精品解析：2025年黑龙江省佳木斯市富锦市富锦市铁路中学、六中九年级二模联考二模数学试题

2024—2025学年九年级第二次模拟考试 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. －3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】∵， ∴最小的数是-3， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完成． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方以及合并同类项． 根据合并同类项可判断A，根据幂的乘方可判断B，根据同底数幂的除法可判断C，根据同底数幂的乘法可判断D． 【详解】A．和不是同类项，不能合并，故不正确； B．，故正确； C．，故不正确； D．，故不正确． 故选B． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，判断判别式的符号，即可得到方程根的情况． 【详解】解：， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选：B． 4. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，先根据角平分线及平行四边形的性质得出，再由等角对等边得出，从而求出的．根据已知得出是解决问题的关键． 【详解】解：平分交边于点E， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故选：B． 5. 已知一次函数的图象经过点和，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法确定一次函数解析式．将两个点代入解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点与点， ∴代入解析式得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 故选：A． 6. 不透明的袋子中有3个白球和2个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式计算求解即可 【详解】∵有5种可能性,白球有3种可能性, ∴摸出1个球，恰好是白球的概率为, 故选C． 【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 7. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解题的关键． 根据正弦的定义可得，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图： ∵， ， 又∵，， ∴， 解得：，（负值已经舍去）． 故选：A． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图形开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算是关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴直线，与坐标轴交点的知识判定即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵对称轴直线为， ∴，故B选项正确，符合题意； ∵二次函数图象与轴交于正半轴， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 9. 如图，是的直径，是弦，交于点D．若，．的长为（ ） A. B. C. 26 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数，解直角三角形得，，，，再根据计算可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵是的直径， ∴，且， ∴， ∴． 故选：D． 10. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一次函数的应用，根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式，根据题意可以写出W与x之间的函数表达式． 【详解】解：设y与x之间的函数解析式为， ， 得， 即y与x之间的函数表达式是； 由题意可得，， 即W与x之间的函数表达式是． 故选：B． 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 12. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练运用解不等式组的方法是正确解决本题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集是， 故答案为：． 13. 已知一组数据1，2，3，4，5，则这组数据的平均数是_____，中位数是______，众数是_____． 【答案】 ①. 3 ②. 3 ③. 1，2，3，4，5 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数、中位数和众数，掌握概念是解答本题的关键． 根据平均数、中位数、众数的定义求解即可． 【详解】解：平均数为：； 将数据从小到大排列为1，2，3，4，5，中位数为第三个数据3． 这组数据中每个数据都出现一次，所以每个数据都是众数，即众数是1，2，3，4，5， 故答案为：3；3；1，2，3，4，5． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan∠EFO的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题可以通过证明∠EFO=∠HDE，再求出∠HDE的正切值就是∠EFO的正切值． 【详解】解： 连接DH． ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=4， ∴BD=,OD=， ∵OH是⊙D的切线， ∴DH⊥OH． ∵DH=1， ∴OH=2． ∴tan∠ADB=tan∠HOD=， ∵∠ADB=∠HOD， ∴OE=ED． 设EH为x，则ED=OE=OH-EH=2-x． x2+12=(2-x)2 解得，x=， 又∵∠FOE=∠DHO=90°， ∴FO∥DH， ∴∠EFO=∠HDE， ∴tan∠EFO=tan∠HDE=. 15. 如图是等边三角形，点D是边上一点，以为边作等边，连接．若，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 16. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，第n个等式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，以及数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意推导一般性规律即可． 【详解】解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，第n个等式为：， 故答案为：． 三、解答题（满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式化简的方法． 18. 解方程：． 【答案】无实数根． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，一元二次方程根的判别式，先将分式方程两边同时乘以化为一元二次方程，再根据根的判别式即可求解，熟练掌握分式方程的解法及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴一元二次方程无实数根， ∴原分式方程无实数根． 19. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E， （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 【答案】 证明：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACD， ∵AE∥BC， ∴∠EAC=∠ACD， ∴∠B=∠EAC， ∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∵CE⊥AE， ∴∠ADC=∠CEA=90° 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）AB∥DE，AB=DE，理由如下： 如图所示， ∵AD⊥BC，AE∥BC， ∴AD⊥AE， 又∵CE⊥AE， ∴四边形ADCE是矩形， ∴AC=DE， ∵AB=AC， ∴AB=DE， ∵AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB∥DE，AB=DE． 【解析】 【分析】（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE； （2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到AB=DE． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，综合运用这些知识是解题的关键． 20. 为了解学生对“垃圾分类”知识的了解程度，某学校对本校学生进行抽样调查，并绘制统计图，其中统计图中没有标注相应人数的百分比．请根据统计图回答下列问题： （1）求“非常了解”的人数的百分比． （2）已知该校共有1200名学生，请估计对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人？ 【答案】（1）20%；（2）600 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据扇形统计图可以求得“非常了解”的人数的百分比；（2）根据扇形统计图可以求得对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人． 试题解析：（1）由题意可得， “非常了解”的人数的百分比为：， 即“非常了解”的人数的百分比为20%； （2）由题意可得， 对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有：1200×=600（人）， 即对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有600人 考点：（1）扇形统计图；（2）用样本估计总体 21. 如图，一艘渔船以海里的速度由西向东追赶鱼群，在处测得小岛在船的北偏东方向；后，渔船行至处，此时测得小岛在船的北偏东方向．已知以小岛为中心，周围海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？ 【答案】解：没有危险，理由： 作CD⊥AB于D， 根据题意，（海里），，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 所以没有危险． 【解析】 【分析】根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与10的大小．因此作CD⊥AB于D点，求CD的长． 【详解】略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，“化斜为直”是解三角形的常规思路，常需作垂线（高），构造直角三角形．原则上不破坏特殊角（）． 22. 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）． （1）当x=1000时，y= 元/件，w内= 元； （2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）； （3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值． 【答案】（1）140；57500；（2）w内=x2+130x﹣62500，w外=x2+（150﹣a）x．（3）30. 【解析】 【分析】（1）根据函数关系式为y=x＋150即可求得当x=1000时的销售价格，再结合每月还需支出广告费62500元即可求得月利润； （2）仔细分析题中的国内和国外两种销售方案即可求得结果； （3）根据二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）把x=1000代入y=x＋150，得：y=140， w内=1000×140-1000×20-62500=57500， 故答案是：140，57500； （2）由题意得：w内=x（y-20）-62500=x2＋130x， w外=x2＋（150）x； （3）当x== 6500时，w内最大， 由题意得：， 解得：a1=30，a2=270（不合题意，舍去）， ∴a=30． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用以及二次函数的性质，根据数量关系“利润=售价-成本”列出函数解析式，是解题的关键． 23. （2013年四川广安10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D． ①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标； ②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号） 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）①P（，）；②点P（，）或（，2）． 【解析】 【分析】（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可． （2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标． ②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3． （2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3．∴△AOB是等腰直角三角形．∴∠BAO=45°． ∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°． 又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形．∴PD越大，△PDE的周长越大． 易得直线AB的解析式为y=x+3， 设与AB平行的直线解析式为y=x+m， 联立，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0， 当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长， 此时x=，y=+=， ∴点P（，）时，△PDE的周长最大． ②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线， （i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q， 在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°， ∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°． ∴∠APF=∠QPM． ∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS）．∴PF=PQ． 设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n）． ∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4=0． 解得n1=（舍去），n2=，﹣1﹣n=﹣1﹣=， ∴点P的坐标为（，）． （ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q， ∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN． 又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ． ∴PF=AQ． 设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3）， 则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2， 解得x=（不合题意，舍去）或x=． ∴点P坐标为（，2）． 综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（，2）． 【点睛】本题考查二次函数综合题，单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，分类思想的应用． 24. 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G． （1）求证：AE⊥BF； （2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值； （3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积． 【答案】（1） 如图1， ∵E，F分别是正方形边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）sin∠BQP＝ （3）四边形的面积是 【解析】 【分析】（1）由E，F分别是正方形边的中点知，证明得，根据即可得，据此即可得证． （2）由折叠的性质得，利用角的关系证明，令，则，在中，设，利用勾股定理求出x与k的关系即可解决问题． （3）先求出正方形的边长，利用勾股定理求出的长，由求出的长，再由求出，然后利用求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，由折叠的性质得， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则， 在中，设， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵正方形的面积为4， ∴边长为2， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形GHMN的面积是． 【点睛】本题考查了旋转的性质，翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟知旋转、翻折不变性是解答此题的关键，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年九年级第二次模拟考试 数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. －3 B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知一次函数的图象经过点和，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中有3个白球和2个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率为（） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，是弦，交于点D．若，．的长为（ ） A. B. C. 26 D. 20 10. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，满分18分） 11. 分解因式：_____． 12. 不等式组的解集是______． 13. 已知一组数据1，2，3，4，5，则这组数据的平均数是_____，中位数是______，众数是_____． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan∠EFO的值为_____． 15. 如图是等边三角形，点D是边上一点，以为边作等边，连接．若，，则______． 16. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，第n个等式为______． 三、解答题（满分72分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E， （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 20. 为了解学生对“垃圾分类”知识的了解程度，某学校对本校学生进行抽样调查，并绘制统计图，其中统计图中没有标注相应人数的百分比．请根据统计图回答下列问题： （1）求“非常了解”的人数的百分比． （2）已知该校共有1200名学生，请估计对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人？ 21. 如图，一艘渔船以海里的速度由西向东追赶鱼群，在处测得小岛在船的北偏东方向；后，渔船行至处，此时测得小岛在船的北偏东方向．已知以小岛为中心，周围海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？ 22. 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）． （1）当x=1000时，y= 元/件，w内= 元； （2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）； （3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值． 23. （2013年四川广安10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D． ①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标； ②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号） 24. 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G． （1）求证：AE⊥BF； （2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值； （3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $