10.1.4　概率的基本性质【七大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

10.1.4　概率的基本性质 【考点梳理】 · 考点一：互斥事件的理解 · 考点二：对立事件的理解 · 考点三：互斥、对立事件区别 · 考点四：互斥事件概率公式的应用 · 考点五：对立事件概率公式的应用 · 考点六：互斥事件概率公式求概率 · 考点七：概率的基本性质综合问题 【知识梳理】 知识点01　概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 知识点02：交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 知识点03：互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 【题型归纳】 题型一：互斥事件的理解 1．（23-24高一下·山东济南·期末）从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 2．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲､乙恰有一人中奖 B．甲､乙都没中奖 C．甲､乙至少有一人中奖 D．甲､乙至多有一人中奖 3．（22-23高一上·山东潍坊·期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生； B．至少有1名男生与全是女生； C．恰有1名男生与恰有2名男生； D．至少有1名男生与至少有1名女生． 题型二：对立事件的理解 4．（22-23高一下·云南昭通·期末）从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 5．（21-22高一下·河南省直辖县级单位·期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各个，一次任意取出个小球，则与事件“个小球都为蓝球”为对立的事件有（    ） A．个小球不全为蓝球 B．个小球恰有个蓝球 C．个小球至少有个蓝球 D．个小球都为绿球 6．（21-22高一下·广东广州·期末）某人在射击比赛中连续射击2次，事件“2次都不命中”的对立事件是（    ） A．至多有1次命中 B．2次都命中 C．只有1次命中 D．至少有1次命中 题型三：互斥、对立事件区别 7．（22-23高一下·天津南开·期末）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（    ） A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 8．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 9．（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 题型四：互斥事件概率公式的应用 10．（23-24高一下·江西景德镇·期中）某商店的一位售货员，发现顾客购买商品后有4种支付方式：现金支付，微信支付，支付宝支付，银联支付，其中用现金支付的概率是，支付宝支付的概率是，银联支付的概率是，则选择用微信支付的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一下·全国·专题练习）口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6 题型五：对立事件概率公式的应用 13．（23-24高一下·宁夏固原·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2023·全国·模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（    ） A． B． C． D． 题型六：互斥事件概率公式求概率 16．（24-25高二上·湖北十堰）已知随机事件A和互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 18．（23-24高一下·全国·阶段练习）已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 题型七：概率的基本性质综合问题 19．（22-23高一上·江西吉安·期末）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢． (1)求的概率； (2)这种游戏规则公平吗？请说明理由． 20．（2020高一·全国·专题练习）从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． ①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”； ②“至少有1件次品”和“全是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”． 21．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. (1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； (2)求两种规则下获得二等奖的概率； (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 【双基达标】 一、单选题 1．（2024高一下·全国·专题练习）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 2．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 3．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 4．（22-23高一下·山西朔州·期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（    ） A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 5．（2023高一·全国·专题练习）通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（　　） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 6．（22-23高一下·福建厦门·期末）某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长．设事件“选中的同学精通乐器”，“选中的同学擅长舞蹈”，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．当A，B不互斥时，可由公式计算的概率 B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 C．若，则事件A与B是对立事件 D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大 8．（22-23高二下·辽宁·期中）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构，若甲、乙两名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的，则甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（    ） A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数 C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数 10．（21-22高一下·福建福州·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，则实数a的值可以是（　　） A． B． C． D． 12．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（    ） A． B．事件B与事件C是互斥事件 C． D． 13（23-24高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（  ） A．B与D互斥 B．A与D互为对立事件 C． D． 14．（22-23高一下·甘肃·期末）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①⑤⑥ D．③④⑦ 15．（23-24高二上·湖北·阶段练习）设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件“从甲袋中任取1球是红球”，记事件“从乙袋中任取1球是白球”，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知随机事件满足，则 ． 17．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.30，0.40，0.15，则该射手在一次射击中，射击成绩不到8环的概率为 ． 18．（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 . 19．（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为 . 20．（23-24高一下·江苏常州·期末）一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ． 四、解答题 21．（24-25高一下·全国）抛掷一枚质地均匀的骰子，{向上的点数是1}，{向上的点数是2}，{向上的点数是1或2}. (1)事件A与事件B什么关系？ (2)，，三者之间存在怎样的关系？ (3)若{向上的点数不小于2}，则事件与事件什么关系，与存在怎样的关系？ 22．（21-22高一·全国）某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， (1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设“一年内需要维修次”，，1，2，3，请填写下表： 事件 概率 事件，，，是否满足两两互斥？ (2)求下列事件的概率： ①“在1年内需要维修”； ②“在1年内不需要维修”； ③“在1年内维修不超过1次” ． 23．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 24．（21-22高二·全国·单元测试）根据空气质量指数（AQI，为整数）的不同，可将空气质量分级如下表： AQI 级别 一级 二级 三级 四级 五级（A） 五级（B） 现对某城市30天的空气质量进行监测，获得30个AQI数据（每个数据均不同），统计绘得频率分布直方图如图所示． (1)请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数； (2)若从获得的“一级”和“五级（B）”的数据中随机选取2个数据进行复查，求“一级”和“五级（B）”数据恰均被选中的概率； (3)假如企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与AQI（记为）的关系式为．若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S不超过600元的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1.4　概率的基本性质 【考点梳理】 · 考点一：互斥事件的理解 · 考点二：对立事件的理解 · 考点三：互斥、对立事件区别 · 考点四：互斥事件概率公式的应用 · 考点五：对立事件概率公式的应用 · 考点六：互斥事件概率公式求概率 · 考点七：概率的基本性质综合问题 【知识梳理】 知识点01　概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 知识点02：交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 知识点03：互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 【题型归纳】 题型一：互斥事件的理解 1．（23-24高一下·山东济南·期末）从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 【答案】B 【分析】利用互斥事件不可能同时发生，来检验各选项即可. 【详解】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球， 共有三种结果：两白球，一白一黄，两黄球， 这三个事件是互斥事件.所以B是正确的； 由于至少一个白球，包含事件有两白球和一白一黄， 而至少一个黄球包含两黄球和一白一黄， 当取到一白一黄时，此时这两个事件同时发生，故A错误； 由于至多一个白球，包含事件有一白一黄和两黄球， 而至多一个黄球包含一黄一白和两白球， 所以当取到一白一黄时，此时两个事件同时发生，故C错误； 由于至少一个黄球，包含事件一白一黄和两黄球， 而都是黄球显然也是两黄球，故D错误； 故选：B. 2．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲､乙恰有一人中奖 B．甲､乙都没中奖 C．甲､乙至少有一人中奖 D．甲､乙至多有一人中奖 【答案】D 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断即可. 【详解】“甲、乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故A错误； “甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误； “甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误； “甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故D正确． 故选：D. 3．（22-23高一上·山东潍坊·期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生； B．至少有1名男生与全是女生； C．恰有1名男生与恰有2名男生； D．至少有1名男生与至少有1名女生． 【答案】C 【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，即可得出答案. 【详解】对于A项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A项错误； 对于B项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B项错误； 对于C项，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C项正确； 对于D项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D项错误. 故选：C. 题型二：对立事件的理解 4．（22-23高一下·云南昭通·期末）从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 【答案】C 【分析】根据对立事件的定义判断即可. 【详解】从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，只有三红、两红一黄、一红两黄、三黄这四种情况， 则“至少有1个红球”的对立事件是“都是黄球”. 故选：C. 5．（21-22高一下·河南省直辖县级单位·期末）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各个，一次任意取出个小球，则与事件“个小球都为蓝球”为对立的事件有（    ） A．个小球不全为蓝球 B．个小球恰有个蓝球 C．个小球至少有个蓝球 D．个小球都为绿球 【答案】A 【分析】由对立事件的概念判断． 【详解】事件“个小球都的蓝球”为对立的事件是“个小球不都为蓝球”，只有A符合． 故选：A． 6．（21-22高一下·广东广州·期末）某人在射击比赛中连续射击2次，事件“2次都不命中”的对立事件是（    ） A．至多有1次命中 B．2次都命中 C．只有1次命中 D．至少有1次命中 【答案】D 【分析】根据题意结合对立事件的概念逐项分析判断. 【详解】记事件A为“2次都不命中”，事件B为“只有1次命中”，事件C“2次都命中”， 则样本空间为， 对于选项A：至多有1次命中为，与事件A不对立，故A错误； 对于选项B：2次都命中为，与事件A不对立，故B错误； 对于选项C：只有1次命中，与事件A不对立，故C错误； 对于选项D：至少有1次命中为，与事件A对立，故D正确； 故选：D. 题型三：互斥、对立事件区别 7．（22-23高一下·天津南开·期末）从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（    ） A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球 D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 【答案】B 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断即可． 【详解】对于A，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件与事件不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件与事件互斥却不互为对立，故B正确； 对于C，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故C错误； 对于D，事件与事件不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件与事件是互斥事件也是对立事件，故D错误． 故选：B． 8．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的含义分析即可得解. 【详解】从装口袋内一次取出2个球，按照取到白球数量分类有： 两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球都是白球. 所以①②与事件“两球都为白球”互斥而不对立， 当“两球都为白球”时，③一定发生，所以③与事件“两球都为白球”不互斥. 故选：D 9．（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 【答案】A 【分析】事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，结合互斥、对立事件的定义即可判断. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人， 所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件； 故选：A 题型四：互斥事件概率公式的应用 10．（23-24高一下·江西景德镇·期中）某商店的一位售货员，发现顾客购买商品后有4种支付方式：现金支付，微信支付，支付宝支付，银联支付，其中用现金支付的概率是，支付宝支付的概率是，银联支付的概率是，则选择用微信支付的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】依题意用现金支付，微信支付，支付宝支付，银联支付两两互斥， 所以选择用微信支付的概率. 故选：D 11．（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【详解】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 12．（2024高一下·全国·专题练习）口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6 【答案】A 【分析】利用互斥事件和并事件概率公式，就可以得到方程组来求解各互斥事件概率，即可得到结果. 【详解】设摸出红球的概率为P(A)，摸出黄球的概率为P(B)，摸出白球的概率为P(C)， 所以P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9， 且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1， 所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6， P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.1， 所以P(B)＋P(C)＝0.7. 故选：A. 题型五：对立事件概率公式的应用 13．（23-24高一下·宁夏固原·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由对立事件的性质求解即可. 【详解】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立， 所以甲获胜的概率为. 故选：. 14．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出，利用互斥事件概率加法公式求出答案. 【详解】∵，， ∴， ∵事件A，B是互斥事件， ∴． 故选：C 15．（2023·全国·模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则A，B，C两两互斥，，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解. 【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C， 则，，且. 因为A，B，C两两互斥， 所以. 故选：C. 题型六：互斥事件概率公式求概率 16．（24-25高二上·湖北十堰）已知随机事件A和互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果． 【详解】因为与互斥，则， 可得， 所以. 故选：D． 17．（23-24高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， 所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76． 故选C． 18．（23-24高一下·全国·阶段练习）已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件的概率公式求出、. 【详解】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以. 故选：B 题型七：概率的基本性质综合问题 19．（22-23高一上·江西吉安·期末）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢． (1)求的概率； (2)这种游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这种游戏规则不公平，理由详见解析 【分析】(1)列出摸球结果（a，b）全部可能的结果，再找出满足的结果，最后根据古典概型的概率计算公式可得； (2) 设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，再分别计算和，就可判断. 【详解】（1）摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种， 其中的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得； （2）这种游戏规则不公平，理由如下： 设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件， 由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个， 由古典概型的概率计算公式可得，∴， ∵，故这种游戏规则不公平． 20．（2020高一·全国·专题练习）从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． ①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”； ②“至少有1件次品”和“全是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”． 【答案】①不是对立事件；②不是对立事件；③不是对立事件． 【分析】利用互斥事件与对立事件的关系即可判断. 【详解】依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知： ①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件， 又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件； 同理可以判断 ②中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件； ③中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件． 【点睛】本题考查了互斥事件、对立事件，掌握互斥事件与对立事件的关系是解题的关键，属于基础题. 21．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. (1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； (2)求两种规则下获得二等奖的概率； (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)两种规则获奖的概率一样大，理由见解析 【分析】（1）直接列举所有结果； （2）（3）根据古典概型求解概率即可. 【详解】（1）两次抽取小球的所有可能结果为： ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， （2）记规则一中获得二等奖为事件，记规则二中获得二等奖为事件， 事件包含，，，，五个样本点， 故， 事件包含，，，，五个样本点， 故. （3）规则二获奖概率大. 理由如下：记规则一获得一，二，三等奖分别为事件，，， 规则二获得一，二，三等奖分别为事件，，, 事件包含，两个样本点，. 事件包含，，，，，，，，，，，十二个样本点， . 所以规则一获奖的概率 ， 事件包含，两个样本点，； 事件包含，，，，，，，，，，，，（在中已经记录，不再计算），十二个样本点，. 所以规则二获奖的概率 ， ∴所以两种规则获奖的概率一样大. 【双基达标】 一、单选题 1．（2024高一下·全国·专题练习）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 【答案】D 【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用对立事件的定义判断B；利用古典概型求概率方法判断C、D即可. 【详解】对于A，事件“该家庭个小孩中至少有个女孩” 和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件“该家庭3个孩子都是男孩” 和事件“该家庭个孩子都是女孩”不能同时发生，能同时不发生， 是互斥但不对立事件，故B错误； 对于C，有个小孩的家庭包含的样本点有个，分别为： （男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）， （男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）， 该家庭3个小孩中只有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中只有个男孩的概率为，故C错误； 对于D，该家庭个小孩中至少有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中至少有个男孩的概率为，故D正确． 故选：D． 2．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可. 【详解】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次， 对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合； 对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意； 对于C：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品”包括1次1正､2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故选：D 3．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 【答案】B 【分析】利用互斥事件性质以及已知数据代入公式计算即可求得，再由对立事件性质可得. 【详解】由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得， 又和对立，可得，解得. 故选：B 4．（22-23高一下·山西朔州·期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（    ） A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案. 【详解】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误； 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确. 故选：D. 5．（2023高一·全国·专题练习）通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（　　） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，即可求解． 【详解】孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51， 前面事件发生的概率不会影响后续事件的发生， 故这次生男孩的概率约是0.51． 故选：C． 6．（22-23高一下·福建厦门·期末）某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长．设事件“选中的同学精通乐器”，“选中的同学擅长舞蹈”，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，然后由概率性质计算可得. 【详解】由题知，， 因为， 所以，即，解得. 故选：C 7．（22-23高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．当A，B不互斥时，可由公式计算的概率 B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 C．若，则事件A与B是对立事件 D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大 【答案】A 【分析】根据概率加法公式判断A，根据概率的性质判断B，对立事件的概率性质判断C， 【详解】根据概率的性质可知，当A，B不互斥时，， 故A中说法正确. 对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故B中说法错误. 在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故C错误； 故C中说法错误. 当事件与事件互斥时，则事件，中至少有一个发生的概率与，中恰有一个发生的概率相等，故D错误； 故选：A. 8．（22-23高二下·辽宁·期中）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构，若甲、乙两名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的，则甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型结合对立事件的概率求法运算求解. 【详解】甲、乙均有3家社区医院可以选择，故共有个基本事件， 记“甲、乙两人选择同一家社区医院”为事件A，共有 3个基本事件，其概率， 所以甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率. 故选：D. 9．（2023·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（    ） A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数 C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数 【答案】D 【分析】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案. 【详解】由题意，事件为：两个点数都为奇数， 由概率指的是事件的对立事件的概率， 则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数. 故选：D. 10．（21-22高一下·福建福州·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，计算判断A，B，D；分析事件与所含事件判断C作答. 【详解】依题意，，，而，A不正确； ，，B不正确； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，C正确； 因，，则，即D不正确. 故选：C 二、多选题 11．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，则实数a的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由互斥事件的概率性质列不等式组求解即可； 【详解】解: 由题意可知， 即，即， 解得， 故选：CD. 12．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（    ） A． B．事件B与事件C是互斥事件 C． D． 【答案】CD 【分析】由已知先列举出事件A，B，C包含的基本事件，然后结合互斥事件的概念及古典概率公式检验各选项即可判断. 【详解】解：由题意可得，事件A包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，绿)}， 事件B包含的取球颜色为{(红，红) ，(绿，红)}，事件C包含的取球颜色为{(红，红) ，(红，绿)}， 则，选项A错误； ，选项B错误； 事件AB包含的取球颜色为{(红，红)}， ，选项C正确； 事件B+C包含的取球颜色为{(红，红) ，(绿，红)，(红，绿)}， ，选项D正确. 故选：CD. 13（23-24高一下·江苏苏州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（  ） A．B与D互斥 B．A与D互为对立事件 C． D． 【答案】ABD 【分析】写出以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可. 【详解】由题意，样本空间为， 对于A，，这意味着不可能同时发生，故A正确； 对于B，，这意味着中有且仅有一个事情发生，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 14．（22-23高一下·甘肃·期末）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①⑤⑥ D．③④⑦ 【答案】AC 【分析】根据互斥事件、对立事件的相关概念对关系式进行判断即可得出结论． 【详解】由题设可知： 表示甲乙两人均未击中靶，因此，故①正确； 表示两人都击中靶，而表示至少有1人击中靶，因此②错误； 表示至少有1人击中靶，因此③正确； 表示至少有1人击中靶，而表示恰一人击中靶，因此④错误； 表示两人中恰好只有1人击中靶，因此⑤正确； 与是对立事件，因此⑥正确； 与不是互斥事件，， 因此⑦错误． 综上可得正确的是①③⑤⑥． 故选：AC． 15．（23-24高二上·湖北·阶段练习）设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件“从甲袋中任取1球是红球”，记事件“从乙袋中任取1球是白球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据古典概型公式及互斥事件概率加法公式逐项求解判断即可. 【详解】从甲袋中任取1球是红球的概率为，故A正确； ，故C错误； ，故D正确； ，故B正确. 故选：ABD. 三、填空题 16．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知随机事件满足，则 ． 【答案】 【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 故, 则， 故答案为： 17．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.30，0.40，0.15，则该射手在一次射击中，射击成绩不到8环的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据概率的知识求得正确答案. 【详解】射击成绩不到8环的概率为. 故答案为： 18．（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 . 【答案】 【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值. 【详解】由与是对立事件，可得 由与是互斥事件，可得 . 故答案为： 19．（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为 . 【答案】0.95/ 【分析】根据概率的基本性质中和事件的概率公式代入数据即可. 【详解】设“小张语文成绩及格”，“小张数学成绩及格”， 则“语文和数学同时及格”，“语文数学两科至少有一科及格”， 由已知得，，，， 代入和事件概率公式得， . 故答案为：0.95. 20．（23-24高一下·江苏常州·期末）一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为 ． 【答案】/ 【分析】分第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，三种情况计算即可，分别计算可得结论. 【详解】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为. 故答案为：. 四、解答题 21．（24-25高一下·全国）抛掷一枚质地均匀的骰子，{向上的点数是1}，{向上的点数是2}，{向上的点数是1或2}. (1)事件A与事件B什么关系？ (2)，，三者之间存在怎样的关系？ (3)若{向上的点数不小于2}，则事件与事件什么关系，与存在怎样的关系？ 【答案】(1)互斥 (2) (3)事件与互斥且对立，（或） 【分析】略 【详解】（1）互斥 （2）由于样本空间Ω有6个样本点，A，B，C分别有1个样本点，1个样本点和2个样本点，且事件，因此， ，，所以. （3）事件与互斥且对立，有5个样本点，则，又，所以（或）. 22．（21-22高一·全国）某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， (1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设“一年内需要维修次”，，1，2，3，请填写下表： 事件 概率 事件，，，是否满足两两互斥？ (2)求下列事件的概率： ①“在1年内需要维修”； ②“在1年内不需要维修”； ③“在1年内维修不超过1次” ． 【答案】(1)表格见解析，满足； (2)①；②；③． 【分析】（1）根据给定条件，可得事件，，的概率，再利用对立事件的概率公式计算，并利用互斥事件的意义判断作答. （2）利用（1）的结论，结合互斥事件的概率加法公式计算作答. 【详解】（1）因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， 则有，，， 显然事件，，，中，任意两个不可能同时发生，因此事件，，，两两互斥， 于是得， 填表如下： 事件 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 所以事件，，，满足两两互斥． （2）①由（1）知，“在1年内需要维修”的事件，即事件，，至少有一个发生，而它们两两互斥， 所以； ②“在1年内不需要维修”的事件，即事件发生，所以； ③“在1年内维修不超过1次”的事件，即事件，至少发生一个， 所以． 23．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用概率的加法公式即可； （2）利用互斥事件的概率公式即可； （3）利用对立事件的概率公式即可. 【详解】（1）由概率的加法公式，可得， 则. （2）因事件是事件的对立事件，则， 依题意，事件与事件互斥，则， 即，解得. （3）因事件是事件和事件的交集的对立事件， 则. 24．（21-22高二·全国·单元测试）根据空气质量指数（AQI，为整数）的不同，可将空气质量分级如下表： AQI 级别 一级 二级 三级 四级 五级（A） 五级（B） 现对某城市30天的空气质量进行监测，获得30个AQI数据（每个数据均不同），统计绘得频率分布直方图如图所示． (1)请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数； (2)若从获得的“一级”和“五级（B）”的数据中随机选取2个数据进行复查，求“一级”和“五级（B）”数据恰均被选中的概率； (3)假如企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与AQI（记为）的关系式为．若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S不超过600元的概率． 【答案】(1)150； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算作答； （2）对一级和五级（B）的5个数据编号，利用列举法结合古典概率计算作答； （3）求出经济损失S不超过600元对应值出现的天数即可求解作答. 【详解】（1）依题意，该城市这30天AQI的平均数为： ． （2）一级有2个数据，记为P、Q，五级（B）有3个数据，记为C、D、E， 从中选取两个有PQ、PC、PD、PE、QC、QD、QE、CD、CE、DE，共10种可能， 一级和五级（B）数据恰均被选中有PC、PD、PE、QC、QD、QE，共6种可能． 记“一级和五级（B）数据恰均被选中”为事件M，则． （3）设“在本月30天中随机抽取一天，该天经济损失不超出600元”为事件N，分两种情况： 当时，，此时概率为； 当时，由，得， 此时概率为． 综上，由互斥事件的概率公式可得． 所以估计这天的经济损失S不超过600元的概率为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$