专题05 三角形中的范围与最值问题（6大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题05 三角形中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：周长问题 题型二：面积问题 题型三：长度及长度之和范围与最值问题 题型四：转化为角范围问题 题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题 题型六：倍角问题 【知识点梳理】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． 【典型例题】 题型一：周长问题 【例1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，角，．    (1)若AB＝2，CD＝BC，求四边形ABCD的面积； (2)求周长的最大值． 【解析】（1）在中，，，由余弦定理得， 即，而，解得， 因此的面积， 在中，，，则是正三角形，其面积为， 所以四边形ABCD的面积 （2）在中，由余弦定理得， 即， 即，当且仅当时取等号，则 所以当时，周长取得最大值. 【变式1-1】（23-24高一下·贵州黔西·期末）在①；②；③（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答. 在中，角的对边分别为，且______. (1)求外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【解析】（1）若选①： 由正弦定理得：，即， 又因为，则， 所以，又，则， 所以，又，所以， 因为，所以由正弦定理得，故. 若选②： 由正弦定理得：，化简得：， 又由余弦定理得：， 因为，所以， 因为，所以由正弦定理得，故. 若选③： 因为，则， 则， 又由正弦定理得：， 又，， 所以，即， 又因为，则， 所以，又，则， 所以，又，所以， 因为，所以由正弦定理得，故. （2）由正弦定理得：，则，， 所以，又，， 所以， 则， ∵为锐角三角形， ∴，即，解得：， ∴，则， ∴，即，故， 所以周长的取值范围. 【变式1-2】（23-24高一下·湖南怀化·期末）在中，角的对边分别为，. (1)若，求的面积； (2)若，求周长的取值范围. 【解析】（1）因为， 由正弦定理，可得， 又由，可得， 所以， 所以， 即， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以， 所以的面积为. （2）由（1）可知， 由正弦定理得，所以， 所以 ， 因为， 所以，所以， 所以， 故周长的取值范围为. 题型二：面积问题 【例2】（23-24高一下·山东烟台·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． (1)求B的大小： (2)若，求周长的取值范围； (3)若边上的高为1，求面积的最小值． 【解析】（1）选择①：因为，所以， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，所以，所以， 又，所以． 选择②：因为， 由正弦定理得，， 即，即， 即，即， 由余弦定理得，， 又，所以． （2）由余弦定理得，， 即，即， 所以，得，当且仅当时取得等号， 所以周长的取值范围为． （3）由面积公式，得， 由余弦定理可得，即， 所以，所以，当且仅当“”时等号成立 所以， 所以面积的最小值为． 【变式2-1】（24-25高一下·山东·期中）在中，点在线段上，满足，过线段中点的直线与边，分别交于点，设，． (1)用表示； (2)设的面积为，四边形的面积为，求的最小值． 【解析】（1）因为，所以，所以，即， 点是线段的中点，所以， 故； （2）因为三点共线，所以存在实数使得，所以，即， 又因为，，所以， 由（1）知，所以，所以，即, 根据基本不等式，，所以，当且仅当即时等号成立，所以， 的面积为， 四边形的面积为， 所以， 故的最小值为. 【变式2-2】（24-25高一下·安徽·期中）骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域．    (1)若，求文化介绍区域的面积； (2)求休闲娱乐的区域的面积的最大值． 【解析】（1）在中，有，，， 由余弦定理可得， ， 所以，. 又易知，则. 设，则， 在中，有，，， 由余弦定理可得， . 在中，有，，， 由余弦定理可得， . 所以有， 所以，， 此时 （2）不妨设， 在中，由余弦定理得. 由正弦定理可得， 整理可得. 又， 所以有， 化简可得. 则 . 又，所以， 所以，当，即时该式取最大值， 所以. 题型三：长度及长度之和范围与最值问题 【例3】（24-25高一下·四川凉山·期中）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)若，求的值； (3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. 【解析】（1） ， 令，则， 故函数的单调增区间为； （2），则， ， ； （3），则， 又，则， 故，即， ， 在锐角中，，则， 令， 则. 【变式3-1】（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边上一点． (1)若，，求； (2)若，平分，，求的取值范围； (3)若于点，且，求的最大值． 【解析】（1）因为， 由余弦定理可得，整理得， 又，所以，则， 所以，所以， 由余弦定理， 又，所以； （2）因为，即， 所以， 由余弦定理， 所以， 所以， 因为，且，所以，当且仅当时取等号，则 所以，令，则，， 所以， 因为在上单调递增， 当时，当时， 所以，即的取值范围为. （3）设，由，所以， 又， 即， 又，所以， 所以， 如图在中过点作的垂线且使，则， 因为，所以， 即，所以， 所以的最大值为. 【变式3-2】（24-25高一下·福建福州·阶段练习）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. (1)求角； (2)若，D为中点，，求b； (3)若，求的取值范围. 【解析】（1）因为， 根据正弦定理，得， 所以， 所以， 即， 因为，所以， 又，所以； （2）因为D为中点，所以， 所以， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故； （3）由正弦定理：， 所以，， 因为，所以，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以， 所以，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 题型四：转化为角的范围 【例4】（23-24高一下·陕西铜川·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，因为， 所以，即， 可得． （2）由正弦定理得， 即，且， 所以． 因为为锐角三角形，，所以， 所以，即． 可得， 即的取值范围为． 【变式4-1】（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 【解析】（1）由可得， ，故， ，， 由于， 由于为锐角三角形，因此，故. （2）, 由于，所以，故， . 【变式4-2】（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【解析】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题 【例5】（24-25高一下·湖北·期中）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，且． (1)求角B的大小． (2)求的取值． 【解析】（1）化简可得：， ， 整理得：， 所以，即， 因为，所以. 根据正弦定理可得：则， 又因为，所以，解得， 由于是锐角三角形，所以 （2）由余弦定理：， 所以 利用面积公式： ,代入 得： ，结合余弦定理 ,得： ，即 ,此时三角形为等边三角形, , 故： 【变式5-1】（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． (1)求A； (2)若为锐角三角形，求B的取值范围； (3)在（2）的条件下，已知，求的取值范围． 【解析】（1）由余弦定理可得：， 所以， 解得：，因为，所以. （2）为锐角三角形，所以， 所以，解得：. （3）因为，，所以由正弦定理可得：， 所以 因为，所以， 所以，所以的取值范围为. 【变式5-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，求的值； (2)若，平分，求的值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【解析】（1）由得， 由正弦定理得， 即， 得， 因为，为三角形内角，所以或（舍去）， 所以， 因，则． （2）由（1）得，平分，则， 设，因，则， 因为平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，，在中由余弦定理得，， 由，得，， 又因为，则，，所以． （3）在中由正弦定理得， 得，，所以， 又因为， 所以 因为为锐角三角形，则，且， 则，，解得，则， 所以， 所以周长的取值范围为． 题型六：倍角问题 【例6】的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】根据题意得，，故， 在中，由正弦定理， 得， 因，所以，故， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【变式6-1】已知是锐角三角形，若，则的取值范围是_____. 【答案】（） 【解析】解：， 由正弦定理可得：， 当为最大角时，，， 当为最大角时，，， ， 可得：，、 故， 故答案为：． 【变式6-2】已知是锐角三角形，分别是的对边.若，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】，， ， 又是锐角三角形， ，解得， 由正弦定理得：， 由，得，即， 令 ， 令， 则在上单调递增， ，即的范围是. 故答案为：. 【强化训练】 1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)若，，求的面积； (2)若，求的周长的取值范围. 【解析】（1），由正弦定理可得，，即， 由余弦定理可得， ，，解得， ； （2）由（1）可知，正弦定理可得， ， ， 为锐角三角形，∴，解得， 所以，所以， 所以， 所以， 即的周长的取值范围. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 【解析】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． （2）因为为锐角三角形，所以即解得． 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 3．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【解析】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以            ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 4．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 【解析】（1）， 令，则，， 函数的对称中心为． （2）由可知，， 化简有， 则 ． （3）由可得，即， 又，所以， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 5．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求周长的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理得， 则， 所以， 即， 由于，所以，所以， 则，，由于， 所以. （2）若，由正弦定理得， 所以， 所以三角形的周长为 ， 由于三角形是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以三角形周长的取值范围是. 6．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 【解析】（1）在中，， 由余弦定理得，，即， 化简得，解得（舍），或， 故的长为； （2）已知点D在平面内，且， 则四点共圆，， 则， 在中，由余弦定理得，， 则， ，， 解得，当且仅当时等号成立. 即的最大值为， 又，故四边形周长的最大值为. 7．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知在锐角中，三边的对角分别为，且 (1)求角的值； (2)若，求的周长的取值范围． 【解析】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，可得， 将其代入，可得 ， 根据余弦定理得， 由此可得，又为锐角，所以； （2）由（1）正弦定理， ， ， 又因为为锐角三角形，所以， 又， ， ，即， 所以， 又，，即， 故锐角的周长的取值范围为. 8．（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 【解析】（1）选①， 由正弦定理可得，即得， 即有，由于，可得，即. 选②， 由正弦定理可得， 因为，，所以，即. 由于，可得. 选③， 由正弦定理和诱导公式可得，即为， 由余弦定理可得. 由于，可得. （2）由（1）知，由余弦定理可得， 即为，而，即. 若，则，可得（当且仅当时取得等号）， 则，所以周长的最小值为6. 9．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知的内角所对的边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值． 【解析】（1）由正弦定理得， 由三角形内角和，所以， 因为，所以，可得. （2）结合（1）由正弦定理得， 由利用等面积法求得的最大值，易知， 故 由（1）和余弦定理可得，故， 且，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为． 故，故的最大值为， 则，的最小值为. 10．（23-24高一下·辽宁·期末）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 又，所以 （2）由余弦定理，即， 所以，又，所以，显然， 所以，当且仅当时取等号， 又，所以， 所以周长的取值范围为. 11．（23-24高一下·海南海口·期末）已知函数，的最小值为. (1)求的值； (2)求的解集； (3)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围. 【解析】（1） 因为的最小值为，所以当时，， 所以. （2）由（1）知，，则，即， 所以或，解得或，， 的解集为：或. （3）因为在锐角中，，，， 所以，即 所以，所以， 设的外接圆半径为R，则有 所以 所以 又 所以，所以， 所以周长的取值范围为 12．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积是，求； (3)若为边上一点，且满足，，试求的最大值． 【解析】（1）由余弦定理可得， 又，即，， ，； （2），， 又，，， ，； （3）取的中点为，则，   ， ，，又，为等边三角形，， 在中，由余弦定理可得， 即， 又由基本不等式可得， ，当且仅当时等号成立， ，的最大值为4． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：周长问题 题型二：面积问题 题型三：长度及长度之和范围与最值问题 题型四：转化为角范围问题 题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题 题型六：倍角问题 【知识点梳理】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． 【典型例题】 题型一：周长问题 【例1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，角，．    (1)若AB＝2，CD＝BC，求四边形ABCD的面积； (2)求周长的最大值． 【变式1-1】（23-24高一下·贵州黔西·期末）在①；②；③（其中为的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答. 在中，角的对边分别为，且______. (1)求外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【变式1-2】（23-24高一下·湖南怀化·期末）在中，角的对边分别为，. (1)若，求的面积； (2)若，求周长的取值范围. 题型二：面积问题 【例2】（23-24高一下·山东烟台·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． (1)求B的大小： (2)若，求周长的取值范围； (3)若边上的高为1，求面积的最小值． 【变式2-1】（24-25高一下·山东·期中）在中，点在线段上，满足，过线段中点的直线与边，分别交于点，设，． (1)用表示； (2)设的面积为，四边形的面积为，求的最小值． 【变式2-2】（24-25高一下·安徽·期中）骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域．    (1)若，求文化介绍区域的面积； (2)求休闲娱乐的区域的面积的最大值． 题型三：长度及长度之和范围与最值问题 【例3】（24-25高一下·四川凉山·期中）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)若，求的值； (3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. 【变式3-1】（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边上一点． (1)若，，求； (2)若，平分，，求的取值范围； (3)若于点，且，求的最大值． 【变式3-2】（24-25高一下·福建福州·阶段练习）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. (1)求角； (2)若，D为中点，，求b； (3)若，求的取值范围. 题型四：转化为角的范围 【例4】（23-24高一下·陕西铜川·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【变式4-1】（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 【变式4-2】（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 题型五：与锐角三角形结合的范围与最值问题 【例5】（24-25高一下·湖北·期中）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，且． (1)求角B的大小． (2)求的取值． 【变式5-1】（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． (1)求A； (2)若为锐角三角形，求B的取值范围； (3)在（2）的条件下，已知，求的取值范围． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，求的值； (2)若，平分，求的值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 题型六：倍角问题 【例6】的内角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为______. 【变式6-1】已知是锐角三角形，若，则的取值范围是_____. 【变式6-2】已知是锐角三角形，分别是的对边.若，则的取值范围是_________. 【强化训练】 1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)若，，求的面积； (2)若，求的周长的取值范围. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 3．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 4．（23-24高一下·四川成都·期中）已知，，函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围． 5．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求周长的取值范围． 6．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 7．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知在锐角中，三边的对角分别为，且 (1)求角的值； (2)若，求的周长的取值范围． 8．（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________. (1)求角B； (2)若，求周长的最小值. 9．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知的内角所对的边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值． 10．（23-24高一下·辽宁·期末）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 11．（23-24高一下·海南海口·期末）已知函数，的最小值为. (1)求的值； (2)求的解集； (3)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围. 12．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积是，求； (3)若为边上一点，且满足，，试求的最大值． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$