专题4.2 正比例函数（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题4.2 正比例函数（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】正比例函数的定义 1.正比例函数的定义 一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数. 2.正比例函数的等价形式 （1）是的正比例函数； （2）（为常数且≠0）； （3）若与成正比例； （4）（为常数且≠0）. 【知识点2】正比例函数的图象与性质 正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小. 【知识点3】待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值. 考点与题型目录 【考点一】正比例函数的定义 【题型1】正比例函数定义.................................................................2 【考点二】正比例函数的图象 【题型2】确定正比例函数图象位置.........................................................2 【题型3】由正比例函数图象的位置求参数取值或取值范围.....................................3 【考点三】正比例函数的性质 【题型4】正比例函数的增减性.............................................................4 【题型5】正比例函数的增减性与图象位置...................................................4 【题型6】正比例函数图象与性质综合.......................................................5 【题型7】正比例函数性质与几何综合.......................................................5 【考点四】待定系数法求正比例函数解析式 【题型8】待定系数法求正比例函数解析式...................................................6 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型9】中考链接.......................................................................7 【题型10】拓展延伸......................................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】正比例函数的定义 【题型1】正比例函数定义 【例1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）与的函数关系式为； （1）当，为何值时，是关于的一次函数？ （2）当，为何值时，是关于的正比例函数？ 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【变式2】．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）若y与成正比例，且当时，则当时 ． 【考点二】正比例函数的图象 【题型2】确定正比例函数图象位置 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． （1）； （2）． 【变式1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知点关于轴的对称点在正比例函数的图象上，则实数 ． 【题型3】由正比例函数图象的位置求参数取值或取值范围 【例1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若正比例函数的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【变式1】（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数；．，． （1）在同一坐标系内画出函数的图象． （2）探索发现： 观察这些函数的图象可以发现，随的增大直线与轴的位置关系有何变化？ （3）灵活运用 已知正比例函数在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为___________． 【考点三】正比例函数的性质 【题型4】正比例函数的增减性 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数（为常数）是正比例函数且y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）作出函数的图象； （3）自变量x每增加1，y将作什么样的变化？自变量x每减少2，y将作什么样的变化？ 【变式1】（2025·江苏常州·一模）已知点、都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知正比例函数，如果随的增大而减小，那么的取值范围是 ． 【题型5】正比例函数的增减性与图象位置 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）按照下列条件求的取值范围： （1）正比例函数的图象经过一、三象限； （2）正比例函数中，随的增大而增大； （3）已知的图象经过一、三象限． 【变式1】（24-25八年级上·山西太原·期末）若正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知正比例函数（是常数，），如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图像经过第 象限． 【题型6】正比例函数图象与性质综合 【例1】（22-23八年级上·山东济南·期末）对于函数，下列说法不正确的是（    ） A．该函数是正比例函数 B．该函数图象过点 C．该函数图象经过一、三象限 D．y随着x的增大而增大 【变式1】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【变式2】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列关于正比例函数的结论中，正确的是（    ） A．当时，函数值为2 B．随的增大而增大 C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点 【题型7】正比例函数性质与几何综合 【例1】（2025·广西玉林·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的横坐标是，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（21-22九年级·浙江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为 ． 【变式2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． （1）当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； （2）当的面积为4时，求E点的坐标． 【考点四】待定系数法求正比例函数解析式 【题型8】待定系数法求正比例函数解析式 【例1】（21-22八年级下·福建漳州·期中）如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在第一象限，，，将沿轴平移两个单位长度后，得到，则图象经过点的正比例函数的解析式为 ． 【变式2】（21-22八年级下·山东德州·期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8 （1）求正比例函数的解析式． （2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型9】中考链接 【例1】（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【题型10】拓展延伸 【例1】（2020九年级·广东清远·学业考试）如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别落在轴上，点坐标为，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，连结，将沿翻折到处，点恰好落在正比例函数图象上，则的值是 ． 【例2】（23-24九年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且，以、为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 正比例函数（3大知识点5大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】正比例函数的定义 1.正比例函数的定义 一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数. 2.正比例函数的等价形式 （1）是的正比例函数； （2）（为常数且≠0）； （3）若与成正比例； （4）（为常数且≠0）. 【知识点2】正比例函数的图象与性质 正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小. 【知识点3】待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值. 考点与题型目录 【考点一】正比例函数的定义 【题型1】正比例函数定义.................................................................2 【考点二】正比例函数的图象 【题型2】确定正比例函数图象位置.........................................................4 【题型3】由正比例函数图象的位置求参数取值或取值范围.....................................5 【考点三】正比例函数的性质 【题型4】正比例函数的增减性.............................................................8 【题型5】正比例函数的增减性与图象位置..................................................10 【题型6】正比例函数图象与性质综合......................................................12 【题型7】正比例函数性质与几何综合......................................................13 【考点四】待定系数法求正比例函数解析式 【题型8】待定系数法求正比例函数解析式..................................................17 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型9】中考链接......................................................................20 【题型10】拓展延伸.....................................................................21 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】正比例函数的定义 【题型1】正比例函数定义 【例1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）与的函数关系式为； （1）当，为何值时，是关于的一次函数？ （2）当，为何值时，是关于的正比例函数？ 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的定义． （1）根据一次函数的定义：形如（，为常数）叫作一次函数，即可求解； （2）根据正比例函数的定义：形如，其中为常数，叫作正比例函数，据此求解即可． 解：（1）解：若是关于的一次函数， 则， 解得：，， 即当，时，是关于的一次函数； （2）解：若是关于的正比例函数， 则， 解得：，， 即当，时，是关于的正比例函数． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握． 根据正比例函数的定义条件：k为常数且，自变量次数为1，即可列出有关a的方程，求出a值． 解：根据正比例函数的定义：， 解得：， 又， 故． 故选：B． 【变式2】．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）若y与成正比例，且当时，则当时 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例的应用，由y与成正比例可以设，代入计算即可． 解：∵y与成正比例， ∴设， 当时， ∴，解得， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 【考点二】正比例函数的图象 【题型2】确定正比例函数图象位置 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了正比例函数的图象． （1）根据函数的图象经过和，画出图象即可； （2）根据函数的图象经过和，画出图象即可． 解：（1）解：的图象经过和，其图象为： （2）解：正比例函数的图象经过和，其图象为： 【变式1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象．根据题意得到函数的图象经过原点、第一、三象限，即可求解． 解：A、∵， ∴函数的图象经过原点、第一、三象限， 如图， ． 故选：A 【变式2】．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知点关于轴的对称点在正比例函数的图象上，则实数 ． 【答案】2 【分析】本题考查坐标与轴对称，正比例函数的图象，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出点的坐标，代入函数解析式，进行求解即可． 解：由题意，的坐标为：，代入，得：； 故答案为：2． 【题型3】由正比例函数图象的位置求参数取值或取值范围 【例1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若正比例函数的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象，掌握正比例函数，当时，图象经过第一三象限，当时，图象经过第二四象限是解题的关键．据此得到不等式，即可求解． 解：∵正比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：． 【变式1】（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图像与性质．根据函数图像的增减性，判断选项A、B；利用两个函数图像的位置关系，取横坐标相同的点和，利用纵坐标的大小列出不等式，即可判断选项C、D． 解：由图像可知，随的增大而减小，随的增大而减小， 所以，故选项A、B错误，不符合题意； 如下图，在两个图像上分别取横坐标为的两个点和（）， 则，， ∵，即 ∴， 又∵， ∴，，故选项C错误，不符合题意，而选项D正确，符合题意． 故选：D 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数；．，． （1）在同一坐标系内画出函数的图象． （2）探索发现： 观察这些函数的图象可以发现，随的增大直线与轴的位置关系有何变化？ （3）灵活运用 已知正比例函数在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为___________． 【答案】（1）见分析；（2）随的增大直线与轴的夹角越小；（3） 【分析】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键． （1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令求出的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象； （2）比较分析可得答案． （3）由（2）分析的规律即可判断． 解：（1）解：如图： （2）解：观察这些函数的图象可以发现，随的增大直线与轴的夹角越小． （3）解：由（2）规律可知，， 由图可知， ∴ 故答案为：． 【考点三】正比例函数的性质 【题型4】正比例函数的增减性 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数（为常数）是正比例函数且y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）作出函数的图象； （3）自变量x每增加1，y将作什么样的变化？自变量x每减少2，y将作什么样的变化？ 【答案】（1）2；（2）见分析；（3）当自变量x增加1时，y增加；当自变量x每减少2，y减小5 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，函数的图象． （1）根据此函数为正比例函数且正比例函数y随x的增大而增大，可得出以及，即可求出答案； （2）利用描点法作图即可； （3）可令x分别等于，和，，求出相应的函数值，再求差即可解决问题． 解：（1）解：由题意得且， 解得； （2）解：∵， ∴， ∵图象过点和， ∴函数图象如图： （3）解：令，则， 令，则， ∵， ∴当自变量x增加1时，y增加； 令，则， 令，则， ∵， ∴当自变量x每减少2，y减小5． 【变式1】（2025·江苏常州·一模）已知点、都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例图象上点的坐标特征，熟知正比例的图象和性质是解题的关键．根据正比例的图象和性质即可解决问题． 解：， 随的增大而增大， 又点在正比例函数的图象上，且 ． 故选：B 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知正比例函数，如果随的增大而减小，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键．由正比例函数，y随x的增大而减小，可得，计算求解即可． 解：∵正比例函数，y随x的增大而减小， ∴， 解得，， 故答案为：． 【题型5】正比例函数的增减性与图象位置 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）按照下列条件求的取值范围： （1）正比例函数的图象经过一、三象限； （2）正比例函数中，随的增大而增大； （3）已知的图象经过一、三象限． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数中，当时，函数图象分布在第一、三象限，随的增大而增大． （1）根据正比例函数图象在一、三象限可知，解不等式即可求解； （2）先根据正比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可； （3）根据正比例函数图象的性质，可得，根据正比例函数的定义可知，进而可得出 的取值范围． 解：（1）解：由正比例函数的图象经过第一、三象限， 可得：，则； （2）解：∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴，解得． （3）解：由正比例函数的图象经过一、三象限， 可得：，且， 解得：． 【变式1】（24-25八年级上·山西太原·期末）若正比例函数中，的值随着值的增大而减小，则下列各点可能在该函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数中，的值随着值的增大而减小，可知，所以可知直线过第二、四象限，根据各点所在的象限判断该点是否可能在该函数的图象上． 解：正比例函数中，的值随着值的增大而减小， ， 直线过第二、四象限， 点在第一象限， 不在该函数的图象上， 故A选项不符合题意； 点在轴上， 不在该函数的图象上， 故B选项不符合题意； 点在第三象限， 不在该函数的图象上， 故C选项不符合题意； 点在第二象限， 可能在该函数的图象上， 故D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知正比例函数（是常数，），如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图像经过第 象限． 【答案】二、四 【分析】根据正比例函数，的值随的值增大而减小，得出，进而判断其经过的象限，即可求解． 解：正比例函数的值随值的增大而减小， ， 该函数图象经过第二、四象限， 故答案为：二、四 【题型6】正比例函数图象与性质综合 【例1】（22-23八年级上·山东济南·期末）对于函数，下列说法不正确的是（    ） A．该函数是正比例函数 B．该函数图象过点 C．该函数图象经过一、三象限 D．y随着x的增大而增大 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义和性质逐一判断即可得到答案． 解：A、函数是正比例函数，原说法正确，不符合题意，选项错误； B、当时，，函数图象过点，原说法不正确，符合题意，选项正确；， C、，该函数图象经过一、三象限，原说法正确，不符合题意，选项错误； D、，y随着x的增大而增大，原说法正确，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点拨】本题考查了正比例函数的定义和性质，解题关键是掌握正比例函数的图象是直线，当时，经过第一、三象限，随的增大而增大；当时，经过第二、四象限，随的增大而减小． 【变式1】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可． 解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小， 当时，，即点在函数的图象上； 所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确； 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列关于正比例函数的结论中，正确的是（    ） A．当时，函数值为2 B．随的增大而增大 C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质以及图象逐项分析判断即可求解． 解：A. 当时，函数值为，故该选项不正确，不符合题意；     B. 随的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；     C. 它的图象经过二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，则它的图象一定不经过点，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【题型7】正比例函数性质与几何综合 【例1】（2025·广西玉林·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的横坐标是，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 解：∵顶点A在直线上，点A的横坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点A向右平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点拨】本题考查了一次函数的图象，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1】（21-22九年级·浙江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题．作点关于直线的对称点，关于轴的对称点连接交直线于，交轴于，此时的周长最小，据此求解即可． 解：作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，连接交直线于，交轴于，如图： ，， ， 、、、四点共线， 最小，即周长最小，最小值为的长度， 由知，， ， 周长最小为， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，平面直角坐标系内有一矩形，直线与相交于点D，E是边上的一点，且，． （1）当点D的纵坐标为3时，求E点的坐标； （2）当的面积为4时，求E点的坐标． 【答案】（1）；（2）E点的坐标为 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，当点D的纵坐标为3时，得出，即可求解． （2）根据，得出，设点D的坐标为，则，求出即可得出点D的坐标，即可求解． 解：（1）解：根据题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点D的纵坐标为3时，代入得， 则，，， ∴E点的坐标为． （2）∵， ∴， 设点D的坐标为， 则， ∴， 解得：（舍去）或． ∴点D的坐标为， ∴，，， ∴E点的坐标为． 【考点四】待定系数法求正比例函数解析式 【题型8】待定系数法求正比例函数解析式 【例1】（21-22八年级下·福建漳州·期中）如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分类讨论：当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式；当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式． 解：直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分， 两部分的面积分别为3和6， 当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图， 则， ，解得， ， 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 此时直线的解析式为； 当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则， ，解得， ，， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， 此时直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． 故选：． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了正方形的性质． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在第一象限，，，将沿轴平移两个单位长度后，得到，则图象经过点的正比例函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，点坐标的平移，正比例函数解析式．分情况求解是解题的关键． 由勾股定理得，，则，，然后分①将沿轴向左平移两个单位长度，②将沿轴向右平移两个单位长度两种情况求解即可． 解：在中，由勾股定理得，， ∴，， 由题意知，分①将沿轴向左平移两个单位长度，②将沿轴向右平移两个单位长度两种情况求解； ①当将沿轴向左平移两个单位长度时，， 设正比例函数的解析式为， ∴， 解得， ∴； ②当将沿轴向右平移两个单位长度时，， 设正比例函数的解析式为， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，图象经过点的正比例函数的解析式为或， 故答案为：或． 【变式2】（21-22八年级下·山东德州·期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8 （1）求正比例函数的解析式． （2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝－x；（2）存在，点P的坐标为：（5，0）或（－5，0） 【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式； （2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标 ． 解：（1）解：∵点A的横坐标为4，， ∴点A的纵坐标为-4， ∴点A的坐标为（4，－4）， ∵正比例函数y＝kx的图像经过点A， ∴-4＝4k，解得k＝－1， ∴正比例函数的解析式为y＝－x； （2）存在， ∵A（4，－4）， ∴AH＝4， ∵， ∴OP＝5， ∴点P的坐标为（5，0）或（－5，0）． 【点拨】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是注意点P的坐标有两个． 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型9】中考链接 【例1】（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，然后在此范围内进行判断即可． 解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， ∴选项A符合题意． 故选：A． 【例2】（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了正比例函数的图象，“对于正比例函数（是常数，），当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限”，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键．根据正比例函数的图象经过第一、三象限可得，由此即可得． 解：正比例函数（是常数，）的图象经过第一、三象限， ， ∴的值可以为1， 故答案为：1（答案不唯一）． 【题型10】拓展延伸 【例1】（2020九年级·广东清远·学业考试）如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别落在轴上，点坐标为，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，连结，将沿翻折到处，点恰好落在正比例函数图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，轴，轴，于是得到，，，根据勾股定理得到，连接，交于，过作于，根据轴对称的性质得到，求得，设，则根据勾股定理即可得到结论． 解：四边形是矩形， 轴，轴， 点坐标为， 的横坐标为6，的纵坐标为4， ，在反比例函数的图象上， ，，， ，， ， 连接，交于，过作于， ，关于对称， ，， ， 即， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，一次函数的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【例2】（23-24九年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且，以、为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数解析式求出的坐标，再分别求出，的坐标，探究规律后解决问题． 解：在矩形中，，即， ∴，，代入中， 得，解得：， ∴，， ，， ，， ， ，，即，． 故选C． 【点拨】本题考查规律型点的坐标，矩形的性质平移，正比例函数的性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$