（1）由可得，且， 所以，数列是首项和公比都为的等比数列， 所以，，故， 由已知， 可得①， 当时，则有②， ①②得，解得， 也满足， 故对任意的，. （2）因为 ， 所以，， 另一方面，当时， ， 所以，， 所以，， 又因为，因此，. 18．已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求得，即可求解； （2）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解； （3）设设抛物线的切线方程为，联立直线与抛物线得交点坐标关系，设的方程为，联立，求出、，进而求得，利用点到直线的距离公式求出点到直线线的距离，根据三角形面积公式列关系利用导数求出最值即可. 【详解】（1）因为抛物线：的焦点为， 所以， 所以抛物线. （2）由题易知直线的斜率存在．设，则可得． 因为线段的中点为，所以， 所以，则的方程为，即． （3）设抛物线的切线方程为， ，即，由，可得， ，设的方程为， 联立， ，同理， ， 点到直线线的距离，所以， 令， 因为，则，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，此时. 19．函数的定义域为，记的图象在点处的切线方程为．定义集合；集合． (1)若，求； (2)若，为自然对数底数（下同），求证：； (3)若，求，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用导数求出函数在处的切线方程，即可得出的表达式； （2）利用导数求出，利用反证法，取，证明出，推出矛盾，从而可证得结论成立； （3）利用导数的几何意义求出，令，推导出，分析可知，，，且时，，对的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，分析的符号变化，结合集合中的元素特征进行验证，综合得出结果. 【详解】（1）因为，则，所以，，， 所以，函数在处的切线方程为，故. （2）假设，则存在，使得对任意的，则有， 因为，则，所以， 所以，函数在处的切线方程为， 所以，所以， 当时，，与假设矛盾， 因此，假设不成立，即. （3）因为，则， 所以，，， 所以，在处的切线方程为， 所以，， 令， 当时，，可知当时，，因此， ，，且时，， ， 令，则， ①若，则当时，，则在上单调递增， 所以，，即函数在上单调递减， 此时，矛盾； ②若，则当时，，即函数在上单调递增， 所以，即函数在上单调递减， 此时，矛盾； ③若，则当时，， 即函数在上单调递减，则， 所以函数在上单调递减，此时，矛盾； ④若，则矛盾； ⑤若，当时，，则函数在上单调递增， 所以，，则函数在上单调递增， 此时， 当时，，则函数在上单调递减， 所以，则函数在上单调递增， 此时， 当时，，而， 所以，，则函数在上单调递增， 此时，. 综上所述，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08天-解答题模拟测+模拟练（三） 模拟测 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：. 16．甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为. (1)当时，求甲第二局获胜的概率. (2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为. ①求； ②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望. 17．如图，在高为6的直三棱柱中，底面的周长为分别为棱，上的动点. (1)若，证明：平面. (2)求的最小值. (3)若，求平面与底面夹角的余弦值的最大值. 18．已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. (1)求的离心率. (2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且. ①求的方程； ②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点. 19．已知正数的整数部分记为，例如. (1)若，求数列的前项和. (2)设. ①求； ②求数列的通项公式； ③求数列的前100项和. 模拟练 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右： 了解情况 非常了解 一般了解 不了解 人数（名） 580 320 100 (1)从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率； (2)该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望. 16．已知四棱锥，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，，，AD=2，BC=1，，M是PD的中点. (1)求证：直线平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值． 17．已知数列和满足，，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求的值.（其中表示不大于的最大整数，如） 18．已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 19．函数的定义域为，记的图象在点处的切线方程为．定义集合；集合． (1)若，求； (2)若，为自然对数底数（下同），求证：； (3)若，求，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$