8.6.3　平面与平面垂直【七大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

8.6.3　平面与平面垂直 【考点梳理】 · 考点一、面面垂直的判定 · 考点二、证明面面垂直 · 考点三：面面垂直性质的应用 · 考点四、二面角的求法 · 考点五、已知二面角的大小求线段距离或长度 · 考点六、已知二面角的大小求异面直线所成的角 · 考点七：面面垂直的综合问题 【知识梳理】 知识点01、二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面. 3.画法： 　　　　 4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 知识点02、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 知识点03、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 知识点04、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 【题型归纳】 题型一、面面垂直的判定 1．（24-25高一下·全国）对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高一下·全国）已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 3．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，∥，则∥ B．若，，则 C．若，，，则 D．若，∥，则 题型二、证明面面垂直 4．（24-25高一下·全国）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点.证明：平面平面； 6．（24-25高一下·全国）如图，在三棱锥中，，M是的中点．点N在棱上，点D是的中点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 题型三：面面垂直性质的应用 7．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.证明：； 8．（24-25高一下·全国）如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 9．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 题型四、二面角的求法 10．（24-25高一下·全国）如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 11．（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 12．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 题型五、已知二面角的大小求线段距离或长度 13．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且． (1)若二面角的大小为，求DM的长； (2)当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围． 14．（23-24高一下·广东茂名）如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则 ，三棱锥的外接球体积为 .    15．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值． 题型六、已知二面角的大小求异面直线所成的角 16．（23-24高一下·四川南充·期末）已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是 ；二面角的余弦值是 ． 17．（22-23高一下·辽宁·期末）如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，且二面角为，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．    18．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为60°，E是PB的中点．    (1)请在棱AB与BC上各找一点M和N，使平面∥平面，作出图形并说明理由； (2)求异面直线与所成角的正切值． 题型七：面面垂直的综合问题 19．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 20．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 21．（23-24高一下·福建福州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，，侧面底面，是的中点. (1)求证:平面； (2)求点到平面的距离； (3)求侧面与底面所成二面面角的余弦值. 【双基达标】 一、单选题 1．（22-23高一下·天津和平·期末）设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（    ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．（23-24高一下·重庆）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 5．（23-24高一下·安徽黄山·期末）中，，.为中点，为线段上靠近点的四等分点，将沿翻折，使到的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折．在翻折过程中，当二面角的平面角最大时，其正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 8．（24-25高一下·全国）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 9．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于 10．（24-25高一下·全国）如图所示，四边形中，，，，，将沿折起，点到达的位置，此时，构成三棱锥，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 11．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列判断正确的是（    ）    A．平面平面 B． C． D．异面直线与所成角的取值范围是 12．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．所成的角为 C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 三、填空题 13．（24-25高一下·全国·单元测试）已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点B到的距离为 ． 14．（23-24高一下·天津西青·期末）如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为 ；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为 ． 15．（23-24高一下·四川成都·期末）已知菱形ABCD的边长为2，．将沿着对角线AC折起至，连结．设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为 ． 16．（23-24高一下·山东济南·阶段练习）已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，则四棱锥的体积为 ，其外接球表面积为 ． 四、解答题 17．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 18．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的正切值. 19．（23-24高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 20．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）如图，在多面体中，平面是边长为2的等边三角形．    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 21．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 22．（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是一个直角梯形，，. (1)若为的中点，证明：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 23．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.3　平面与平面垂直 【考点梳理】 · 考点一、面面垂直的判定 · 考点二、证明面面垂直 · 考点三：面面垂直性质的应用 · 考点四、二面角的求法 · 考点五、已知二面角的大小求线段距离或长度 · 考点六、已知二面角的大小求异面直线所成的角 · 考点七：面面垂直的综合问题 【知识梳理】 知识点01、二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面. 3.画法： 　　　　 4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 知识点02、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)画法： (3)记作：α⊥β. 知识点03、平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 知识点04、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 【题型归纳】 题型一、面面垂直的判定 1．（24-25高一下·全国）对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】在AB中，可得与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，由面面平行的判定定理得. 【详解】在A中，，，，则与β相交或平行，故A错误； 在B中，，，，则与β相交或平行，故B错误； 在C中，，，则， 且，由面面垂直的判定定理得，故C正确； 在D中，，，，由面面平行的判定定理得，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国）已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A错误； 对于B，若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 因此相交，不一定垂直，B错误； 对于C，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C错误； 对于D，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则， 又，于是，因此，D正确. 故选：D 3．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，∥，则∥ B．若，，则 C．若，，，则 D．若，∥，则 【答案】D 【分析】对于ABC，举例判断，对于D，利用面面垂直的性质定理和判定定理分析判断即可. 【详解】对于A，如图当，，∥时，与相交，所以A错误， 对于B，如图，当，时，∥，所以B错误， 对于C，如图当，，时，∥，所以C错误， 对于D，设，在平面内作，因为，所以， 因为∥，所以， 因为，所以，所以D正确. 故选：D 题型二、证明面面垂直 4．（24-25高一下·全国）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】先利用全等三角形的判定与性质得出，取的中点，作出的平面角后利用条件及勾股定理，逆定理判定即可. 【详解】由题意知，所以可得,从而， 又为直角三角形，所以， 取的中点，连接，，则，， 又由于是正三角形， 故，所以为二面角的平面角． 在中，， 又，所以， 故，所以平面平面． 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点.证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】先由线面垂直得出线线垂直，再由线面垂直应用面面垂直判定定理证明即可. 【详解】因为底面为正方形，则， 又因为平面，平面，. 且，平面， 可得平面，由平面，可得， 因为，且E为的中点，则， 由，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面. 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，M是的中点．点N在棱上，点D是的中点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）只需证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需证明平面，结合面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）在中，M是的中点，D是的中点， 所以． 又因为平面，平面，所以平面． （2）在中，，M是的中点，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 题型三：面面垂直性质的应用 7．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.证明：； 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及性质定理，并结合图形进行证明即可. 【详解】在平面中，过点作的垂线，垂足为. 则，又平面平面，且平面平面，平面，故平面. 又平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，故. 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可； （2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可. 【详解】（1）因为四边形是菱形且， 所以是正三角形，因为G为的中点，所以， 又平面⊥平面，且平面∩平面，平面， 所以平面， （2）因为侧面为正三角形，为边的中点， 所以，又由（1）可知， 又，BG，平面， 所以平面，又平面，所以， 9．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 题型四、二面角的求法 10．（24-25高一下·全国）如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 【答案】(1)90° (2)45°． 【分析】（1）（2）利用二面角的定义找到二面角，再求解角度即可. 【详解】（1）平面，面， ，， 为二面角的平面角． 四边形是正方形，， 二面角平面角的度数为90°． （2）平面，面， ，． 为二面角的平面角． 四边形为正方形，． 即二面角平面角的度数为45°． 11．（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过线面垂直证明面面垂直可得结论. （2）通过构造辅助线找到二面角的平面角，在直角三角形中利用锐角三角函数可得结果. 【详解】（1）∵平面，平面，∴. ∵,平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） 取中点，连接，过点作于点，连接. ∵点分别为的中点，∴，， ∴平面， ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴为二面角的平面角， 在直角梯形中，. ∵，∴， ∴，即二面角的正切值为. 12．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由题意得到，，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而，进而证明出故，所以为二面角的平面角，求出各边长，求出，进而求出二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，， 因为，故． 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，平面， 故平面ABE． （2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G． 在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH． 因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD， 故平面EBCF， 因为平面EBCF，故，而，故平面DGH， 又平面DGH，故，所以为二面角的平面角， 在平面AEFD中，因为，，故， 又在直角梯形ABCD中，且， 故，故四边形AEGD为平行四边形，故，， 在直角中，， 因为为三角形内角，所以为锐角， ，，解得， 故，故， 因为三角形内角，故为锐角， ，，解得， 所以二面角的平面角的余弦值为． 题型五、已知二面角的大小求线段距离或长度 13．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且． (1)若二面角的大小为，求DM的长； (2)当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用直棱柱和底面是有角的菱形，可作出二面角的平面角，从而解直角三角形即可. （2）利用等体积法来求线面角，即只需要求出点N到平面的距离，再用距离与长度的比值就是线面角的正弦值，从而可求解. 【详解】（1） 取中点P，过P点作，交于点Q，连接． 由直四棱柱，可得平面， 而平面，所以，即， 又因为，所以， 因为底面是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 即为二面角的平面角，所以． 在平面中，由，可得． 在中，，， 则，解得； （2）因为平面，所以， ． 因为三棱锥的体积为， 所以，解得， 因为平面，所以． 在中，， ， 所以． 设N到平面的距离为d， 在中，，， 所以， 所以． 因为，所以，解得． 在中，由余弦定理得， 所以． 设与平面所成的角为． 所以． 令，则． 因为，所以，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是． 14．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则 ，三棱锥的外接球体积为 .    【答案】 3 【分析】由题意可知：二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解；根据题意可证平面，进而求外接球的半径和体积. 【详解】由题可知：，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 由余弦定理可得， 因为，，，，平面， 可知平面， 且，所以平面， 因为外接圆半径， 则三棱锥的外接球半径为， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：；. 15．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判断定理证明即可； （2）先应用二面角余弦值求出,再求异面直线所成角的正切即得. 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面，平面， 得平面， 又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又，平面，平面，所以平面． （2）如图，    在正三角形内，过点作，垂足为，∴， ∵，侧面底面，面面，面， ∴底面，底面，则， 过作，垂足为，连接，， ，平面，则平面，而平面，∴， 则即为二面角的平面角，即 ∴， ∴ 在中，，∴， 由，，得四边形为平行四边形，∴， 由，得为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为． 题型六、已知二面角的大小求异面直线所成的角 16．（23-24高一下·四川南充·期末）已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是 ；二面角的余弦值是 ． 【答案】 /0.75 【分析】空1：作出空间图形，找到异面直线夹角或其补角，结合题意和余弦定理先求出即可；空2：作出二面角的平面角，利用余弦定理即可求解. 【详解】如下图，过点作，连接， 结合题意可知为的中点，且， 所以即为二面角的平面角，由题意可知，. 因为，，所以，， 所以，且，进而得到， 因为，则异面直线与所成角即为或其补角， 在中，由余弦定理可得， 则异面直线与所成角的余弦值是； 取的中点，连接，因为，， 所以，，则即为所求二面角的平面角， 在中，因为，， 所以，同理， 在中，由余弦定理可得， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是作出二面角所表示的平面角，再结合勾股定理和余弦定理即可. 17．（22-23高一下·辽宁·期末）如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，且二面角为，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．    【答案】/0.7 【分析】取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【详解】连接，，取中点，连接，     四边形为矩形，，， 平面平面，平面，平面， 即为二面角的平面角，， 又，，，为等边三角形，； 分别为中点，，， 或其补角即为异面直线与所成角， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 18．（22-23高一下·广西南宁·期末）如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为60°，E是PB的中点．    (1)请在棱AB与BC上各找一点M和N，使平面∥平面，作出图形并说明理由； (2)求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)作图、理由见解析 (2) 【分析】（1）取,的中点,，连接,，可得平面，再利用面面平行的判定定理证明即可； （2）连接,，可得为异面直线与所成的角或其补角，计算即可； 【详解】（1）分别取,的中点,，连接,，   则平面平面， 证明：在中，,分别为，的中点， 所以，同理，， 又平面，平面， 所以平面，同理平面 又平面，所以平面平面， （2）连接,，取中点为，连接, 由于, 由于底面，底面, ，又因为，，，平面， 所以平面,平面,故, 故为侧面与底面所成的二面角的平面角，故60°， 不妨设底面正方形的边长为，则，,   因为，所以为异面直线与所成的角或其补角， 因为，，，,平面， 所以平面，又平面，所以， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的正切值为； 题型七：面面垂直的综合问题 19．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过四边形是正方形，得到，进而可求证； （2）作，垂足为，连接.先证明平面，得到是二面角的平面角，在判断四棱锥为正四棱锥，求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2）解： 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 20．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，从而证明平面. （2）利用线面垂直的判定证得平面，进而得为直线与平面所成角并求出，利用勾股定理求出，再由余弦定理求出，利用二面角的定义即可得答案. 【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）由三棱柱所有棱长都为2，，得都是正三角形， 而O为BC中点，则，，平面，， 于是平面，又，则平面， 为直线与平面所成角， 因此，，而平面，则， 又为中点，则， 在中，，，则， 由，，得是二面角的平面角， 所以二面角的大小. 21．（23-24高一下·福建福州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，，侧面底面，是的中点. (1)求证:平面； (2)求点到平面的距离； (3)求侧面与底面所成二面面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）找到图形中的线面垂直与线线垂直的转化关系，进而可证平面； （2）利用等体积法转化，三棱锥与三棱锥体积相等，利用图形的几何关系求出的面积，进而可得到平面的距离； （3）做辅助线，找到侧面与底面所成二面角的平面角，利用几何关系求解即可. 【详解】（1）在正方形中，, 又侧面底面，侧面底面,平面， 所以平面，又平面，所以， 因为是正三角形，是的中点，则， 又平面， 所以平面; （2）取的中点分别为，连接， 在正中，，因为平面平面， 平面平面，所以平面， 所以， ， 所以为等腰直角三角形，， 设到平面的距离为， ， 所以，即到平面的距离为. （3）取的中点分别为，连接， 则，所以，在正中，, 因为平面, 则平面, 在正方形中,，故平面， 所以是侧面与底面所成二面角的平面角， 由平面， 则平面，又平面.所以， 正方形的边长，则 ， 所以，则， 故侧面与底面所成二面角的余弦值为. 【双基达标】 一、单选题 1．（22-23高一下·天津和平·期末）设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间直线，平面的位置关系及其性质逐项分析判断. 【详解】对于A，若，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，且，根据线面垂直的性质可知，故B正确； 对于C，若，则，可能会平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 故选：B 2．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（    ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.缺少条件，故A错误； B. 若，，，则，故B正确； C. 若，，，则与平行，相交，或异面，垂直都有可能，故C错误； D. 若，，，则与相交，平行，垂直都有可能，故D错误. 故选：B 3．（23-24高一下·重庆）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D 作于点N，证明平面，得CD与平面ACM 所成的角为，在中，求的余弦值. 【详解】如图，过点D 作于点N， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又四边形ABCD为矩形，，，平面AMD， 所以平面AMD，因为平面AMD，所以， 在中，，M为PD 的中点，所以且， 又，平面CDM，所以平面CDM， 因为平面ACM，所以平面平面， 因为平面平面，，平面， 所以平面，所以CD与平面ACM 所成的角为. 因为平面，平面，所以， 在中，. 故选：B. 4．（23-24高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 【答案】D 【分析】对于AB：根据线面位置关系分析判断；对于CD：根据面面垂直的性质定理和判定定理分析判断. 【详解】对于选项AB：因为平面，平面， 所以平面，故AB错误； 对于选项CD：因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可知平面， 且平面，所以平面平面，故C错误，D正确； 故选：D. 5．（23-24高一下·安徽黄山·期末）中，，.为中点，为线段上靠近点的四等分点，将沿翻折，使到的位置，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作交于点，说明异面直线与所成角的大小等于，结合面面垂直的性质以及解三角形知识即可求解. 【详解】 过点作交于点，所以， 因为为线段上靠近点的四等分点，，所以，， 而， 所以，而是中点，所以， 在三角形中，， 由余弦定理有， 由于，点是中点，所以，由折叠关系可知，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以， 在三角形中，，由余弦定理有， 因为，所以异面直线与所成角的大小等于， 故所求为. 故选：A. 6．（23-24高一下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，为的中点，将沿翻折．在翻折过程中，当二面角的平面角最大时，其正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作的垂线，垂足为，交于，交于，设在平面内的时影为，则在直线上，过作的垂线，垂足为，则为二面角的平面角，通过辅助角公式和正弦函数的值域，解不等式可得所求正切值的最大值，进一步即可求解． 【详解】 在图1中，过作的垂线，垂足为，交于，交于. 在图2中，设在平面内的射影为，则在直线上，过作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角. 设．， 由，可得． 即有， 令，可得， 其中， 解得，则，等号成立当且仅当． 当二面角的平面角最大时，其正切值为，此时它的正弦值为． 故选：B． 二、多选题 7．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】BC 【分析】对每个选项所涉及的线面关系、面面关系等相关知识进行分析判断，依据线，面平行、垂直的定理和性质来确定结论是否正确. 【详解】若，，此时有可能在平面内，并不一定，所以A选项错误 . 因为，，根据一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，可得. 又因为，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以，B选项正确. 设，，在平面内作直线，因为，则. 在平面内作直线，因为，则. 那么，，，所以. 又，，所以，从而，C选项正确. 仅由，，，无法得出，与可能平行，也可能相交，所以D选项错误. 故选：BC. 8．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】利用面面垂直的性质和判定判断A，B，C，利用分析法结合面面垂直的性质判断D即可. 【详解】因为，为的中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以，，所以A，B成立； 又平面，所以平面平面，所以C成立； 若平面平面，且， 而面面，平面， 所以平面，又平面， 则，但此关系不一定成立，故D错误. 故选：ABC 9．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．二面角等于 D．异面直线与所成的角等于 【答案】ABD 【分析】对于A，连接，交于，连接、，证明即可由线面平行判定定理得平面；对于B，证明平面即可得证平面；对于C，求证为二面角的平面角即可得解；对于D，由得为异面直线与所成的角，从而依据正三角形得解. 【详解】对于A，连接，交于，连接、， 则由正方体性质可知且， 所以四边形为平行四边形，故． 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，因为为底面的中心，为棱的中点，所以， 由正方体性质有、平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可得，又，平面， 所以平面，故平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，，又 所以为二面角的平面角，显然不等于，故C错误； 对于D，因为，所以为异面直线与所成的角， 由正方体性质可知为等边三角形，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于B，直接证明平面不好证，可通过证明的平行线垂直平面来得证，因为，故求证平面即可得证平面. 10．（24-25高一下·全国）如图所示，四边形中，，，，，将沿折起，点到达的位置，此时，构成三棱锥，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】AD 【分析】对于AD，利用线面与面面垂直的判定定理即可得证；对于BC，利用面面垂直的性质定理推出矛盾，从而得以判断. 【详解】对于A，在四边形中，，，，， 所以， 则在三棱锥中，，，， 因为，所以，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以A正确， 对于B，若平面平面，因为，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，所以有两个直角，所以平面平面是不可能的，所以B错误， 对于C，若平面平面，因为，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，与矛盾， 所以平面平面不可能，所以C错误， 对于D，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 故选：AD . 11．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列判断正确的是（    ）    A．平面平面 B． C． D．异面直线与所成角的取值范围是 【答案】ABC 【分析】根据线线垂直可得平面，即可求证面面垂直判定A，根据面面平行的判定，即可得平面，进而可判断B， 根据面面平行的性质，即可根据锥体体积公式求解C，根据线线平行，即可根据三角形的边角关系求解D. 【详解】如图，连接． 平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，A正确； 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，所以平面，又平面，所以，B正确； 因为平面平面，点P在线段上， 所以点P到平面的距离等于点到平面的距离， 所以，C正确； 因为， 所以异面直线与所成角即为或，中的锐角或直角， 又为等边三角形，以当点P为的中点时，， 故异面直线与所成角可能为，D错误． 故选：ABC．    12．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．所成的角为 C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】对A：通过证明//，即可由线线平行证明线面平行；对B：通过证明面，即可求得的夹角为；对C：记，根据B中所证面，从而求得线面角为，再结合几何关系，即可求得线面角； 对D：先求二面角，结合二面角平面角的定义，再根据其与互补，即可求得结果. 【详解】对A：在△中，因为分别为的中点，故//， 又面面，故//面，故A正确； 对B：因为△为等腰直角三角形，又为中点，故可得； 又//，故； 又面面，故； 又面，故面； 又面，故，故直线所成的角为，故B错误； 对C：记，连接，如下所示： 由B可知，面，故即为所求直线与平面的夹角； 在△中，； 因为面面，故， 则，； 在△中，因为面，面，故， 则△为直角三角形， 故，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确； 对D：连接，如下所示： 由图可知，二面角的平面角和的平面角互补，故先求二面角； 由B可知，面，又面，故， 则即为二面角的平面角； 在直角三角形中，， 故，故二面角的余弦值为， 则二面角的余弦值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 13．（24-25高一下·全国·单元测试）已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点B到的距离为 ． 【答案】 【分析】根据折前折后不变的数量关系，二面角的平面角，利用等面积法求高． 【详解】如图， 图①中，由题意，， 所以， 因为， 所以为二面角的平面角， 即， 所以图②中， 设点B到的距离为h， 由等面积法可知， 即， 故答案为：． 14．（23-24高一下·天津西青·期末）如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为 ；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据异面直线以及二面角的定义求解，即可得答案. 【详解】在正方体中，， 故异面直线与BC所成角即为直线与AD所成角， 由于，故异面直线与BC所成角的大小为； 在正方体中，平面， 而平面，故， 又平面，平面， 故为平面与平面ABCD所成的二面角，而, 故平面与平面ABCD所成的二面角的大小为， 故答案为：； 15．（23-24高一下·四川成都·期末）已知菱形ABCD的边长为2，．将沿着对角线AC折起至，连结．设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接交于点，得即二面角的平面角，作出四面体的外接球球心，证明四点共面，依次求出，继而求得外接球的半径，即可求出其表面积. 【详解】 连接交于点,由题意，点为中点，且,则即二面角的平面角. 如图，设分别是和的外心，分别过点作平面,过点作平面, , 则点为四面体的外接球球心. 由，平面,故得，平面, 又平面，平面，故得，平面平面，平面平面， 故四点共面. 由可知,， 故四面体的外接球的半径为：, 于是四面体的外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积的求法，属于难题. 解题思路是通过二面角的两个半平面三角形找到四面体的外接球球心，通过证明四点共面，利用二面角的度数，求出相关边长即可求得外接球半径. 16．（23-24高一下·山东济南·阶段练习）已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，则四棱锥的体积为 ，其外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】设的中点为，连接，由面面垂直的性质得到平面，从而求出锥体的体积，设外接圆的圆心为，外接球球心为，先分别求得外接圆的半径与，再利用勾股定理求得外接球的半径，从而得解． 【详解】设的中点为，连接，，连接， 设外接圆的圆心为，半径为，所求外接球球心为，半径为，连接，如图，      因为为等边三角形，，所以，且圆的半径， 因为为等边三角形，是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，所以， 因为底面是矩形，所以是底面外接圆的圆心， 故平面，所以， 同理，所以四边形是矩形， 所以， 所以球的半径， 所以外接球的表面积为． 故答案为：；． 四、解答题 17．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的性质可得，然后由直径所对的圆周角等于可得，进而由线面垂直的判定定理可得平面，从而面面垂直的判定定理得证平面平面. （2）设，作,垂足于，并求的长度，进而由可得，易知是二面角的平面角，从而用余弦定理即可即可求解. 【详解】（1）证明：因为是一条母线，所以平面，而平面，则， 因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即， 又平面且， 所以平面，而平面，则平面平面. （2）设，则，. 取的中点，则，， 作，垂足于，则，即， 进而，所以. 因为分别是的中点，连接， 所以，又，. 由，可知，是二面角的平面角. 所以. 故二面角的余弦值为. 18．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)2 【分析】（1）证明线面平行需要找到平面外的线与平面内线平行即可. （2）由线面垂直得出线线垂直，再由平面外一条线垂直于一个平面内的两条相交直线，即可证明线面垂直，从而证明面面垂直. （3）通过线面角定义找到线面角，然后得出线段长度，由二面角定义找到二面角的平面角，利用三角函数得出二面角平面角的正切值 【详解】（1）∵且为棱的中点， ∴， 又∵，∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴平面. （2）∵且， ∴四边形为正方形， ∴，又由（1）可知, ∴, ∵平面，, ∴且, ∴且, ∴平面平面. （3）由（2）可知直线与平面所成角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平面， ∴且， ∴, ∴， ∴二面角的平面角是, ∴. 19．（23-24高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明平面，即可得证平面平面； （2）取中点，连接，先证明四边形矩形，再由（1）可得平面，从而得为直线与平面所成角，在中，利用求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面ABC，∥， 所以平面ABC，又因为平面ABC，所以， 又因为，E为BC的中点，所以， 又因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）解：取中点，连接，如图所示： 则有∥，且， 由题意可知∥，且， 所以∥，且=， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 由（1）可知平面， 所以平面，面，则， 所以即为直线与平面所成角， 又因为，， 易知为等腰直角三角形， 所以， 所以， 又因为， 在中，, 所以, 在中，， 又因为，所以. 即直线与平面所成角为. 20．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）如图，在多面体中，平面是边长为2的等边三角形．    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，推导出面，为平行四边形，由此能证明面，即可得面面垂直 （2）连接，过在面内作的垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角，由此能求出二面角的平面角的余弦值． 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，， 由于平面平面,故， ，，，平面， 平面， 又，,故， 四边形为平行四边形， ，平面，平面，故平面平面 （2）连接，过在平面内作的垂线，垂足为 连接．平面，平面,， 又，，平面， 平面，平面，故, 又，平面， 平面，平面，故, 为二面角的平面角， ，， ,故 在直角中，,故 ． 二面角的平面角的余弦值为    21．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设平面与几何体的上底面交于点，利用面面平行的性质，得到，再由平面，证得，进而得到和，证得平面，即可证得平面平面. （2）连接，由平面，得到，由平面，将问题转化为到平面的距离，再利用，即可求解. （3）分别取的中点，连接，利用平面平面，将问题转化为平面与平面夹角的余弦值为，过点作，得到则为平面与平面夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解. 【详解】（1）证明：设平面与几何体的上底面交于点，即平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）解：连接，由（1）知平面， 所以就是直线与平面所成的角，即， 因为，所以，所以为直角三角形， 又，所以， 又因为平面平面， 所以点到平面的距离为， 因为平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设为， 因为，所以， 因为，所以， 即点到平面的距离为. （3）解：分别取的中点，连接，则， 因为且平面，，且平面， 所以平面平面， 若平面与平面夹角余弦值为，则平面与平面夹角的余弦值也为， 因为为的中点，，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 连接，过点作于点， 因为平面平面，且平面，所以平面， 过点作于点，连接， 则即为平面与平面夹角，即为，所以， 设，则， 因为，所以， 又因为，所以，， 在直角中，由射影定理知，所以， 在直角中，，所以， 在直角中，， 整理得，解得，即， 所以.    22．（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是一个直角梯形，，. (1)若为的中点，证明：直线平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，得到线面平行； （2）证明线面垂直，得到线线垂直，找到即为二面角的平面角，并得到其余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，且， 又底面是一个直角梯形，，， 所以，， 故，，四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为二面角的平面角， 又，所以， 故二面角的余弦值为. 23．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据等腰梯形的特征利用面面垂直的判定定理即可得出证明； （2）利用线面垂直的性质定理可得即为二面角的平面角，可得其大小为； （3）假设条件成立，然后根据线面平行的性质以及已知条件，求出点的具体位置，即可求解. 【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点， 所以可得四边形为菱形，可得， 又，所以可得； 因为，平面； 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）由平面AECD，平面AECD，可得； 易知，，所以； 又因为，平面； 所以平面， 又平面，所以 又，因此可得即为二面角的平面角， 在直角三角形中，，可得， 即. （3）假设线段上是否存在点P，使得平面， 过点作交于，连接，如下图所示： 所以，即可得四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形，故，可得点为的中点； 故在线段上存在点P，使得平面，且； 易知为正三角形，且，所以可得， 由勾股定理可得， 所以， 因此. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$