专题04 解三角形图形类问题（6大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题04 解三角形图形类问题 【题型归纳目录】 题型一：同角余弦相等列方程 题型二：两次使用正弦定理 题型三：中线问题 题型四：角平分线问题 题型五：高问题 题型六：外接圆与内切圆问题 【知识点梳理】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典型例题】 题型一：同角余弦相等列方程 【例1】（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【变式1-1】（2025·福建·模拟预测）在中，D为BC的中点，且. (1)求； (2)若，求. 题型二：两次使用正弦定理 【例2】（23-24高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【变式2-1】（22-23高一下·河南开封·期中）已知四边形是由与拼接而成，如图所示，，.    (1)求证：； (2)若，，求的长. 题型三：中线问题 【例3】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图．在锐角中，边上的中线长为，且，．    (1)求边的长； (2)求的面积． 【变式3-1】（23-24高一下·四川宜宾·期末）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c． 条件①：中线AD长为；条件②：△ABC的面积为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【变式3-2】（23-24高一下·河北唐山·期末）在中，是边上的中线. (1)求的面积； (2)求中线的长. 题型四：角平分线问题 【例4】（22-23高一下·福建龙岩·期中）已知的三个内角的对边分别是，且满足． (1)求角的值； (2)若角的角平分线交于，且，边上的中线交于点，且，求的面积． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设分别为三个内角，，的对边， 已知. (1)求； (2)若，是的平分线且交于点， 求线段的长. 【变式4-2】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在中，，是的平分线，． (1)若为锐角，，求的长； (2)若，求的面积． 题型五：高问题 【例5】（23-24高一下·北京西城·期末）在中，分别是三个内角的对边，． (1)求的大小； (2)若，且边上的高是边上的高的2倍，求及的面积． 【变式5-1】（23-24高一下·安徽阜阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为． (1)求角； (2)点在边AC上，且，若______（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①BD是边AC上的高；②BD是边AC上的中线；③BD是角的平分线． 【变式5-2】（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，，CH为AB边上的高，H为垂足，，其中m，，求的值． 题型六：外接圆与内切圆问题 【例6】（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，. (1)求四边形ABCD周长的最大值; (2)若，求AC的长. 【变式6-1】（23-24高一下·广东东莞·期中）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部拟在以水源O为圆心空地上，规划一个四边形形状的动植物园.如图：四边形内接于圆O（注：圆的内接四边形的对角互补），为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的植物浇水灌溉，水源O必须在植物园区的内部或边界上）.又根据规划已知千米，千米. (1)若，且，求边的长为多少千米？ (2)若线段千米，求动植物园的面积（即四边形的面积）的最大值为多少平方千米？ 【变式6-2】（22-23高一下·吉林长春·期中）在中，已知，，． (1)求面积； (2)求内切圆半径． 【强化训练】 1．（22-23高一下·河北唐山·期末）在中，内角，，的对边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线，求的周长. 2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）设内角所对的边分别为，已知，且． (1)求的面积； (2)若为角的平分线，交于，求的长度． 3．（2025·辽宁·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中. (1)求A； (2)已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长. 4．（23-24高一下·湖南·期中）设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，角的平分线交边于，求的值. 5．（23-24高一下·福建福州·期中）已知的面积为，且且. (1)求角的大小； (2)设为的中点，且，求线段的长度. (3)在满足（2）的条件下，若的平分线交于，求线段的长度. 6．（23-24高一下·北京顺义·期中）在中，角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 7．（22-23高一下·四川达州·期中）已知的内角的对边分别为，且的面积为. (1)求； (2)若为的中点，边上的高为，求的长. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解三角形图形类问题 【题型归纳目录】 题型一：同角余弦相等列方程 题型二：两次使用正弦定理 题型三：中线问题 题型四：角平分线问题 题型五：高问题 题型六：外接圆与内切圆问题 【知识点梳理】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典型例题】 题型一：同角余弦相等列方程 【例1】（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【解析】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 【变式1-1】（2025·福建·模拟预测）在中，D为BC的中点，且. (1)求； (2)若，求. 【解析】（1）由，可得，如图所示： 在中，由正弦定理得， 所以 在中，由正弦定理得， 所以 故 因为为的中点， 所以，即， （2）由（1）不妨设 在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得. 所以. 解得. 故 题型二：两次使用正弦定理 【例2】（23-24高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【解析】（1），，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . （2）在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 【变式2-1】（22-23高一下·河南开封·期中）已知四边形是由与拼接而成，如图所示，，.    (1)求证：； (2)若，，求的长. 【解析】（1）由题意证明如下， 在中，， ∴. ∵， ∴. 在中，由正弦定理得， ， 即，， ∴， ∴. （2）由题意及（1）得 设，， ，，，，， 则在中，由正弦定理得，，即， 可得，① 在中，由正弦定理得，， 可得， 可得，② 联立①②，可得， 可得，可得，. 在中，由正弦定理得，，可得. 在中，由余弦定理得，， 可得， 可得，解得或（舍）， ∴的长为. 题型三：中线问题 【例3】（23-24高一下·广东广州·阶段练习）如图．在锐角中，边上的中线长为，且，．    (1)求边的长； (2)求的面积． 【解析】（1）因为， 所以，所以在锐角中，， 由正弦定理得，， 即，解得. （2）由（1）知， ， 因为，为锐角三角形，所以， 由余弦定理得，， 解得或， 又， 所以，， 所以的面积为. 【变式3-1】（23-24高一下·四川宜宾·期末）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c． 条件①：中线AD长为；条件②：△ABC的面积为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）中，已知， 由正弦定理得， 又， 则有， 由，，得， 则有， 由，有，所以，得． （2）若选择条件①： 由，余弦定理得， 由，有，得， 由，解得：，或，． 若选择条件②； 由，得， △ABC的面积，得， 由，解得：，或，． 【变式3-2】（23-24高一下·河北唐山·期末）在中，是边上的中线. (1)求的面积； (2)求中线的长. 【解析】（1）在中，由正弦定理得， 所以. 解得. 因为，所以， 所以， 所以. 又， 所以的面积. （2）在中，，因为是中点， 所以，由余弦定理，得 . 所以. 题型四：角平分线问题 【例4】（22-23高一下·福建龙岩·期中）已知的三个内角的对边分别是，且满足． (1)求角的值； (2)若角的角平分线交于，且，边上的中线交于点，且，求的面积． 【解析】（1）在中，由正弦定理可得，即， 因为，可得， 即， 又由余弦定理可得，可得，即， 因为，所以. （2）因为为角的角平分线，所以， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又因为，所以， 因为，所以，即， 因为为中线，所以， 即， 即，所以，， 所以的面积为. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设分别为三个内角，，的对边， 已知. (1)求； (2)若，是的平分线且交于点， 求线段的长. 【解析】（1）由正弦定理可知， 所以，即，则， 因为，所以，则， 所以； （2）因为，所以， 则，解得. 【变式4-2】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在中，，是的平分线，． (1)若为锐角，，求的长； (2)若，求的面积． 【解析】（1）方法一：，B是三角形内角，， 由正弦定理得：，又，所以， 即，由为锐角可知：， 易得，即，， 于是在中，有， 即， 解得：． 方法二：由题，，设，由余弦定理可得：， 即，可化为： 解得或 ， 当时，易知，不符合题意， ，此时， 于是在中，有， 即， 解得：． （2）设，则，在△ABC中，由余弦定理可得：， 解得：或． 因为AD是的平分线，所以， 即，而，所以． 又由（1）知， ①当时，； ②当时，． 综上，的面积为或． 题型五：高问题 【例5】（23-24高一下·北京西城·期末）在中，分别是三个内角的对边，． (1)求的大小； (2)若，且边上的高是边上的高的2倍，求及的面积． 【解析】（1）由正弦定理可得， 因为，所以. 所以 所以 因为，所以，， 所以，所以，即. （2）因为边上的高是边上的高的2倍，， 所以由等面积法知， 所以， 所以， 所以 【变式5-1】（23-24高一下·安徽阜阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为． (1)求角； (2)点在边AC上，且，若______（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①BD是边AC上的高；②BD是边AC上的中线；③BD是角的平分线． 【解析】（1）在中，由及余弦定理，得， 整理得，于是，而， 所以. （2）选①，BD是边AC上的高，由三角形面积公式得， 即，由（1）知，，当且仅当时取等号， 因此，解得， 所以当时，取得最小值. 选②，BD是边AC上的中线，则， 两边平方得，即， 当且仅当时取等号，于是，由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值. 选③，BD是角的平分线，由三角形面积公式，得， 即，整理得， 当且仅当时取等号，，由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值. 【变式5-2】（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，，CH为AB边上的高，H为垂足，，其中m，，求的值． 【解析】（1）中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又因为为的内角，所以，， 所以． 所以，，则有，得． （2），，如图， 则， 所以， 由题意知，所以， 即． 所以，所以． 题型六：外接圆与内切圆问题 【例6】（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，. (1)求四边形ABCD周长的最大值; (2)若，求AC的长. 【解析】（1）方法1、连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，解得， 设，则， 再在中，由正弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，周长的最大值为. 方法2、连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，可得， 在中，由余弦定理得 所以， 因为当且仅当时等号成立， 所以， 所以周长的最大值为. （2）依题意得，设， 在中由余弦定理得，可得， 所以，解得，所以， 可得，所以， 在中，由正弦定理，所以， 则， 在中，由余弦定理得， 所以. 【变式6-1】（23-24高一下·广东东莞·期中）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部拟在以水源O为圆心空地上，规划一个四边形形状的动植物园.如图：四边形内接于圆O（注：圆的内接四边形的对角互补），为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的植物浇水灌溉，水源O必须在植物园区的内部或边界上）.又根据规划已知千米，千米. (1)若，且，求边的长为多少千米？ (2)若线段千米，求动植物园的面积（即四边形的面积）的最大值为多少平方千米？ 【解析】（1）在中，由余弦定理得 ， 故， 因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即，故； （2）设，则， 水源O必须在植物园区的内部或边界上，故须为锐角三角形或直角三角形， 故， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 故，解得， 又，当且仅当时，， 所以，所以， 所以， 其中，， 故四边形的面积为 ， 故当时，取得最大值，最大值为. 故面积最大值为平方千米. 【变式6-2】（22-23高一下·吉林长春·期中）在中，已知，，． (1)求面积； (2)求内切圆半径． 【解析】（1）因为，，， 所以． （2）由， 解得， 设内切圆半径为， 则， 所以， 故内切圆半径为． 【强化训练】 1．（22-23高一下·河北唐山·期末）在中，内角，，的对边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线，求的周长. 【解析】（1）由正弦定理得：， 即，即. 因为，所以. 因为 , 所以. （2）已知， 在中，由余弦定理得：①， 由为的中线，得， 两边平方得②， 联立①②得， 所以 的周长为. 2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）设内角所对的边分别为，已知，且． (1)求的面积； (2)若为角的平分线，交于，求的长度． 【解析】（1）由余弦定理可得：，即， 因为，，所以， 所以； （2）因为为角的平分线，所以 因为， 所以，而， 所以. 3．（2025·辽宁·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中. (1)求A； (2)已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长. 【解析】（1）根据题意可得， 由正弦定理得， 又， 故， 又，所以，则， 因为，所以. （2）因为， 所以， 又平分，所以， 所以， 则，即 由余弦定理得，即， 所以，解得（负值舍去）， 故的周长为. 4．（23-24高一下·湖南·期中）设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，角的平分线交边于，求的值. 【解析】（1）已知，由正弦定理得：， 整理可得，所以， 由于，所以. （2）    由得， 角的平分线交边于，得， 且， ， ，又， 联立解得或， 因为， 由角平分线定理可得，. 5．（23-24高一下·福建福州·期中）已知的面积为，且且. (1)求角的大小； (2)设为的中点，且，求线段的长度. (3)在满足（2）的条件下，若的平分线交于，求线段的长度. 【解析】（1）因为， 所以， 因为，所以， ∴， 又，∴. （2）如下图所示： 在中，为中线，∴， ∴ 而，∴. 由（1）知：， 所以， 又， ∴，， 由余弦定理可得：， 所以， （3）因为， ， 又， ∴，又， 所以 又，∴， 在中，有： ， 所以. 6．（23-24高一下·北京顺义·期中）在中，角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 【解析】（1）由正弦定理，，即， 因，故,即是锐角，故； （2） 如图，由余弦定理，， 知角是锐角，则， 作于点，在中，, 即边上的高是. 7．（22-23高一下·四川达州·期中）已知的内角的对边分别为，且的面积为. (1)求； (2)若为的中点，边上的高为，求的长. 【解析】（1）， 由正弦定理得 则,又， 则， ，又, . （2） 又，， ， 又, 所以， 又因为， 所以 ， 14 学科网（北京）股份有限公司 $$