加练5 代数推理与证明-【一战成名新中考】2025河南中考数学中考必考知识点专题特训

代数推理与证明

1.在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律．

当时，如图1是2025年1月份的日历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现．

(1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；

(2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明；

(3)请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的日历，继续进行如下探究．

①当时，如图2，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）；

②当时，如图3，若在日历中用的方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律；

(4)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）．

2.【学习任务】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进几”就是几进制.爱思考的小紫，在学完二进制的方法时，研制出表格法，可以快速将十进制的数进行任意进位转换（规定，）．

【示例呈现】

将25.5转化为二进制．

第一步制作表格：十进制的数从左到右左依次是…32，16，8，4，2，1，，，…；

从右到左，相邻两数是2倍关系；

第二步计算填表：将25.5用表中列出的十进制中的数对比，不够32，够16的1倍，对应二进制标注1，，9.5够8的1倍，对应二进制标注1，，依此类推，够的在二进制标注1，不够的填0，直至差为0．

第三步给出结果：从有1的位数开始从左到右记数，25.5的二进位就是；

第四步验证结果（二进制转化成十进制）：．

(1)直接写出将10转化为二进制的结果；

(2)计算：①（结果用二进制表示）；

②（结果用十进制表示）．

(3)利用给出的表格，将转化为四进制；

求的值．

【拓展提高】

(4)①利用表格法，将十进制数500转换为五进制数；

②求的值（结果用十进制表示）；

③根据下表，将2025转化为N进制所给出的信息，直接写出n的值．

备用表格：

 

3．【回顾已有经验】

图片是教科书第106页“活动2自然数被3整除的规律”的一部分．

活动2  自然数被3整除的规律 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为．于是 ． 显然9a能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除．

【发表个性观点】

小明利用学习经验，提出了一个观点：“一个自然数所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除”．

（1）请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确．

【尝试理解事实】

小强从数学课外读物中看到了这样一份材料：数字a，b，c组成一个三位数，去掉末位数字c，得到两位数，再用加上c的2倍，所得的和为，若是19的倍数，则原数就被称为“生命数”．实际上，“生命数”也可以是四位数，五位数，…，判断一个数是不是“生命数”，可以仿照上面的程序，如果第三步所得的和太大或心算不易看出是否是19的倍数，就需要继续进行上述“截尾、倍大、相加、验和”的过程，直到能清楚判断为止．

（2）请你运用这个方法判断12008是不是“生命数”．