专题4.8 一次函数的应用（1）一次函数与方程、不等式（专项练习）（培优拓展）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题4.8 一次函数的应用（1）一次函数与方程、不等式（专项练习）（培优拓展） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）若一次函数 （k为常数且）的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的平移，根据一次函数图象的平移即可得到答案，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 解：∵是由的图象向右平移个单位得到的， ∴将一次函数的图象上的点向右平移个单位得到的点的坐标为， ∴当时，方程的解为， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键． 根据一次函数与一元一次不等式的关系即可解答． 解：∵不等式的解集是， ∴该函数图象过且当时，函数图象在x轴的上方，． 故选A． 3．（24-25七年级上·全国·期末）直线与x轴交于点，下列说法正确的是（　　） A． B．直线上两点，若，则 C．直线经过第四象限 D．关于x的方程的解为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和系数的关系、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质、一次函数与方程的关系逐项判断即可． 解：A．由与x轴交于点，则，解得，故A错误，不符合题意； B．由，则y随x的增大而增大，直线上两点，若，则，故B错误，不符合题意； C．由、，则直线经过一、二、三象限，故C错误，不符合题意； D．由直线与x轴交于点，则当时，函数，即关于x的方程的解为，故D正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一次函数的基本性质及交点和三角形面积问题，根据题意得出，，结合图形计算面积即可，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点方法是解题关键 解：∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∵一次函数, ∴当时，， 解得： ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 边上的高即为点A的纵坐标1， ∴的面积为：， 故选：B 5．（24-25八年级上·浙江·期末）已知直线的解析式为，直线的解析式为，在直线上，在直线上，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是解题的关键．由两直线的解析式变形得到直线和直线交于点，结合图象即可判断． 解：∵，， 当时，，， ∴直线和直线交于点， 如图，当，时，直线在直线的上方， 则，故A选项正确，C选项错误； 如图，当时， 则时，，B选项错误； 则时，，D选项错误； 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，由直线求出点坐标，得出，过点D作于点E，证明，得，设点，则，得出，代入，求出的值即可． 解：对于，当时，， ∴， ∴， 过点D作于点E，如图， 则 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 又 ∴， ∴， 设点，则， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴, 故选：D． 7．（2024·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质，一次函数的性质，先设，再求解，再结合正方形的性质可得答案． 解：∵A在直线上， ∴设， ∵轴， ∴， 解得：， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故选B 8．（23-24八年级上·山东济南·期末）一次函数，，点是，与轴围成的三角形内一点（含边界），令，的最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查两条直线相交的问题，掌握一次函数图象的性质，点坐标的特点，明确点在交点处S最大是解题的关键． 根据题意可求出点的坐标，可得，根据两条直线的交点处，图形的面积最大，由此可得，再根据即可求解． 解：一次函数，令，则；令，则； 一次函数与轴的交点为， ∵点是，与轴围成的三角形内一点（含边界）， ∴， 如图所示， ∴当点在点处，的值最大，即点在直线的图象上， ∴， ∴， 解得，， ∴交点坐标为：， ∴点在一次函数的图象上， ∴， 解得，， 故选：． 9．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形，得点P关于的对称点，连接，则：，当且仅当三点共线时，，即的最小值为的长，根据点到直线，垂线段最短，过点作垂直直线于点N，即于点N，交直线于点M，此时最小，利用等积法求出的长即可． 解：如图，在正方形中，，    ∵直线经过点，， ∴直线是正方形的对称轴， ∵点在上， ∴可得点P关于的对称点， 当时，， 即直线经过点， 过点作垂直直线于点N，即于点N，交直线于点M， ∵和关于关于对称， ∴， ∴，即的最小值为的长， 此时， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为． 故选：B 【点拨】此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握相关性质和数形结合是解题的关键． 10．（22-23八年级下·江苏·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，进而求出，再由可知点D在线段的垂直平分线上，即在直线上，则，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可． 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵C在y轴的正半轴上，， ∴， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为； ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ∴， ∵P、Q关于x轴对称， ∴， ∵点Q总在内（不包括边界）， ∴， 解得， 故选D． 【点拨】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，正确理解题意得到点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间是解题的关键． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式．所求方程的解，即函数图像与轴的交点横坐标；根据直线过点，，判断出函数的增减性，即可写出不等式的解集． 解：关于x的方程的解，即为函数图像与轴的交点横坐标， 直线过点， 方程的解为， 直线过点，， 直线随x的增大而减小， 当时，自变量x的取值范围是， 故答案为：，． 12．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知函数中，当 时，图象在轴上方． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与x轴的交点，以及一次函数的性质，先求出直线与x轴的交点横坐标，再根据一次函数的性质即可求解． 解：当时，， 解得． ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，图象在轴上方． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，折叠的性质，勾股定理等知识，求出点C坐标是解答本题的关键． 由直线解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出，，再由勾股定理可求出．由折叠可知，，，从而可求出．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，即可求解． 解：对于直线，令，则， 解得：， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 由折叠可知，，， ∴． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：5． 14．（24-25八年级下·福建福州·期中）直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点A的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．先求得交点A的坐标，即可求出点A的轨迹，进而判断出直线直线与直线平行，即可求出m的值． 解：∵直线与直线（是常数，且）交于点A， 解析式联立 解得，， ∴ ∴， 当m为一个的确定的值时，是的正比例函数， 即：点A在直线上， ∵点A到直线的距离总是一个定值， ∴直线与直线平行， ∴， ∴ 故答案为：． 15．（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与交于点，交轴、轴分别于，两点．若，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．设点A坐标为，先求得，，根据三角形的面积公式结合已知求得，则，进而求得，即可求解． 解：设点A坐标为， 对于直线，当时，，则， ∴， 当时，由得，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， 将代入中，得， 解得， ∴， ∴方程的，解为， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与三角形面积，待定系数法；由待定系数法得直线的解析式为，求出的坐标，由即可求解；能熟练求解一次函数与三角形的面积是解题的关键． 解：如图， 当时，， 当时，， 解得：， ，，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； 故答案：． 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）直线与直线的图像如图，若点是直线图像上一点，点是直线图像上一点，满足轴，且，则点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．根据轴，设，则，则，解方程即可得到答案． 解：∵轴，， 设，则， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 则当时，，当时，； ∴点M的坐标为或． 故答案为：或． 18．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与轴分别交于，两点，已知，另一函数过点和点，，交轴于点． （1） ； （2）在坐标平面内存在点，使，点的坐标为 ． 【答案】 4 或或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）依据一次函数，求得，，依据D是的中点，可得，运用待定系数法即可得到直线的函数表达式；求得，，再根据的面积的面积的面积，进行计算即可； （2）在另三个象限内分别找到点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与全等． 解：（1）一次函数， 令，则；令，则， ∴，， ∵， ∴D是的中点， ∴，即， 设直线的函数表达式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴直线的函数表达式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴ ∴ ∴的面积的面积的面积； 故答案为：4 （2）如图， 当点F在第二象限时，点F的坐标为； 当点F在第三象限时，点F的坐标为； 当点F在第四象限时，点F的坐标为． 故答案为：或或 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江西·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题： （1）求关于的不等式的解集； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线交点问题等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据图象和y轴的交点坐标进行解答即即可； （2）一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是，据此进行解答即可． 解：（1）解：∵直线与y轴的交点是， ∴当时，， 即不等式的解集是； （2）解：由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是，当函数的图象在的下面时，有． ∴当时， 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线交于点C． （1）分别求出点A，B，C的坐标； （2）请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式的结合． （1）根据点在函数图象上，把点代入函数解析式，即可，根据交点坐标的性质，得，解出，把代入，求出，即可； （2）根据函数图象，当，则直线在直线的上方，即可． 解：（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点、， ∴当时，， ∴点； 当时，，解得：， ∴点； ∵直线与直线交于点， ∴， 解得：， 把代入，得， ∴点． （2）∵当时，直线在直线的下方，交点为， ∴， ∴不等式的解集为：． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A，B两点． （1）求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解； （2）求的面积； （3）若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，两条直线相交或平行问题以及三角形面积，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入，求出点的坐标，再将点代入直线，求出的值，即可得到答案； （2）根据解析式求出的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出答案； （3）根据题意求出的坐标，结合的长为2，得到关于的一元一次方程，解方程即可． 解：（1）解：把点代入，得， ∴． 把点P坐标代入，得， ∴， ∴直线的表达式为， 则方程组的解为； （2）解：∵：，：， 当，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：直线与直线的交点C为， 与直线的交点D为． ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将点代入求解即可； （2）先确定，根据两点间的距离得，，，继而得到，推出，再利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 解：（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴的值为； （2）∵直线与轴交于点， 当时，得：，解得：， ∴， 由（1）知：， ∴，，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）①当时， 由（2）知：， 此时点与点重合， ∴点的坐标为， ②当时，即，此时点的横坐标为，如图， ∵直线， 当时，得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点拨】本题考查函数图象点的坐标特征，勾股定理的逆定理，两点间的距离，直角三角形的定义等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 23．（本小题满分10分）（2025·河北秦皇岛·一模）如图，已知一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数； （2）若点在该函数图象上，连接，求的面积； （3）若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）12；（3）能， 【分析】本题考查了一次函数的应用、三角形全等的判定与性质、旋转的性质等知识，较难的是（3），正确找出两个临界位置是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可得； （3）先求出点的坐标为，再求出两个临界位置：①当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上和②当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时，利用全等三角形的性质求出的值，由此即可得． 解：（1）解：将点代入得：， 解得， 所以这个一次函数的解析式为． （2）解：将点代入一次函数得：， 解得， ∴， ∴的边上的高为， 又∵， ∴， ∴的面积为． （3）解：将点代入一次函数得：， ∴， 由题意，有以下两个临界位置： ①如图，当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上， ∵点坐标为， ∴此时， 解得； ②如图，当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时， 过点作轴于点， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴将线段绕点顺时针旋转得到线段，点能落在第三象限，此时． 24．（本小题满分12分）（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， （1）直接写出______，______； （2）将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； （3）如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【答案】（1），；（2），；（3）的函数表达式为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由即可求出点的坐标为，点的坐标为，从而求解； （）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设解析式为，然后把，坐标代入求解即可； （）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，证明，则有，设，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解． 解：（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴设直线解析式为 ，解得， ∴的函数表达式为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.8 一次函数的应用（1）一次函数与方程、不等式（专项练习）（培优拓展） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）若一次函数 （k为常数且）的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·期末）直线与x轴交于点，下列说法正确的是（　　） A． B．直线上两点，若，则 C．直线经过第四象限 D．关于x的方程的解为 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）已知直线的解析式为，直线的解析式为，在直线上，在直线上，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，点A在线段上，过点A作x轴的平行线，交直线于点B，分别过点A，B作x轴的垂线，当四边形为正方形时，点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·山东济南·期末）一次函数，，点是，与轴围成的三角形内一点（含边界），令，的最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（    ）    A．2 B． C． D． 10．（22-23八年级下·江苏·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 12．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）已知函数中，当 时，图象在轴上方． 13．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为 ． 14．（24-25八年级下·福建福州·期中）直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是 ． 15．（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与交于点，交轴、轴分别于，两点．若，则方程组的解为 ． 16．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 17．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）直线与直线的图像如图，若点是直线图像上一点，点是直线图像上一点，满足轴，且，则点坐标为 ． 18．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与轴分别交于，两点，已知，另一函数过点和点，，交轴于点． （1） ； （2）在坐标平面内存在点，使，点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江西·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题： （1）求关于的不等式的解集； （2）当时，求的取值范围． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线交于点C． （1）分别求出点A，B，C的坐标； （2）请直接写出关于x的不等式的解集． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，直线与直线相交于点，与x轴分别交于A，B两点． （1）求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解； （2）求的面积； （3）若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标． 23．（本小题满分10分）（2025·河北秦皇岛·一模）如图，已知一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数； （2）若点在该函数图象上，连接，求的面积； （3）若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 24．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， （1）直接写出______，______； （2）将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； （3）如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$