精品解析：山东省淄博第四中学2024-2025学年高一下学期学分认定(期中)考试数学试卷

淄博四中高2024级高一下学期学分认定考试 数学·试卷 命题人：高云华 校对人：孙雪斐 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共19题，4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后只将答题卡收回． 注意事项： 1．答题前，务必将本人班级、姓名、考号、考场、座号用正楷字体填写在答题卡相应位置 2．答第Ⅰ卷时，必须使用2B相笔填涂答题卡上相应题目的答案涂黑，修改时，要用橡皮擦干净后，选涂其他答案标号，写在试卷上的答案无效． 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，作图时，可用2B铅笔，要求字体工整，清晰，务必在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷及草稿纸上的答案无效． 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 3. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B. 直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥 C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 6. 灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数单调增区间为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 8. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式的值为1的是（ ） A. B. C D. 10. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则；反之，若，则 C. ，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为 D. ，角的平分线交边于，且，则的最小值为12 11. 如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ） A. 该几何体的高为 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体的体积为 D. 一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量的夹角为，，，则________． 13. 如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且＝2，则原平面图形的面积为______. 14. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应点位于第四象限，求的取值范围． 16. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 17. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为6cm，高为20cm，圆锥母线为10cm． （1）计算该模型的体积. （2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？ 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若为锐角，，求的值． （2）在中，若是的中点，且，求的面积； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博四中高2024级高一下学期学分认定考试 数学·试卷 命题人：高云华 校对人：孙雪斐 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共19题，4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后只将答题卡收回． 注意事项： 1．答题前，务必将本人班级、姓名、考号、考场、座号用正楷字体填写在答题卡相应位置 2．答第Ⅰ卷时，必须使用2B相笔填涂答题卡上相应题目的答案涂黑，修改时，要用橡皮擦干净后，选涂其他答案标号，写在试卷上的答案无效． 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，作图时，可用2B铅笔，要求字体工整，清晰，务必在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷及草稿纸上的答案无效． 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算写出进而写出的值. 【详解】因为，所以， 所以 故选：A 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分几何体是四棱柱. 故选：C 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得，再由正弦二倍角及同角三角函数的基本关系，可将原式化简为，代入求值即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：B． 4. 如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形ABCD中，M是AB的中点，得到，从而利用向量基本定理得到. 【详解】平行四边形ABCD中，M是AB的中点，故， 则，所以， . 故选：A 5. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B. 直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥 C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【答案】C 【解析】 【分析】利用棱锥、圆锥、棱台的结构特征判断ABD；利用侧棱与其在底面内的射影大小关系推理判断C； 【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体叫做棱锥，A错误； 对于B，直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周得到的旋转体是共底面的两个圆锥构成的组合体，B错误； 对于C，假定是六棱锥，则该六棱锥的底面是正六边形，所有侧棱长相等，各侧棱在底面上的射影都相等， 因此该六棱锥是正六棱锥，而正六边形半径等于其边长，则该六棱锥的侧棱长等于它在底面内的射影， 与平面的斜线段大于它在该平面内的射影矛盾，从而该棱锥不可能是六棱锥，C正确； 对于D，用一个与底面平行的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，D错误. 故选：C 6. 灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意得到角度和边，则在中，由正弦定理可求得， 而塔是垂直于地面的，故在中，结合仰角和可算得龙洲塔高度. 【详解】由题意可知，所以， 在中，由正弦定理可得， 因为处测得塔尖的仰角为，即， 则在中，龙洲塔高度为. 故选：C. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即可. 【详解】， 由图可知，，可得，， ，，故正确； ， 解得， 所以函数在单调递增，故正确； 函数的图象向左平移个单位长度得， ，故错误； ，， 当时，，此时有两个零点， 即，可得，故正确. 故选：. 8. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示，边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即， 于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，， 而，因此有，从而得， 所以是等腰直角三角形. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式的值为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式判断A，利用诱导公式及二倍角公式判断B，利用诱导公式及两角和的正弦公式判断C，利用二倍角公式判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C： ，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：BC 10. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则；反之，若，则 C. ，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为 D. ，角的平分线交边于，且，则的最小值为12 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用正弦定理计算判断A，由正弦定理判断B，应用正弦定理及正弦值域计算判断C，应用面积法得出，结合基本不等式判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，A选项错误； 对于B，由正弦定理得，若，则，所有；反之，若，则，所有，B选项正确； 对于C，因为，，，所以，所以，要使此三角形的解有两个， 则，所以，则的取值范围为，C选项正确； 对于D，因为，角的平分线交边于，且， 则，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当时，取的最小值为12，D选项正确. 故选：BCD. 11. 如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ） A. 该几何体的高为 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体的体积为 D. 一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正置于同一平面，求出判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高， 因此该几何体的高为，A正确； 对于B，几何体的表面积为，B错误； 对于C，该几何体的体积为，C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图， 取中点，连接，则，而， 所以最短路程为，D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量的夹角为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，根据模长平方关系结合数量积运算律求解即可. 【详解】因为向量的夹角为，，， 则， 可得， 所以. 故答案为：. 13. 如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且＝2，则原平面图形的面积为______. 【答案】8 【解析】 【分析】利用斜二测画法还原直观图即得. 【详解】由题可知， ∴，还原直观图可得原平面图形，如图， 则， ∴原平面图形的面积为. 故答案为：. 14. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件利用三角形面积公式，向量的数量积和三角恒等变换，得，，的外接圆半径，，由向量的模和夹角讨论运算结果的取值范围. 【详解】，又， 由，解得， 由，得，则有，. ， 则有， ，则有，所以有，， 的外接圆为圆O，P为圆O上的点， 由正弦定理得的外接圆半径，则有， ， ，， 为中点，，， 当与方向相同时，有最大值， 当与方向相反时，有最小值， 所以的最大值为，最小值为， 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用，本题利用向量数量积的定义结合了图形几何性质求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数，， 可得， 因为复数为纯虚数，所以，解得． 【小问2详解】 解：由， 可得， 因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得 所以实数的取值范围为． 16. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】（1） （2），，． 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算及两向量垂直的条件即可求解; （2）根据向量夹角与向量数量积的关系及共线向量的充要条件即可求解. 【小问1详解】 若，则， ， ，， ，，， ， . 【小问2详解】 向量与的夹角为锐角，则， ，， ，又， ，， 又当与的夹角为不符题意， ， ， 所以取值范围为，，． 17. 如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为6cm，高为20cm，圆锥母线为10cm． （1）计算该模型的体积. （2）现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用是多少？ 【答案】（1） （2）（元）. 【解析】 【分析】（1）首先求圆锥的高，再根据圆柱与圆锥的体积公式，即可求解； （2）首先求组合体的表面积，再求总费用. 【小问1详解】 设圆锥的高为， 由题意得圆锥母线为10cm， 则， ； 【小问2详解】 圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为36π， 圆锥侧面积为． ， 故总费用为（元）. 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式可得，由此可得结果. （2）根据面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形的周长. （3）根据，利用两角差的余弦公式及辅助角公式化简，结合的范围即可求出答案. 【小问1详解】 ∵，∴，即， ∵，∴， ∴，故. 【小问2详解】 由（1）得，， ∵的面积为，∴，即，解得， 由余弦定理得，， ∴，故的周长为. 【小问3详解】 由得，则， ∴ . ∵为锐角三角形，∴，故， ∴，故， ∴，即的取值范围是. 19. 已知函数． （1）若为锐角，，求的值． （2）在中，若是的中点，且，求的面积； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由恒等变换公式化简函数解析式，即可得到，再由代入计算，即可得到结果； （2）由中线可得，从而可得，结合余弦定理与三角形的面积公式代入计算，即可得到结果； （3）将不等式化简，然后换元可得在上恒成立，分离参数结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 由可得， 且为锐角，则，即，则， 即， 所以 . 【小问2详解】 因为，且，则， 则，解得， 由为三角形的中线，则， 即， 即，化简可得①， 由余弦定理可得， 化简可得②， ①②可得，即， 则. 【小问3详解】 ， 由可得，则， 由不等式在上恒成立， 可得在上恒成立， 且 ， 令，则， 则不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立， 所以，即， 则实数m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $