专题05 因式分解（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题05 因式分解 题型概览 题型01判断是否因式分解 题型02提公因式法 题型03公式法进行因式分解 题型04提公因式与公式法综合 题型05十字相乘法 题型06分组分配法 题型07因式分解的应用 ( 题型01 )判断是否因式分解 1．（2023·24八年级下·北京·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　    　） A． B． C． D． 2．（2023·24 八年级·湖南长沙·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·24八年级下·云南红河·期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·24八年级下·湖南常德·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． ( 题型0 2 )提公因式法 5．（2023·24八年级下·陕西咸阳·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B．2 C． D． 6．（2023·24八年级下·福建厦门·期末）式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·24八年级下·贵州遵义·期末）如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10．则的值为（    ） A．140 B．70 C．14 D．10 8．（2023·24八年级下·四川成都·期末）已知，，则 ． 9．（2023·24八年级下·江苏淮安·期末）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则的值为 ． 10．（2023·24八年级下·全国·假期作业）因式分解： ． ( 题型0 3 )公式法进行因式分解 11．（2023·24八年级下·辽宁锦州·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2023·24 八年级下·江苏泰州·期末）分解因式： ． 13．（2023·24 八年级下·湖北恩施·期末）因式分解：_______． 14．（2023·24八年级下·河南信阳·期末）如图，这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为，的长方形卡片张现要用这张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ． 15．（2023·24八年级下·江苏南通·期末）已知实数a，b满足，则代数式的最大值为 ． 16．（2023·24八年级下·陕西咸阳·期末）【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：．像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 【问题解决】将下面的式子分解因式： (1)； (2)． 17．（2023·24八年级下·宁夏石嘴山·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． ( 题型0 4 )提公因式与公式法综合 18．（2023·24八年级下·山东烟台·期末）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（2023·24八年级下·江西赣州·期末）乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：城，爱，我，石，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．美丽 B．美丽石城 C．我爱石城 D．石城美 20．（2023·24八年级下·湖北荆门·期末）下列因式分解：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（2023·24八年级下·贵州黔东南·期末）已知，那么的值为 ． 22．（2023·24八年级下·湖北荆门·期末）若，，则代数式的值是 ． 23．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）因式分解： (1) (2) 24．（2023·24八年级下·甘肃陇南·期末）生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：可以因式分解为，当时，，，，此时可以得到数字密码283031． (1)根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？ (2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为、，求出一个由多项式分解因式后得到的密码（只需一个即可）． ( 题型0 5 )十字相乘法 25．（2023·24八年级下·河南驻马店·期末）将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 26．（2023·24八年级下·河南信阳·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 27．（2023·24八年级下·浙江衢州·期末）把多项式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 28．（2023·24八年级下·山东烟台·期末）将如图1所示的一张边长为a的正方形纸片剪去2个长为a，宽为b的长方形以及3个边长为b的正方形之后，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分，请从因式分解的角度，用一个含有a、b的等式表示从图1到图2的变化过程 ．    29．（2023·24八年级下·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 30．（2023·24八年级下·河南南阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． ( 题型0 6 )分组分配法 31．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 32．（2023·24八年级下·福建福州·期末）若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 33．（2023·24八年级下·浙江温州·期末）分解因式 ． 34．（2023·24八年级下·广东汕头·期末）先阅读，再解决问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法． 例如：． (1)分解因式：； (2)若，求m和n的值． 35．（2023·24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)分解因式； (2)若，，分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求的范围． 36．（2023·24八年级下·湖北黄冈·期末）阅读材料并解决问题：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长，，，满足，试判断的形状． ( 题型0 7 )因式分解的应用 37．（2023·24八年级下·天津南开·期末）对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 38．（2023·24八年级下·四川德阳·期末）下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式 任务： (1)小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 (3)由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值． 39．（2023·24八年级下·山西运城·期末）下列各数中，能整除的是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 40．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，若，则的值为 ． 41．（2023·24八年级下·四川南充·期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到的数学等式为．请解答下列问题： (1)图2中所表示的数学等式为___________： (2)请利用第（1）小题中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)小灵同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 42．（2023·24八年级下·安徽合肥·期末）如果一个正整数能写成的形式（其中a、b均为自然数），则称之为聪明数，比如6和24均是聪明数，因为，． (1)请证明：22和88都是聪明数； (2)请证明：任何两个聪明数的乘积依旧是聪明数． 43．（2023·24八年级下·吉林长春·期末）综合实践课上老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设（为整式）， ∵当时，， ∴当时，， 则，解得■． 这种解决问题的方法叫特殊值法，即将题目中某个未知量取一个特殊值，通过运算，得出答案的一种方法． (1)数学思考：例题中“■”处的值为________； (2)方法运用：已知三次四项式有一个因式是，求的值； (3)深入探究：已知关于的多项式分解因式得． ①求、的值； ②________． 44．（2023·24八年级下·浙江杭州·期末）根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． (2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 一、单选题 1．（2023·24八年级下·广东汕尾·期末）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 2．（2023·24八年级下·四川遂宁·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．中华美 C．爱我中华 D．美我中华 3．（2023·24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若多项式 有一个因式是，则这个多项式中的值是（      ） A． B． C． D． 4．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·24八年级下·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 二、填空题 6．（2023·24八年级下·河南洛阳·期末）已知，，则与的大小关系是 ． 7．（2023·24八年级下·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 8．（2023·24八年级下·湖南永州·期末）已知，则代数式的值等于 ． 9．（2023·24八年级下·四川成都·期末）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是 ． 三、解答题 10．（2023·24八年级下·山东威海·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)． 11．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）如果整式A能写成整式B的平方，即，则整式A是完全平方式，例如，，则我们将和称为完全平方式． 在数学学习中，我们经常将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为一个完全平方式来解决问题，例如：． (1)代数式①，②，③，④中，是完全平方式的是 （填序号）； (2)若a，b，c是的三边长，比较与0的大小关系，并说明理由； (3)若，则的最小值为 ． 12．（2023·24八年级下·山东济宁·期末）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 13．（2023·24八年级下·山东临沂·期末）我们知道形如的二次三项式可以分解因式为，所以 但小明在学习中发现，对于还可以使用以下方法分解因式． 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以 所以当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：①；② (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 因式分解 题型概览 题型01判断是否因式分解 题型02提公因式法 题型03公式法进行因式分解 题型04提公因式与公式法综合 题型05十字相乘法 题型06分组分配法 题型07因式分解的应用 ( 题型01 )判断是否因式分解 1．（2023·24八年级下·北京·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　    　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2023·24 八年级·湖南长沙·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； 故选C． 3．（2023·24八年级下·云南红河·期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：．，等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，是用完全平方公式进行的因式分解，故该选项符合题意； 故选：D. 4．（2023·24八年级下·湖南常德·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，从左到右是整式相乘，故A错误； B、，符合因式分解的定义，故B正确； C、，右边式子不是乘积的形式，故C错误； D、，右边式子不是乘积的形式，故D错误． 故选：B． ( 题型0 2 )提公因式法 5．（2023·24八年级下·陕西咸阳·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：多项式的公因式是． 故选D． 6．（2023·24八年级下·福建厦门·期末）式子与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：；， 式子与的公因式是， 故选：A． 7．（2023·24八年级下·贵州遵义·期末）如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10．则的值为（    ） A．140 B．70 C．14 D．10 【答案】B 【详解】解：∵该长方形的周长为14，面积为10， ∴，则， ∴， 故选：B． 8．（2023·24八年级下·四川成都·期末）已知，，则 ． 【答案】6 【详解】解：，， ． 故答案为：6． 9．（2023·24八年级下·江苏淮安·期末）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2023·24八年级下·全国·假期作业）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． ( 题型0 3 )公式法进行因式分解 11．（2023·24八年级下·辽宁锦州·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、， 故不符合题意； 故选：C． 12．（2023·24 八年级下·江苏泰州·期末）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 13．（2023·24 八年级下·湖北恩施·期末）因式分解：_______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 14．（2023·24八年级下·河南信阳·期末）如图，这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为，的长方形卡片张现要用这张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ． 【答案】/ 【详解】解：这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为的长方形卡片张．现要用这张卡片拼成一个大正方形， 这个大正方形的面积是， ∵， ∴这个大正方形的边长为： 故答案为：． 15．（2023·24八年级下·江苏南通·期末）已知实数a，b满足，则代数式的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，即， ∴ 时，的最大值为 故答案为： 16．（2023·24八年级下·陕西咸阳·期末）【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：．像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 【问题解决】将下面的式子分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 17．（2023·24八年级下·宁夏石嘴山·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底，； (3) 【详解】（1）解：，是利用了两数和的完全平方公式， 故选：C． （2）解： ， 该同学因式分解的结果不彻底， ， ． （3）解：设， ． ( 题型0 4 )提公因式与公式法综合 18．（2023·24八年级下·山东烟台·期末）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 故选：D． 19．（2023·24八年级下·江西赣州·期末）乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：城，爱，我，石，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．美丽 B．美丽石城 C．我爱石城 D．石城美 【答案】C 【详解】解：∵ ， 又∵，，，，分别对应下列四个个字：我，爱，石，城， ∴结果呈现的密码信息是：我爱石城． 故选：C． 20．（2023·24八年级下·湖北荆门·期末）下列因式分解：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①，故原式错误； ②，故原式正确； ③，故原式错误； ④，故原式错误； 综上所述，正确的有②，共个， 故选：． 21．（2023·24八年级下·贵州黔东南·期末）已知，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为： 22．（2023·24八年级下·湖北荆门·期末）若，，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 23．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 24．（2023·24八年级下·甘肃陇南·期末）生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：可以因式分解为，当时，，，，此时可以得到数字密码283031． (1)根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？ (2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为、，求出一个由多项式分解因式后得到的密码（只需一个即可）． 【答案】(1)可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015 (2)24121(答案不唯一) 【详解】（1）， 当，时，，， 可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015； （2）由题意得：解得， 而， 所以可得数字密码为24121． ( 题型0 5 )十字相乘法 25．（2023·24八年级下·河南驻马店·期末）将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 26．（2023·24八年级下·河南信阳·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，因式分解正确，选项正确； B、，因式分解错误，不符合题意； C、，因式分解错误，不符合题意； D、，因式分解错误，不符合题意； 故选：A． 27．（2023·24八年级下·浙江衢州·期末）把多项式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 故选：C． 28．（2023·24八年级下·山东烟台·期末）将如图1所示的一张边长为a的正方形纸片剪去2个长为a，宽为b的长方形以及3个边长为b的正方形之后，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分，请从因式分解的角度，用一个含有a、b的等式表示从图1到图2的变化过程 ．    【答案】 【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：． 29．（2023·24八年级下·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．（2023·24八年级下·河南南阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为的值为20 【详解】解：解法一：设另一个因式为， 由题意得：， 则， 解得：， 另一个因式为的值为20． 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，， 把代入， 得， 而． 另一个因式是的值为20． ( 题型0 6 )分组分配法 31．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 32．（2023·24八年级下·福建福州·期末）若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：． 33．（2023·24八年级下·浙江温州·期末）分解因式 ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 34．（2023·24八年级下·广东汕头·期末）先阅读，再解决问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法． 例如：． (1)分解因式：； (2)若，求m和n的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 35．（2023·24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)分解因式； (2)若，，分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求的范围． 【答案】(1) (2)①为等腰三角形，理由见详解；② 【详解】（1）解： ； （2）解：①为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，，分别为三边的长， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形； ②∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∵，，分别为三边的长， ∴，即， ∴， 即c的范围为． 36．（2023·24八年级下·湖北黄冈·期末）阅读材料并解决问题：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长，，，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【详解】（1）解： ； （2）解：的三边长，，满足， ， ， ， ， ． 是等腰三角形． ( 题型0 7 )因式分解的应用 37．（2023·24八年级下·天津南开·期末）对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 【答案】A 【详解】解： ， ∴多项式一定能8整除， 故选：A． 38．（2023·24八年级下·四川德阳·期末）下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式 任务： (1)小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________． (2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 (3)由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值． 【答案】(1)不彻底， (2) (3) 【详解】（1）解：不彻底， 设． 原式 ； 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ， 最小值为． 39．（2023·24八年级下·山西运城·期末）下列各数中，能整除的是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【详解】解： ， ∴能整除的是2024， 故选：D． 40．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，若，则的值为 ． 【答案】900 【详解】解：设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 41．（2023·24八年级下·四川南充·期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到的数学等式为．请解答下列问题： (1)图2中所表示的数学等式为___________： (2)请利用第（1）小题中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； (3)小灵同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，7张两边分别为的长方形纸片拼出了一个大长方形，请你直接写出该大长方形的长和宽． 【答案】(1) (2)19 (3)大长方形的长为，宽为 【详解】（1）解：从总体看，大正方形的边长为，面积为； 从部分看，图形的面积为； ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴； （3）解：由题意可知：， ∴大长方形的长为，宽为． 42．（2023·24八年级下·安徽合肥·期末）如果一个正整数能写成的形式（其中a、b均为自然数），则称之为聪明数，比如6和24均是聪明数，因为，． (1)请证明：22和88都是聪明数； (2)请证明：任何两个聪明数的乘积依旧是聪明数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴22和88都是聪明数； （2）证明：设两个聪明数分别为和（其中a、b、、均为自然数）， ∵ ， ∴任何两个聪明数的乘积依旧是聪明数． 43．（2023·24八年级下·吉林长春·期末）综合实践课上老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设（为整式）， ∵当时，， ∴当时，， 则，解得■． 这种解决问题的方法叫特殊值法，即将题目中某个未知量取一个特殊值，通过运算，得出答案的一种方法． (1)数学思考：例题中“■”处的值为________； (2)方法运用：已知三次四项式有一个因式是，求的值； (3)深入探究：已知关于的多项式分解因式得． ①求、的值； ②________． 【答案】(1)24 (2) (3)①；② 【详解】（1）解：， ， ∴， 故答案为：24； （2）解：设， 令，则有：， 解得，； （3）解：①由题意得， 令，则，即； 令，则，即， ∴， 解得：； ②此时关于的多项式为， 则由题意得：， 设， ∴， ， ∴， 解得：， 经检验，符合题意， ∴， 故答案为：． 44．（2023·24八年级下·浙江杭州·期末）根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． (2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；② 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； ③， ， ， 故答案为：； （2）解：①， ， ， ， ， ； ② ， ． 一、单选题 1．（2023·24八年级下·广东汕尾·期末）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 2．（2023·24八年级下·四川遂宁·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．中华美 C．爱我中华 D．美我中华 【答案】C 【详解】解： ， ∴结果呈现的密码是由爱，我，中，华这四个字组成的， ∴四个选项中只有C选项符合题意． 故选：C． 3．（2023·24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若多项式 有一个因式是，则这个多项式中的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：多项式有一个因式是， ∴另一个因式的的系数为，另一数为， ∴另一个因式为， ∴ ∴ ∴， 故选：B 4．（2023·24八年级下·山东淄博·期末）将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： ∴， 故选：C． 5．（2023·24八年级下·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】解：由题意得，①，②， ①-②得，， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．（2023·24八年级下·河南洛阳·期末）已知，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【详解】解： ，， ， 故答案为： ． 7．（2023·24八年级下·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2023·24八年级下·湖南永州·期末）已知，则代数式的值等于 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（2023·24八年级下·四川成都·期末）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是 ． 【答案】2116 【详解】解：． ，，， ， 可因式分解，变为， 同理， ， 原式 ， 故为一个平方数， 且，，为整数， ，，至少有一个是偶数，于是为偶数， ， ． 故答案为：2116． 三、解答题 10．（2023·24八年级下·山东威海·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 11．（2023·24八年级下·湖北武汉·期末）如果整式A能写成整式B的平方，即，则整式A是完全平方式，例如，，则我们将和称为完全平方式． 在数学学习中，我们经常将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为一个完全平方式来解决问题，例如：． (1)代数式①，②，③，④中，是完全平方式的是 （填序号）； (2)若a，b，c是的三边长，比较与0的大小关系，并说明理由； (3)若，则的最小值为 ． 【答案】(1)①③④ (2)，见解析 (3) 【详解】（1）解：∵①， ③， ④， 故答案为：①③④； （2）； 理由：∵a，b，c是的三边长， ∴，，，， ∴ ； （3）∵， ∴ ， 故答案为：． 12．（2023·24八年级下·山东济宁·期末）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值20 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 当时，多项式有最大值20． 13．（2023·24八年级下·山东临沂·期末）我们知道形如的二次三项式可以分解因式为，所以 但小明在学习中发现，对于还可以使用以下方法分解因式． 教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以 所以当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：①；② (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中的值． 【答案】(1)①；② (2)当时，多项式有最大值，最大值为11 (3) 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意得， ， ， ， 当时，多项式有最大值11． （3）解：， ∴， 配方得， 解得：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$