9.3 二元一次方程组的应用（10大题型提分练）（题型专练）数学新教材沪教版六年级下册

9.3 二元一次方程组的应用 题型一、数字问题 1. 有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 2. 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 3. 我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，得到方程组为，则根据图2所示的算筹图，列出方程组为（   ） A． B． C． D． 4. 如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 5. 相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 6. 算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 7. 将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    题型二、年龄问题 1. 爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 2. 在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 3. 甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 题型三、行程问题 1. 已知一辆快车长，一辆慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到离开慢车共用；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车共用．求两车的速度． 2. 一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用了6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时．求该轮船在静水中的速度和水流速度． 3. 甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 4. 一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 题型四、工程问题 1. 某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 2. 玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 3. 有一段长为180m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治8m，乙工程队每天整治12m，共用20天．甲，乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道．根据题意，得；小华同学：设表示________，表示________．根据题意，得．请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 4. 2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 5. 一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 6. 为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． (1)甲、乙工程队每天各施工多少米？ (2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 题型五、几何问题 1. 在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组 ． 2. 如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 3. 如图，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． 4. 小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 5. 学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 6. 如图，长方形由7个正方形组成，正方形的边长为，正方形B的边长为．求此长方形的面积． 题型六、分配问题 1. 某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，为使每天的产品刚好配套，应如何安排？ 2. 现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？ 3. 春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 4. 1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？ 5. 某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 6. 丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 7. 工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 8. 某大学食堂为学生免费制作香甜辣椒酱和超级辣椒酱，具体配方如下： 香甜辣椒酱 产量： 番茄酱 5个青辣椒  切块 4个红辣椒  去籽并切块 超级辣椒酱 产量： 番茄酱 4个青辣椒  切块 8个红辣椒  去籽并切块 该食堂购进了1050个青辣椒和1200个红辣椒 (1)如果只制作香甜辣椒酱或只制作超级辣椒酱，各自最多能制作多少千克？ (2)若购进的青辣椒和红辣椒恰好全部消耗掉，则可制作两种辣椒酱各多少千克？ 题型七、古代数学问题 1. 鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答） 2. 我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 3. 《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？ 4. 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千． 甜果九个十一文，苦果七个四文钱． 试问甜苦果几个，又问各该几个钱． 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题． 5. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题． 6. 程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 7. 在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷． 一、周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数？ 解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，根据题意，得 解之得 答：这个两位数是36，即周瑜活到36时病逝． 下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？ 二、官兵分布 一千官兵一千布，一官四尺无零数； 四兵才得布一尺，请问官兵多少数？ 三、老头买梨 一群老头去赶集，半路买了一堆梨； 一人一个多一个，一人两个少两梨． 请问君子知道否，几个老头几个梨？ 关于这类的问题还有很多，平时同学们可以搜集一些！（注意：在中考时也有这样的题目哟！） 8. 《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 题型八、方案问题 1. “绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． 2. 刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元； (1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案． 3. 某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 4. 已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 5. 某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 6. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 7. A班师生共23人准备前往“冰雪世界游乐园”开展研学旅游活动，游乐园门票价格如下：成人票每张240元，学生票按成人票价的五折优惠，团体票（30人及以上）按成人票价的六折优惠． (1)若A班购买门票共花3120元，则A班一共去了几名老师？几名学生？ (2)在（1）的条件下，B班有5名老师和24名学生与A班一起去“冰雪世界游乐园”研学旅游，请你算一算，怎样购票更省钱？ 8. 初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，某校欲购置规格为的甲品牌消毒液和规格为的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请求出所有的购买方案． (3)若该校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 9. 综合与实践 为开阔学生视野，某校组织八年级师生开展研学活动，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人；如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人． (1)请问甲、乙两种客车每次满载分别可运送多少人？ (2)若该校有名师生参加研学活动，研学中心安排了名导游，每名导游都需要安排座位，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租甲、乙、丙三种客车，共8辆（每种客车至少辆），丙种客车每次满载可运送人，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若甲种客车每辆需租金元，乙种客车每辆需租金元，丙种客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 题型九、综合型问题 1. 某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 2. 今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 3. 某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 4. 请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了_______张C型的消费券，此时的实际消费最少为_______元． 任务二 若小明一家用13张型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求 型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此过消费券的搭配方案． 5. 根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面． (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 6. 解答： 设计烟花采购方案 为吸引游客，浦江县决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长 素材1 已知购买3箱A型和2箱B型烟花需要600元，购买5箱A型和3箱B型烟花需要950元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱8发，B型烟花每箱12发． （2）即将推出新品C型烟花，每箱200元，每箱15发． （3）本厂生产的所有型号烟花每发保持5秒．（例如A型烟花燃放时间为） 素 材 3 （1）浦江县准备支出7800元（全部用完）购买烟花． （2）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． 问题解决 任务1 确定单价 求A、B型烟花每箱多少元？ 任务2 确定方案① 若仅购买A，B型烟花，可以燃放多少秒？ 确定方案② 若同时采购A、B、C三种烟花，A型烟花的箱数是C型的5倍，如何采购使得燃放时间最长？． 题型十、其他问题 1. 一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 2. 杆秤是我国度量衡“三大件（尺、斗、秤）”的重要组成部分，是中华民族衡重的基本工具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此． 如图1是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，设秤盘和货物的总质量为，秤砣的质量为，当秤杆平衡时，有，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图2所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是；如图3所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，回答下列问题： (1)分别求出秤盘和秤砣的质量； (2)求这把杆秤的秤星对应的刻度是多少克． 3. 随着科技的发展，许多家庭都使用了智能家居设备．某些智能设备通常安装了两块电池：主电池和辅助电池．由于主电池负责主要的电力供应，其损耗速度比辅助电池快．如果主电池耗尽后直接更换新电池，而辅助电池继续使用旧电池，设备的续航时间和稳定性会显著下降；如果同时更换两块电池，使用成本又会增加．为了解决这个问题，设备制造问商建议定期对两块电池进行轮换使用． 已知：主电池在设备使用达到400小时后需要更换，辅助电池在设备使用达到600小时后需要更换． (1)设每个电池的总消耗量为1，则主电池每使用1小时的消耗量为_______，辅助电池每使用1小时的消耗量为_______； (2)如果在电池的使用周期内只交换一次主电池和辅助电池，那么应在设备使用时间达到多少小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽？并求出电池耗尽时设备的总使用时间． 4. 某市《生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现： ①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了； ②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中废纸占； ③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有的废纸； ④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克． 根据上述信息回答下面的问题： (1)学校现在每天的可回收物和干垃圾各为多少千克？ (2)回收1吨废纸，大约可以少砍17棵大树，“垃圾分类宣传”志愿者小队中的部分成员计划每天放学后开展将干垃圾中的废纸清理出来的活动，已知六年级平均每个学生5分钟可清理干垃圾3千克，七年级平均每个学生5分钟可清理干垃圾5千克，问如何分配人员参与活动，恰好5分钟可以将学校1天的所有干垃圾清理完毕？（两个年级均要有学生参加） 1. 嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品x克，表取样品y克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2. 《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3. 3月14日数学节当天，我校初一年级学生积极参与“速算游园”活动．活动中，小阳和小光展开了如下对话： 小阳说：“我比你多解了3道题！” 小光回应：“如果你给我3道题，我的解题数量就是你的两倍啦．” 若两人的陈述均为真，设小阳解了x道题，小光解了y道题，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 4. 用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是（   ） A． B． C． D． 5. 小王用42元钱去购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个6元，乙种学习用品每个4元．42元钱恰好用完，则小王的购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 6. 某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7. 把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（    ）      A． B． C． D． 8. 某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 9. 某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 10. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树． （1）若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要 天完成； （2）若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少 天． 11. 在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m，n对应的密文为，．例如，明文1，2对应的密文是，7．若接收方收到密文6，2，则解密后得到的明文是 ． 12. 一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 13. 王老师买了一批图书准备分给某班的学生阅读，若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书．则这批书有多少本？ 14. 你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 15. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，酮酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是．现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿29斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？ 16. 3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由． 17. 食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 18. 某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边______米，________米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． 19. 某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 20. 某电器公司计划用甲、乙两种汽车运送190台家电到农村销售，已知甲种汽车每辆可运送家电20台，乙种汽车每辆可运送家电30台，一共用了8辆汽车满载运送． (1)小宇同学根据题意列出了一个尚不完整的方程组，请写出小宇所列方程组中未知数，表示的意义：表示 ，表示 ，该方程组中“？”处的数应是 ，“*”处的数应是 ． (2)小琼同学的思路是设甲种汽车运送m台家电，乙种汽车运送n台家电．请你按照小琼的思路列出方程组，并求甲种汽车的数量． (3)如果每辆甲种汽车的运费是180元，每辆乙种汽车的运费是300元，那么该公司运送这190台家电后的总运费是多少？ 21. 在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 22. 某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． (1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量； (2)求1块板的所有无浪费裁切方案； (3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切． 23. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 24. 吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个a元，售价每个16元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个b元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求a，b的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件m个，求有几种购买方案． (3)在（2）的条件下，在获得最大利润的同时，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润全部再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案． 25. 每年的4月23日是世界读书日，某校打算在世界读书日当天举办“阅读分享演讲比赛”，张老师负责这次比赛的奖品采购工作，如下是他整理的采购方案表，请结合相关数据，解决任务（1）~（3）的问题． “阅读分享演讲比赛”奖项设置和奖品采购方案表 奖项设置 设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需确定获奖人数以及奖品购买方案． 成本 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元；1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． 预算 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 要求 ①计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且； ②一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1本笔记本． 问题解决 任务（1） 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各需多少元？ 任务（2） 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务（3） 确定获奖人数 任务（2）购买的奖品刚好全部发完，求出a，b的值． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.3 二元一次方程组的应用 题型一、数字问题 1. 有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 2. 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键；根据第一行与第三列的和相等，斜对角线与第一行的和相等，列出方程组即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：A． 3. 我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，得到方程组为，则根据图2所示的算筹图，列出方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图2所示的方程组． 【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法， 可推出图2所示的算筹表示的方程组：． 故选：A． 4. 如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，整式的加法，先用，表示，的式子，结合，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得 ②①得，解得 把 代入①得，解得， 所以， 因为 ， 甲：时，，解得，正确； 乙：则，即，正确； 丙：，正确； 故选：D． 5. 相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 根据每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于的二元一次方程，化简后，即可得出的值． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：D． 6. 算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出百位数，设个位数字为，十位数字为，由题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：依题意，百位数为，设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴这个三位数为． 7. 将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【难度】0.85 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 题型二、年龄问题 1. 爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2. 在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 3. 甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 【答案】 28 21 【难度】0.65 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁， 由题意得：， 解得：， 即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁， 故答案为：28，21． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 题型三、行程问题 1. 已知一辆快车长，一辆慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到离开慢车共用；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车共用．求两车的速度． 【答案】快车速度为，慢车速度为 【难度】0.65 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设快车的速度为，慢车的速度为，根据同向行驶快车比慢车多行驶的距离是快车车长，相向行驶时，从相遇到离开，两车所走距离之和为两车车身之和，从而列出方程组求解即可． 【详解】解：设快车的速度为，慢车的速度为， 由题意得，， 解得：． 答：快车的速度为，慢车的速度为． 2. 一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用了6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时．求该轮船在静水中的速度和水流速度． 【答案】该轮船在静水中的速度为，水流速度为 【难度】0.65 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——航行问题．熟练掌握船顺水速度、逆水速度与静水中速度和水流速度的关系，列出二元一次方程组，是解题的关键． 设该轮船在静水中的速度是，水流速度是，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该轮船在静水中的速度为，水流速度为． 依题意，得， 解得，． 答：该轮船在静水中的速度为，水流速度为． 3. 甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【难度】0.65 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可． 【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 4. 一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【答案】(1)水流速度是每小时5千米； (2)救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； (3)救生圈于上午12时掉入水中． 【难度】0.65 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得： ， 解得：， 答：水流速度是每小时5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 题型四、工程问题 1. 某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 2. 玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 【答案】应选甲公司 【难度】0.85 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是通过设未知数，根据工作总量=工作时间工作效率的关系列出方程组，从而求出甲乙各自的工作效率，进而得出单独完成工作所需时间． 首先设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为．根据甲乙合作 6 周完成工作，可列出一个方程；再依据甲单独做 4 周后乙做 9 周完成工作，列出另一个方程，联立方程组求解出和的值，即得到甲乙每周的工作效率．然后根据工作时间＝工作总量工作效率，计算出甲乙单独完成工作分别需要的时间，比较两者时间长短，时间短的公司更节约时间． 【详解】设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为， 联立方程组：    ， 解得，， 即甲单独完成需要10周，乙单独完成需要15周 因此从节约时间的角度考虑应选甲公司 3. 有一段长为180m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治8m，乙工程队每天整治12m，共用20天．甲，乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道．根据题意，得；小华同学：设表示________，表示________．根据题意，得．请你补全小明，小华两位同学的解题思路； (2)请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 【答案】(1)180，，，甲工程队整治河道的天数，乙工程队整治河道的天数； (2)见解析． 【难度】0.65 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义； （2）根据题意，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 ； 小华同学： 设整治任务完成后，m表示甲工程队工作的时间，n表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得： ． 故答案为：180；；甲工程队工作的时间；乙工程队工作的时间． （2）选择小明同学的解题思路： 设甲工程队整治河道，乙工程队整治河道， 根据题意，得， 解得， 故甲工程队整治河道120m，乙工程队整治河道60m． （或选择小华同学的解题思路）： 设甲工程队整治河道天，乙工程队整治河道天． 根据题意，得，， 解得， ． 故甲工程队整治河道120m，乙工程队整治河道60m． 4. 2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米 (2)按此施工进度，还需要200天完成任务 【难度】0.65 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键． （1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米； （2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务， 根据题意得：， 解得：． 答：按此施工进度，还需要200天完成任务． 5. 一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 【答案】4天；2天 【难度】0.85 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组在工程问题中的应用，解题的关键是审清题意，正确列出方程组． ①工程类问题中相等关系一般都比较明显，常见的一组相等关系是：两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量之和等于工作总量．2在工程类问题中如果没有工作总量，一般情况下把工作总量设为单位“1”． 根据题目中提供的信息找出两个相等关系建立方程求解即可． 【详解】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天 根据题意有解得 答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天． 6. 为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． (1)甲、乙工程队每天各施工多少米？ (2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 【答案】(1)甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米 (2)需支付的总费用为60000元 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天，根据题意列出方程求出a的值，再根据“总费用甲工程队费用乙工程队费用求解”即可解题． 【详解】（1）解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据题意，得， 解得． 答：甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天， 则， 解得， （元）． 答：需支付的总费用为60000元． 题型五、几何问题 1. 在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．根据长方形的长等于一个小长方形的长与三个小长方形的宽之和、两个小长方形的宽加上等于一个小长方形的长与一个小长方形的宽之和建立方程组即可得． 【详解】解：由题意可列方程组为， 故答案为：． 2. 如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 【答案】/35厘米 【难度】0.85 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键． 设每块墙砖的长为，宽为，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低”列方程组求解可得． 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为，根据题意得： 解得：， ． 3. 如图，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为（平方厘米） 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，求出小长方形的边长是解题的关键．设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，根据图形列出方程组，解出x和y的值，再利用阴影部分的面积大长方形的面积减去8个小长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米， 由题意，得， 解得： ， 故阴影部分的面积为（平方厘米）． 4. 小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组、代入消元法 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 5. 学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 【答案】(1)大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为，得到，解得，即可得到答案； （2）设重叠部分小正方形的边长为，得到，解得，求出阴影部分的面积为． 【详解】（1）解：设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为， 根据题意，得 解得， 大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； （2）解：设重叠部分小正方形的边长为， 根据题意，得． 解得， 阴影部分的面积为． 6. 如图，长方形由7个正方形组成，正方形的边长为，正方形B的边长为．求此长方形的面积． 【答案】长方形的面积为 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得到，解得，进而即可求出长方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得到， 解得， 长方形的面积． 答：长方形的面积为． 题型六、分配问题 1. 某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，为使每天的产品刚好配套，应如何安排？ 【答案】安排10人生产螺钉，12人生产螺母 【难度】0.65 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：设安排人生产螺钉，人生产螺母， 根据题意列方程组得， 解得； 答：安排10人生产螺钉，12人生产螺母． 2. 现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？ 【答案】恰好需要甲型钢板4块，乙型钢板7块 【难度】0.94 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：设需要甲型钢板块，乙型钢板块， 根据题意，得， 解得 答：恰好需要甲型钢板4块，乙型钢板7块． 3. 春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 【答案】这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶 【难度】0.85 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解． 【详解】解：依题意，22.5吨千克克， 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶， 由题意得 ， 解得 ， 答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶． 4. 1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【答案】应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌 【难度】0.65 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好能配成方桌，由题意：已知木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有的木料，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，则恰好配成张方桌， 由题意得， 解得， ． 答：应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌． 5. 某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【答案】该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间 【难度】0.85 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；理解题意，设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据题意列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间． 6. 丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 【答案】12个 【难度】0.65 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面， 由题意得， 解得． （个）或（个） 答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 7. 工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星． (1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？ (2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？ 【答案】(1)制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元 (2)360面 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法的实际应用、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元，根据布料一共有75米，且每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求求出大五角星的数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元， 由题意得， 解得， 答：制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元； （2）解：面， 答：本批布料制作的五角星共能制作360面国旗． 8. 某大学食堂为学生免费制作香甜辣椒酱和超级辣椒酱，具体配方如下： 香甜辣椒酱 产量： 番茄酱 5个青辣椒  切块 4个红辣椒  去籽并切块 超级辣椒酱 产量： 番茄酱 4个青辣椒  切块 8个红辣椒  去籽并切块 该食堂购进了1050个青辣椒和1200个红辣椒 (1)如果只制作香甜辣椒酱或只制作超级辣椒酱，各自最多能制作多少千克？ (2)若购进的青辣椒和红辣椒恰好全部消耗掉，则可制作两种辣椒酱各多少千克？ 【答案】(1)如果只制作香甜辣椒酱或只制作超级辣椒酱，最多可制造香甜辣椒酱或最多可制造超级辣椒酱； (2)购进的青辣椒和红辣椒恰好全部消耗掉，则可制作香甜辣椒酱、超级辣椒酱为． 【难度】0.65 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系，正确列出方程组是解题的关键． （1）分别求出只制作香甜辣椒酱或只制作超级辣椒酱的数量，比较后即可得到结论； （2）设制作香甜辣椒酱、超级辣椒酱分别为，，根据食堂购进了1050个青辣椒和1200个红辣椒列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：只制作香甜辣椒酱： ∵，，， ∴最多可制造香甜辣椒酱； 只制作超级辣椒酱： ∵，，， ∴最多可制造超级辣椒酱； 答：如果只制作香甜辣椒酱或只制作超级辣椒酱，最多可制造香甜辣椒酱或最多可制造超级辣椒酱； （2）设制作香甜辣椒酱、超级辣椒酱分别为，， 则 解得， 答：购进的青辣椒和红辣椒恰好全部消耗掉，则可制作香甜辣椒酱、超级辣椒酱为． 题型七、古代数学问题 1. 鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答） 【答案】鸡只，兔只． 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的鸡兔同笼问题，找出等量关系并根据生活常识列出方程组是解题关键．根据“上有20头，下有54足”，得出关于、的二元一次方程组，解之即得． 【详解】解：设鸡只，兔只， 由题意得：，解得：， 答：鸡只，兔只． 2. 我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 【答案】共有名客人，两银子 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设共有名客人，两银子，根据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两，构建方程组即可．解题的关键是理解题意，正确列出方程组． 【详解】解：设共有名客人，两银子， 由题意可得， 解得， 答：共有名客人，两银子． 3. 《孙子算经》中有这样一题，原文：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问长木几何？大意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？ 【答案】长木为6.5尺 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用 ，设绳子x尺，长木y尺．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设绳子x尺，长木y尺． 由题意可得 解得 答：长木为6.5尺． 4. 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题： 九百九十九文钱，甜果苦果买一千． 甜果九个十一文，苦果七个四文钱． 试问甜苦果几个，又问各该几个钱． 意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题． 【答案】购买甜果、苦果的个数分别为个，每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 【知识点】有理数除法的应用、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、有理数的除法运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组成为解题的关键． 设购买甜果、苦果的个数分别为个，然后根据题意列二元一次方程组即可求得购买甜果、苦果的个数，然后再根据题意求得每个甜果、苦果的价格即可． 【详解】解：设购买甜果、苦果的个数分别为个， 由题意可得：，解得：． ∴购买甜果、苦果的个数分别为个， ∵十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果， ∴每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 答：购买甜果、苦果的个数分别为个，每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱． 5. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题． 【答案】客人30个，盘子13个 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有x个客人，y个盘子． 根据题意，得 , 解得 ， 答∶有30个客人，13个盘子． 6. 程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 【答案】醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据33位客人总共饮下了19瓶酒，醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶． 根据题意，得 解得； 答：他们醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶． 7. 在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷． 一、周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？ 诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数？ 解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，根据题意，得 解之得 答：这个两位数是36，即周瑜活到36时病逝． 下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？ 二、官兵分布 一千官兵一千布，一官四尺无零数； 四兵才得布一尺，请问官兵多少数？ 三、老头买梨 一群老头去赶集，半路买了一堆梨； 一人一个多一个，一人两个少两梨． 请问君子知道否，几个老头几个梨？ 关于这类的问题还有很多，平时同学们可以搜集一些！（注意：在中考时也有这样的题目哟！） 【答案】二、有200名官，800名兵；三、3个老头，4个梨 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，先确定等量关系，再列出方程组，求出解即可． 【详解】解：二、设官兵各有x人，y人．根据题意，得 ， 解得. 答：有200名军官，800名士兵； 三、设有x个老头，y个梨．根据题意，得 ， 解得. 答：有3个老头，4个梨． 8. 《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【答案】(1) (2)共有7人；物品的价格为53元 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用． （1）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组； （2）根据总钱数不变列式求解即可得到答案． 【详解】（1） 解：表示的方程是； （2）解：设有人，则物品的价格为钱，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：共有7人；物品的价格为53元． 题型八、方案问题 1. “绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解1棵种树苗、4棵种树苗的售价共计130元；2棵种树苗、3棵种树苗的售价共计160元． (1)求，两种树苗每棵的售价分别为多少元？ (2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗（两种树苗均要购买，且400元全部用完），问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元 (2)答：共有以下3种购买方案：方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵；方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵；方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程整数解和二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设未知数，列出方程或方程组； （1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，列出方程，再求正整数解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为50元，20元． （2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进2棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进4棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进6棵，B种树木购进5棵． 2. 刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元； (1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案． 【答案】(1)型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元 (2)有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用． （1）设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个，根据题意列出关于m，n的二元一次方程，然后根据、为非负整数，得出，或，即可得出两种方案． 【详解】（1）解：设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元， 根据题意，得 解得 答：型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元； （2）解：设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个， 由题意可得：， ∵、为非负整数， ∴，或，， ∴有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个． 3. 某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 【答案】(1)A型车每辆载学生30人，B型车每辆载学生40人 (2)见解析 (3)租用1辆A型8辆B型车花费最少，为10600元 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人，根据题意列方程组求解即可； （2）设租用型辆，型辆，根据题意列方程求解即可； （3）根据（1）的方案分别计算即可． 【详解】（1）设A型车每辆载学生人，B型车每辆载学生人， 可得： 解得：， 答：A型车每辆载学生30人，B型车每辆载学生40人． （2）设租用A型辆，B型辆， 可得：， 因为a，b为正整数，所以方程的解为：，， 所以有三种方案： 方案一：A型1辆，B型8辆； 方案二：A型5辆，B型5辆； 方案三：A型9辆，B型2辆． （3）方案一：费用：元； 方案二：费用：元； 方案三：费用：元； 所以租用1辆A型8辆B型车花费最少，为10600元． 4. 已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【答案】(1)一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨 (2)可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆 (3)最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组与方案问题．解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和二元一次方程． （1）设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨，根据题意建立二元一次方程组即可求解； （2）根据货物总重量可得，即可求解； （3）由（2）中的结论即可计算各方案所用费用，即可求解． 【详解】（1）解：设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨， 由题意可得，， 解得：， 答：一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨； （2）由题意得：， ，只能取整数 ， 答：可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆； （3）解：由题意可得， ①（元； ②（元； ③（元； 最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元． 5. 某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元 (2)方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台，方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台，方案三：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的解，理解题意并解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组并进行求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程，并根据解的情况求出解即可． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， ， 解得， 答：型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元． （2）解：设购买型号的汽车台，型号的汽车台， ，即， 、均为正整数， 或或， 方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台， 方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台， 方案一：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 6. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)共有2种购买方案，最大利润是220元 【难度】0.85 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 7. A班师生共23人准备前往“冰雪世界游乐园”开展研学旅游活动，游乐园门票价格如下：成人票每张240元，学生票按成人票价的五折优惠，团体票（30人及以上）按成人票价的六折优惠． (1)若A班购买门票共花3120元，则A班一共去了几名老师？几名学生？ (2)在（1）的条件下，B班有5名老师和24名学生与A班一起去“冰雪世界游乐园”研学旅游，请你算一算，怎样购票更省钱？ 【答案】(1)班一共去了3名老师，20名学生 (2)22名学生和8名老师购买团体票，剩余22名学生购买学生票更省钱 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数四则混合运算的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． （1）设班一共去了名老师，名学生，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）分三种情况：①两个班分开购票，②两个班合在一起全部购买团体票，③22名学生和8名老师购买团体票，其余学生购买学生票，分别求出所需的门票费，由此即可得． 【详解】（1）解：设班一共去了名老师，名学生， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：班一共去了3名老师，20名学生． （2）解：由题意可知，两班共有老师人数为（名），学生人数为（名）． ①若两个班分开购票， 则共需门票费：（元）； ②若两个班合在一起全部购买团体票， 则共需门票费：（元）； ③若22名学生和8名老师购买团体票，其余学生（名）购买学生票， 则共需门票费：（元）； 因为， 所以22名学生和8名老师购买团体票，剩余22名学生购买学生票更省钱． 8. 初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，某校欲购置规格为的甲品牌消毒液和规格为的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元． (1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格． (2)若该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请求出所有的购买方案． (3)若该校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元 (2)见解析 (3)10天 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用． （1）设每瓶甲品牌消毒液的价格为x元，每瓶乙品牌消毒液的价格为y元，根据“购买1瓶甲品牌消毒液和3瓶乙品牌消毒液需要85元；购买3瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要130元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要购买甲消毒液a瓶，购买乙消毒液b瓶，根据该校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，可列出关于a、b的二元一次方程，再根据a、b均为正整数，即可得出购买方案； （3）设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶，设使用t天，根据“校采购甲、乙两种品牌消毒液共花费5000元，该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液”，列出对应的方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元， 根据题意得：， 解得， 答： 甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）解：设需要购买甲消毒液 a 瓶，购买乙消毒液 b 瓶， 根据题意得：， 整理得，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有三种方案： 方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）解：设购买甲消毒液m瓶，购买乙消毒液n瓶，设使用t天， 则 ， 由①得③， 把③代入②得：， 解得， 答：这批消毒液可使用10天． 9. 综合与实践 为开阔学生视野，某校组织八年级师生开展研学活动，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人；如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人． (1)请问甲、乙两种客车每次满载分别可运送多少人？ (2)若该校有名师生参加研学活动，研学中心安排了名导游，每名导游都需要安排座位，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租甲、乙、丙三种客车，共8辆（每种客车至少辆），丙种客车每次满载可运送人，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若甲种客车每辆需租金元，乙种客车每辆需租金元，丙种客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人 (2)①见解析；②最省钱的方案是租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆，最少租金为元 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（）设甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人，根据题意列出方程组即可求解； （）①设租甲、乙、丙三种客车分别为辆，辆，辆，由题意得，即得，可得一定是的倍数，据此即可求解；②根据①的结果求出每一种方案的租金即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人， 由题意得，， 解得， 答：甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人； （2）解：①设租甲、乙、丙三种客车分别为辆，辆，辆， 由题意得，， 整理得，， ， ∵为正整数， ∴一定是正整数， ∴一定是的倍数， ∴或， ∴租车方案有两种： 方案一：租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆； 方案二：租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆． ②方案一的费用为（元）， 方案二的费用为1（元）， ∵， ∴最省钱的方案是租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆，最少租金为元． 题型九、综合型问题 1. 某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 【答案】(1)七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生 (2)八年级报名38人，九年级报名58人 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用． （1）设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若，②若，由题意分别列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生， 由题意，得， 解得， 答：七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生； （2）解：设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况： ①若，由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ②若，由题意，得， 解得， 答：八年级报名38人，九年级报名58人． 2. 今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【答案】(1)该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； (2)工厂每天能生产90盒纪念币． 【难度】0.65 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程速度时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每天安排名工人生产正方体纪念币，依题意得，解得即可． 【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； （2）解：设每天安排名工人生产正方体纪念币，则每天安排名工人生产半圆形纪念币， 依题意得， 解得：， 则工厂每天能生产的纪念币数为：（盒）， 答：工厂每天能生产90盒纪念币． 3. 某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？ 【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元 (2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台 【难度】0.4 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、分配问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元； ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或或， 有4种购进方案： ①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键． 4. 请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张． 素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了_______张C型的消费券，此时的实际消费最少为_______元． 任务二 若小明一家用13张型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此过消费券的搭配方案． 【答案】任务一：4；621；任务二：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则C型的消费券3张；任务三：付款最少方案为：使用10张A型券，4张C型券 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程（组），准确解方程（组），求出正整数解． 任务一：根据小明一家用了张A型消费券，张型的消费券，消费金额减了元，可求出用了张型的消费券，即可求出实际消费最小值； 任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券张，根据题意列方程组计算即可； 任务三：分别计算三种搭配付款，比较即可． 【详解】解：任务一：用C型的消费券数量为：， ∴满减前至少消费（元）． ∴满减后实际消费（元）． 任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券张， 由题意可得：， 解得． ∴C型的消费券张． 答：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则c型的消费券3张； 任务三： ①设小明一家共使用A型的消费券a张，B型的消费券b张，则a，b都是正整数，， ， A、B型：， ∴． ∵a，b都是正整数，， 无符合题意的整数解； ②设小明一家共使用A型的消费券a张，C型的消费券c张，则a，c都是正整数，， ， A、C型：， ∴． ∵a，c都是正整数， ， ∴或． ∴付款为：（元）或（元）． ③设小明一家共使用B型的消费券b张，C型的消费券c张，则b，c都是正整数，， ， B、C型：， ∴． ∵b，c都是正整数， ， ∴， ∴付款为：（元）， 综上：付款最少方案为：使用10张A型券，4张C型券． 5. 根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面． (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 【答案】(1)A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子． (2)①购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元．②填表见解析 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可； （2）①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，可得，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，此时费用为，设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，再建立方程组可得答案． 【详解】（1）解：设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，则 ， 解得：， ∴A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子． （2）①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，则 ， ∴， ∴， ∵，为正整数， ∴或， ∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元， 当时，则费用为（元）， 当时，则费用为（元）， ∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元． ②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸． ∴尽可能多买A卡纸， 当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张， 此时费用为， 设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼， ∴， 解得：， ∴A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼， 制作分配方案如下： 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 6. 解答： 设计烟花采购方案 为吸引游客，浦江县决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长 素材1 已知购买3箱A型和2箱B型烟花需要600元，购买5箱A型和3箱B型烟花需要950元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱8发，B型烟花每箱12发． （2）即将推出新品C型烟花，每箱200元，每箱15发． （3）本厂生产的所有型号烟花每发保持5秒．（例如A型烟花燃放时间为） 素 材 3 （1）浦江县准备支出7800元（全部用完）购买烟花． （2）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． 问题解决 任务1 确定单价 求A、B型烟花每箱多少元？ 任务2 确定方案① 若仅购买A，B型烟花，可以燃放多少秒？ 确定方案② 若同时采购A、B、C三种烟花，A型烟花的箱数是C型的5倍，如何采购使得燃放时间最长？． 【答案】（1）A型烟花每箱100元，B型烟花每箱150元；（2）；（3）分别购买 A，B，C型烟花各15、38、3箱时，燃放时间最长． 【难度】0.65 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解决此类问题的关键是分清题中数量关系，找出等量关系列出方程，求方程组的解或者求整数解即可． 任务1根据条件列出二元一次方程组即可解决． 任务2的第①问设分别购买A，B型烟花a，b箱，根据“支出7800元购买烟花”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，再用a，b表示出烟花的燃放时间，整体代入即可求出燃放时间． 任务2的第②问沿用第①问的思路，设分别购买A，B型烟花a，b箱，表示出购买C型烟花箱，根据“支出7800元购买烟花”这一条件列一个关于a，b的二元一次方程，进而确定a要满足的条件，再用含a的式子表示出时长即可得到结论． 【详解】解：任务1：设A，B型烟花每箱分别为x元，y元， 由题意得 ， 解得 ， 答：A型烟花每箱100元，B型烟花每箱150元． 任务2：①设分别购买A，B型烟花a，b箱， 由题意得， 整理得，， ∴燃放时长为． 答：若仅购买A，B型烟花，可以燃放． ②设分别购买A，B型烟花a，b箱，则购买C型烟花箱， ∴，，整理得，， ∴， ∵a，b，均为正整数， ∴必须是15的倍数， ∴a必须是15的倍数， ∵燃放时长， ∴当a越小时，燃放的时长越长， ∴， ∴， ∴分别购买 A，B，C型烟花各15、38、3箱时，燃放时间最长． 题型十、其他问题 1. 一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【答案】(1)大球为2个，小球为4个 (2)三种，当大球6个，小球2个，或大球3个，小球6个，或只放10个小球，过程见解析 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了列二元一次方程组和列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及二元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键． （1）由图得出一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度．设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设此时需a个大球，个小球，根据题意列出方程，由、均为正整数列出所有符合条件的a、b的值即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度． 设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度． 解得： 答∶需放入大球为2个，小球为4个时，水面上升到40个单位的高度． （2）解：容器恰好装满时，水位需上涨30个单位高度，设此时需a个大球，个小球，则： ． 所以 因为、均为正整数，所以有以下三种情况， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件． 即：当大球6个，小球2个或大球3个，小球6个或只放10个小球时，容器恰好装满． 2. 杆秤是我国度量衡“三大件（尺、斗、秤）”的重要组成部分，是中华民族衡重的基本工具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此． 如图1是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，设秤盘和货物的总质量为，秤砣的质量为，当秤杆平衡时，有，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图2所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是；如图3所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，回答下列问题： (1)分别求出秤盘和秤砣的质量； (2)求这把杆秤的秤星对应的刻度是多少克． 【答案】(1)秤盘质量为4克，秤砣质量为10克 (2)这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程组的应用． （1）设秤盘质量为x克，秤砣质量为y克，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设这把杆秤的秤星E对应的刻度是m克，根据题意列出关于m的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设秤盘质量为x克，秤砣质量为y克， 根据题意得： ， 解得：， 答：秤盘质量为4克，秤砣质量为10克． （2）解：设这把杆秤的秤星E对应的刻度是m克， 根据题意得： ， 解得：， 答：这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克． 3. 随着科技的发展，许多家庭都使用了智能家居设备．某些智能设备通常安装了两块电池：主电池和辅助电池．由于主电池负责主要的电力供应，其损耗速度比辅助电池快．如果主电池耗尽后直接更换新电池，而辅助电池继续使用旧电池，设备的续航时间和稳定性会显著下降；如果同时更换两块电池，使用成本又会增加．为了解决这个问题，设备制造问商建议定期对两块电池进行轮换使用． 已知：主电池在设备使用达到400小时后需要更换，辅助电池在设备使用达到600小时后需要更换． (1)设每个电池的总消耗量为1，则主电池每使用1小时的消耗量为_______，辅助电池每使用1小时的消耗量为_______； (2)如果在电池的使用周期内只交换一次主电池和辅助电池，那么应在设备使用时间达到多少小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽？并求出电池耗尽时设备的总使用时间． 【答案】(1)， (2)设备使用时间达到240小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽，电池耗尽时设备的总使用时间为480小时 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）设设备使用时间达到小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽，电池耗尽时设备的总使用时间为小时，根据“主电池在设备使用达到400小时后需要更换，辅助电池在设备使用达到600小时后需要更换”建立方程组求解． 【详解】（1）解：∵主电池在设备使用达到400小时后需要更换，辅助电池在设备使用达到600小时后需要更换， ∴由题意得，设每个电池的总消耗量为1，则主电池每使用1小时的消耗量为，辅助电池每使用1小时的消耗量为， 故答案为：，； （2）解：设设备使用时间达到小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽，电池耗尽时设备的总使用时间为小时， 由题意得：， 解得：， 答：设备使用时间达到240小时后进行交换，才能使两块电池同时耗尽，电池耗尽时设备的总使用时间为480小时． 4. 某市《生活垃圾管理条例》正式出台，其中规定生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾四类．某校由六、七两个年级共17名同学组成了“垃圾分类宣传”志愿者小队，他们对本校每天的生活垃圾收集情况进行调查统计后发现： ①由于宣传到位，学校现在每天生活垃圾的重量比原来每天400千克下降了； ②其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的，可回收物中废纸占； ③由于部分同学对干垃圾的认识还不够清楚，因此，发现干垃圾中还有的废纸； ④可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克． 根据上述信息回答下面的问题： (1)学校现在每天的可回收物和干垃圾各为多少千克？ (2)回收1吨废纸，大约可以少砍17棵大树，“垃圾分类宣传”志愿者小队中的部分成员计划每天放学后开展将干垃圾中的废纸清理出来的活动，已知六年级平均每个学生5分钟可清理干垃圾3千克，七年级平均每个学生5分钟可清理干垃圾5千克，问如何分配人员参与活动，恰好5分钟可以将学校1天的所有干垃圾清理完毕？（两个年级均要有学生参加） 【答案】(1)学校现在每天的可回收物为100千克，干垃圾为60千克 (2)六年级有10名学生参与活动，七年级有6名学生参与活动；或六年级有5名学生参与活动，七年级有9名学生参与活动 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，此题是一道紧密联系生活实际的题，关键是熟练掌握二元一次方程整数解的应用． （1）可设学校现在每天的可回收物x千克，干垃圾y千克，根据其中可回收物重量和干垃圾重量之和占现在每天生活垃圾重量的；可回收物中的废纸与干垃圾中的废纸合在一起共重82千克；列出方程计算即可求解； （2）可设六年级有a名学生参与活动，七年级有b名学生参与活动，根据学校现在每天的干垃圾60千克，列出方程组求出正整数解，再找到符合条件的正整数解即可求解． 【详解】（1）设学校现在每天的可回收物为千克，干垃圾为千克， 根据题意得 解得 答：学校现在每天的可回收物为100千克，干垃圾为60千克． （2）设六年级有名学生参与活动，七年级有名学生参与活动，依题意有，即． 为正整数， 或或 六、七两个年级组成的“垃圾分类宣传”志愿者小队只有17名同学， 不合题意，舍去． 答：六年级有10名学生参与活动，七年级有6名学生参与活动；或六年级有5名学生参与活动，七年级有9名学生参与活动． 1. 嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设钻取样品x克，表取样品y克，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组．设钻取样品克，表取样品克，根据等量关系“钻取和表取两种方式共采集样品1935克”和“表取是钻取的4倍还多310克”列方程组即可． 【详解】解：设钻取样品克，表取样品克， 由题意可得：． 故选：B． 2. 《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查列二元一次方程组，设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意列方程组，即可求解． 【详解】解：设每只雀x斤，每只燕y斤， 交换一只雀和一只燕，两边重量相等，则，即， 五只雀和六只燕共重1斤，即， 所以 故选：B． 3. 3月14日数学节当天，我校初一年级学生积极参与“速算游园”活动．活动中，小阳和小光展开了如下对话： 小阳说：“我比你多解了3道题！” 小光回应：“如果你给我3道题，我的解题数量就是你的两倍啦．” 若两人的陈述均为真，设小阳解了x道题，小光解了y道题，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．设小阳解了x道题，小光解了y道题，根据两人说的话列方程组即可． 【详解】解：设小阳解了x道题，小光解了y道题，由题意得 ， 故选：A． 4. 用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查列二元一次方程组的应用．根据图形得到大长方形的长与小长方形的长之间的数量关系，小长方形的长与宽之间的数量关系，列出方程即可． 【详解】解：由图可知，大长方形的长等于2倍的小长方形的长，等于小长方形的长加上3倍的小长方形的宽，小长方形的长等于3倍的小长方形的宽； 即：，， 故可列方程组：，，； 不能得到； 故选：D． 5. 小王用42元钱去购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个6元，乙种学习用品每个4元．42元钱恰好用完，则小王的购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，设小王购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，根据两种笔记本的总价为42元建立方程，求出其解即可，解答时由单价数量总价建立方程是关键． 【详解】解：设小王购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 由题意得， 可得． 、为非负整数， 可以等于， 即，6，3时， ，3，5， 共有3种购买方案． 故选：B． 6. 某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故选：A． 7. 把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据九宫格中任意一列及两条对角线上的数之和都相等，列出方程组，解方程组求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，设右上角方格中的数字是， 根据题意可得：， 由可知， 把代入， 可得：， 解得：． 故选：A． 8. 某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题关键．根据题意，找出等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意，得：， 故选：A． 9. 某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据两台印刷机完成该任务共需和资料计划印制10000份，即可列出二元一次方程组． 【详解】解：∵两台印刷机完成该任务共需， ∴可列方程； ∵资料计划印制10000份， ∴可列方程， ∴甲和乙列的方程组都正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树． （1）若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要 天完成； （2）若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少 天． 【答案】 33 5 【难度】0.85 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和方程组． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解，再计算丙在A地植树的天数与在B地植树天数之差即可． 【详解】解：（1）设甲还需要x天完成， 由题意可得：， 解得， 即甲还需要33天， 故答案为：33； （2）设丙在A地植树a天，在B地植树b天， ， 解得， ， 即丙在A地植树的天数比在B地少5天， 故答案为：5． 11. 在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m，n对应的密文为，．例如，明文1，2对应的密文是，7．若接收方收到密文6，2，则解密后得到的明文是 ． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是理解题意知道传送密码和接收密码的关系列出二元一次方程组求解． 根据题意列出方程组，然后求解即可． 【详解】根据题意得， 解得 ∴解密后得到的明文是，． 故答案为：，． 12. 一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 【答案】女工要比男工多18人． 【难度】0.65 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——工程问题．解题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间关系，列方程计算． 设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y，根据2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件，列出方程组，解方程组即可． 【详解】设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y， 根据题意得，， 解得，， 如果单独让男工加工或单独让女工加工， 需要女工（人）， 需要男工（人）， 女工比男工多（人）． 故女工比男工要多18人． 13. 王老师买了一批图书准备分给某班的学生阅读，若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书．则这批书有多少本？ 【答案】这些书有138本 【难度】0.65 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设这批书有x本，该班共有y名学生，根据“若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设这批书有x本，该班共有y名学生， 根据题意得：， 解得：， 答：这些书有138本． 14. 你看过《一千零一夜》吗？有个故事中有一个绝妙的谜语：有一群鸽子，飞过一棵高高的树，一部分鸽子落在树上，其他的停在树下，一只落在树上的鸽子对树下的鸽子说：“倘若你们当中有一只飞上来，你们的数目就是我们总数的；倘若我们中飞下去一只，我们的数目恰好和你们相同啦！”根据这段描述，请你算一算，有多少只鸽子在树上？多少只鸽子在树下？ 【答案】有只鸽子在树上，有只鸽子在树下 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有只鸽子在树上，有只鸽子在树下， 由题意得，， 解得， 答：有只鸽子在树上，有只鸽子在树下． 15. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，酮酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是．现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿29斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？ 【答案】购买清酒2斗，醑酒3斗 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设购买清酒x斗，醑酒y斗，根据题意列出关于x，y的二元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设购买清酒x斗，醑酒y斗， 由题意得： 解得： 答：购买清酒2斗，醑酒3斗． 16. 3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由． 【答案】小明可以获得校园文创奖品，见解析 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分．根据题意列出二元一次方程组并解方程组即可． 【详解】判断：小明可以获得校园文创奖品． 理由：设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分． 依题意，得 解得 ∴在体验环节中，小明分别在“智趣挑战”和“巧手闯关”这两个项目中得到了50分和40分． ∴在正式计分时，小明在“智趣挑战”中得到了分． ∴小明的得分满足得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分． 答：小明可以获得校园文创奖品． 17. 食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 【答案】饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶 【难度】0.85 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶， 根据题意得：， 解得：， 答：饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶． 18. 某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边______米，________米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． 【答案】(1)0.4，0.6； (2)，． 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、有理数除法的应用 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂图形，找到等量关系，列出方程（组）． （1）根据方案一可得，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得； （2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组，解之即可； 【详解】（1）（米）， （米）； （2）由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍， 可得：， 解得：． 19. 某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）．加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片______张，正方形铁片______张； (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖则可以加工成为铁盒．现准备用33张铁板先做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板有两种裁法： 方法1：可以裁出3个长方形铁片； 方法2：可以裁出4个正方形铁片． 若充分利用这些铁板加工成铁盒，则可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)7，3 (2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个 (3)18个 【难度】0.65 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，根据题意列出方程组求解即可． （3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张． 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张， 故答案为：7，3； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器各有y个，由题意得 解得 故加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器各有20个； （3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ∴在这33张铁板中，24张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片）， ∴可做铁盒（个）． 20. 某电器公司计划用甲、乙两种汽车运送190台家电到农村销售，已知甲种汽车每辆可运送家电20台，乙种汽车每辆可运送家电30台，一共用了8辆汽车满载运送． (1)小宇同学根据题意列出了一个尚不完整的方程组，请写出小宇所列方程组中未知数，表示的意义：表示 ，表示 ，该方程组中“？”处的数应是 ，“*”处的数应是 ． (2)小琼同学的思路是设甲种汽车运送m台家电，乙种汽车运送n台家电．请你按照小琼的思路列出方程组，并求甲种汽车的数量． (3)如果每辆甲种汽车的运费是180元，每辆乙种汽车的运费是300元，那么该公司运送这190台家电后的总运费是多少？ 【答案】(1)使用甲种汽车的数量；使用乙种汽车的数量；8；190． (2)5辆 (3)1800元 【难度】0.65 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据使用汽车的总数量、每种汽车的装载量及需运送的家电的总数量，即可得出，的意见及“？”和“”处的数； （2）根据8辆汽车一次运送家电190台，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将的值代入中即可求出结论； （3）根据总运费每辆车的运费使用该种车的数量，即可求出结论． 【详解】（1）解：依题意得：表示使用甲种汽车的数量，表示使用乙种汽车的数量，“？”处的数应是8，“”处的数应是190． 故答案为：使用甲种汽车的数量；使用乙种汽车的数量；8；190． （2）设甲种汽车运送m台家电，乙种汽车运送n台家电． 依题意得：， 解得：， ． 答：使用甲种汽车5辆． （3）总运费为：（元． 答：该公司运完这190台家电后的总运费是1800元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 21. 在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 【答案】(1)这个两位数是36 (2)风速为每分钟50里． 【难度】0.65 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系． （1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y， 根据题意，得 解得 答：这个两位数是36； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里， 根据题意得， 解得 ∴风速为每分钟50里． 22. 某广告公司要利用长为240cm、宽为40cm的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为． (1)若该广告公司用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量； (2)求1块板的所有无浪费裁切方案； (3)现需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有488块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切． 【答案】(1)裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块 (2)有三种裁切方案：方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块；方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块；方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块 (3)需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块 【难度】0.4 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组． （1）根据“甲乙广告牌的尺寸”和“用1块板裁切出的甲广告牌的数量是乙广告牌的数量的3倍”，建立等量关系，列出二元一次方程求解即可； （2）设一张该板裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，可得，求出非负整数解即可； （3）根据题意，需裁切甲广告牌500块，乙广告牌块，且板材恰好全部用完，可分三种情况讨论，①单独采用方案3，直接列示求解即可得购买板材数量；②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块，同样的方法求解即可．最后对比即可得出结论． 【详解】（1）解：设裁切甲广告牌x块，乙广告牌y块， 依题意得： 解得 答：裁切甲广告牌9块，乙广告牌3块． （2）解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块， 根据题意得： 可得， ∵，为非负整数， ∴或或 答：有以下三种裁切方案： 方案1：甲广告牌16块，乙广告牌0块； 方案2：甲广告牌9块，乙广告牌3块； 方案3：甲广告牌2块，乙广告牌6块． （3）解：①采用方案3，根据题意，得： （张） （张） （张） 需要购买该型号板材252张，用其中250张板材裁切甲广告牌500块，用2张板材裁切乙广告牌12块． ②采用方案1和2相结合，设用x张板材裁切，每张裁切甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌9块和乙广告牌3块， 根据题意，得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张，乙广告牌12块． ③采用方案1和3相结合，设用x张板材裁切，每张甲广告牌16块，用y张板材裁切，每张裁切甲广告牌2块和乙广告牌6块 根据题意,得： 解得： （张） （张） （张） （张） 需要购买该型号板材33张，用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 综上，采用②③两种情况购买，需要购买该型号板材33张；裁切办法：用其中29张板材裁切甲广告牌464张，用4张板材裁切甲广告牌36张和乙广告牌12块；或者用其中31张板材裁切甲广告牌496块，用2张板材裁切甲广告牌4块和乙广告牌12块． 23. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)一共有3种填法；填写见解析 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)、数字问题(二元一次方程组的应用)、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可； （3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：根据题意得：， 即， ∵m，n为正整数， ∴，，， ∴共有3种填法；    【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组． 24. 吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个a元，售价每个16元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个b元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求a，b的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件m个，求有几种购买方案． (3)在（2）的条件下，在获得最大利润的同时，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润全部再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案． 【答案】(1)a的值是10，b的值是14 (2)有3种购买方案，方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个 (3)再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案是购买“滨滨”造型钥匙扣挂件4个， 购买“妮妮”造型钥匙扣挂件20个 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元且购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不少于1160元又不多于1168元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总利润每个的销售数量购进数量，可求出各方案可获得的总利润，设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，利用进货总价进货单价进货数量，求出最大利润，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出各x，y的值，再取的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为10，b的值为14； （2）解：根据题意得： ， 解得：， ∴可以取58，59，60，，41，40， ∴有3种购买方案． 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个； （3）解：购买方案1可获得的总利润为（元； 购买方案2可获得的总利润为（元； 购买方案3可获得的总利润为（元； 设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个， ∴当获得的总利润为320元时，， ， 又，y均为正整数， 或或或， 此时的最小值为． 再次购进两种钥匙扣挂件最小的方案为：购进“滨滨”造型钥匙扣挂件4个，“妮妮”造型钥匙扣挂件20个． 25. 每年的4月23日是世界读书日，某校打算在世界读书日当天举办“阅读分享演讲比赛”，张老师负责这次比赛的奖品采购工作，如下是他整理的采购方案表，请结合相关数据，解决任务（1）~（3）的问题． “阅读分享演讲比赛”奖项设置和奖品采购方案表 奖项设置 设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需确定获奖人数以及奖品购买方案． 成本 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元；1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． 预算 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 要求 ①计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且； ②一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1本笔记本． 问题解决 任务（1） 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各需多少元？ 任务（2） 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务（3） 确定获奖人数 任务（2）购买的奖品刚好全部发完，求出a，b的值． 【答案】任务（1）1盒水笔元，1包笔记本元 任务（2）可以购买方案有3种，第一种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第二种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第三种：购买水笔盒，购买笔记本包； 任务（3）， 【难度】0.85 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，掌握二元一次方程组及方程组的解运用是解题的关键． 任务（1）设1盒水笔元，1包笔记本元，由此列二元一次方程组求解即可； 任务（2）设购买水笔盒，购买笔记本包，均为正整数，根据二元一次方程的解的概念，分别代入计算即可求解； 任务（3）根据（2）中的计算，得到水笔的数量，笔记本的数量，则有水笔的数量为：支，笔记本的数量为：本，且，代入计算即可求解． 【详解】解：任务（1）购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元， ∴设1盒水笔元，1包笔记本元， ∴， 解得，， ∴1盒水笔元，1包笔记本元； 任务（2）设购买水笔盒，购买笔记本包，均为正整数， ∴， 整理得，， ∴当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴可以购买方案有3种，第一种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第二种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第三种：购买水笔盒，购买笔记本包； 任务（3）已知1盒水笔有12支，1包笔记本有16本， ∴当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本； 当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本； 当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本； 已知计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且；一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1水笔记本， ∴水笔的数量为：支，笔记本的数量为：本，且， 当，时，，不符合题意，舍去； 当，时，，，符合题意； 当，时，，，，不符合题意； ∴，． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$