精品解析：湖南省邵东市第七中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

邵东七中2025年上学期期中考试 高一数学 时间：90分钟 分值：100分 注意事项： 答题前填写好自己的姓名、班级等信息；将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（共18题，每小题3分，共54分） 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】复数对应的点为即可求解. 【详解】因为，所以对应的点的坐标为， 故选：D 2. 已知，，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】化简后由复数相等的条件可求得结果. 【详解】由，得， 所以，. 故选：C 3. 设复数，则z的共轭复数为（ ）． A B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法与除法，结合共轭复数的定义，可得答案. 【详解】， 则复数的共轭复数. 故选：B. 4. 已知（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法求出，进而求出其模. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 5. 以下命题中正确个数是（ ） ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由相等向量、零向量、单位向量以及共线向量的定义逐一判断各个序号即可求解. 【详解】对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确； 对于②，若和都是单位向量，当它们的方向不同时，则不成立，故②错误； 对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确； 对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误. 故正确的有①③，共两个. 故选：B. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 7. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加减法，可得答案. 【详解】. 故选：A. 8. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积公式直接得答案. 【详解】因为向量，的夹角为，且，， 则. 故选：A 9. 已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据夹角可得两个向量共线反向，故，可求. 【详解】因为与的夹角为，故，故. 故选：. 10. 如图，为的边上的中线，且，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为中点，则，根据平面向量基本定理即可求解. 【详解】由， 所以， 故选：A. 11. 已知，，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 利用坐标表示，根据向量数量积坐标表示，可得结果. 【详解】，， ， ，， 为直角三角形. 故选：A 【点睛】本题考查通过向量数量积坐标表示，判断三角形形状 12. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合正弦定理列方程求，又，可得，由此可求. 【详解】由正弦定理可得，又，，， 所以，所以， 又，所以， 所以， 故选：A. 13. 在中，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理建立方程求解. 【详解】在中，设所对的边为，，， 由余弦定理，得， 即，解得， 所以. 故选：C 14. 在中，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形面积公式计算. 【详解】. 故选：A. 15. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 正三棱锥的每个面都是正三角形 B. 所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知C正确，D错误. 【详解】对于A，正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，可知A错误； 对于B，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，可得B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，可得D错误. 故选：C 16. 在长方体中，长，宽，高，则它的体积是（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方体的几何结构特征，结合柱体的体积公式，即可求解. 【详解】在长方体中，因为， 由柱体的体积公式，可得长方体的体积为. 故选：A. 17. 如图，在三棱锥中，平面，则这个三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用锥体的体积公式直接计算即得. 【详解】在三棱锥中，平面，则是三棱锥的高， 由，得， 所以该三棱锥的体积为. 故选：B 18. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出每个面的面积，再乘以8即为表面积； 【详解】每个面的面积为，所以该图形的表面积为. 故选：C 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 19. 已知复数为虚数单位是纯虚数，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据纯虚数概念可得结果. 【详解】∵复数是纯虚数， ∴且， ∴. 故答案为：. 20. 已知球的体积为，则球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出球的半径长，利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】设球的半径长为，则该球的体积为，解得， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 21. 已知向量， ， 若，则_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，由此求得. 【详解】由于，所以，解得. 故答案为：. 22. 已知三点共线，则P的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】得到后借助向量共线计算即可得出结果. 【详解】∵， ∴ ∵，∴，解得： 故答案为：2 三、解答题（共3小题，每小题10分，共30分） 23. 已知向量． （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量，求实数的值； （3）若向量满足，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的夹角公式计算即得. （2）利用平面向量共线的坐标表示，共线向量的坐标表示列式计算即得. （3）利用向量相等构造方程求得，再利用坐标求模即得结果. 【小问1详解】 由向量，得， 于是，而， 所以. 【小问2详解】 由向量，得，， 由，得，解得， 所以实数的值是. 【小问3详解】 依题意，即， 于是，解得，所以. 24. 在中，，，. （1）求的面积； （2）求c及的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平方关系求得，应用三角形面积公式求的面积； （2）余弦公式求c，再应用正弦定理求. 【小问1详解】 由且，则， 所以. 【小问2详解】 由，则， 而，则. 25. 据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米. （1）求该蒙古包的表面积（不含底面）； （2）求该蒙古包的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆锥部分的母线长，根据圆锥以及圆柱的侧面积公式即可求得答案； （2）根据圆锥以及圆柱的体积公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可得，又, 故该蒙古包的表面积为（）； 【小问2详解】 由题意可得该蒙古包的体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邵东七中2025年上学期期中考试 高一数学 时间：90分钟 分值：100分 注意事项： 答题前填写好自己的姓名、班级等信息；将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（共18题，每小题3分，共54分） 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 设复数，则z的共轭复数为（ ）． A. B. C. 1 D. 4. 已知（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 5. 以下命题中正确的个数是（ ） ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. （ ） A. B. C. D. 7. 等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 3 9. 已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，为的边上的中线，且，那么为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 12. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 13. 在中，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 14. 在中，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 15. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 正三棱锥的每个面都是正三角形 B. 所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D. 以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 16. 在长方体中，长，宽，高，则它的体积是（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 17. 如图，在三棱锥中，平面，则这个三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 18. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（ ） A 8 B. 16 C. D. 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 19. 已知复数为虚数单位是纯虚数，则实数__________. 20. 已知球的体积为，则球的表面积为___________． 21. 已知向量， ， 若，则_______________ 22. 已知三点共线，则P的值为_________． 三、解答题（共3小题，每小题10分，共30分） 23. 已知向量． （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量，求实数的值； （3）若向量满足，求值． 24. 在中，，，. （1）求的面积； （2）求c及的值. 25. 据《黑鞑事略》记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载.草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米. （1）求该蒙古包的表面积（不含底面）； （2）求该蒙古包的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$