专题10 几何压轴题（2大题型25题）（湖北专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题10 几何压轴题（2大题型25题） 题型概览 题型01 几何填空压轴题 题型02 几何解答压轴题 ( 题型01 ) 几何填空压轴题 1．（2025·湖北黄冈·一模）如图所示，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，并延长交于点，则的度数是 ，的长为 ． 2．（2025·湖北荆州·一模）如图，在四边形中，，，若，，，则的长为 ． 3．（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，，作，分别与边、交于点F、G，点M，N分别是，的中点，则 ，的面积是 ． 4．（2025·湖北恩施·一模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点为上一动点，旋转后点的对应点，则线段的最小值是 ． 5．（2025·湖北·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则的值为 ． 6．（2025·湖北襄阳·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，E是上一点，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，过点F作，垂足为点G． （1） ； （2）若，则 ． 7．（2025·湖北黄冈·一模）已知：如图，正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，与对角线相交于点，若．则的度数是 ；的长为 ． 8．（2025·湖北武汉·一模）如图，在矩形中，，是边上一点，点关于的对称点为，连接并延长交于点．设．若是的中点，则的值为 ． 9．（2025·湖北孝感·一模）如图，正方形边长为4，点在边上，且．将沿翻折至．（1） ；（2）连接．则 ． 10．（2025·湖北·一模）在中，，，E是的中点，D是上的一点，以为对称轴作的对称，且保持在的上方． （1）如图1，当点F落在上时，则的长为 ； （2）如图2，连接、，当平分时，＝ ． ( 题型02 ) 几何解答压轴题 11．（2025·湖北·一模）【教材呈现】表格是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容： 如图，在中，点、分别是、的中点，可以猜想：且． 请用演绎推理写出证明过程． 【结论应用】 如图在四边形中，，点是对角线的中点，是中点，是中点，与相交于点求证：； 【拓展延伸】 如图，正方形的边长为，的顶点、分别在边、上运动，，，为边中点，连接则运动过程中的最大值为______ ． 12．（2025·湖北·一模）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN． 【实践探究】 (1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______． (2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长． 13．（2025·湖北·一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 14．（2025·湖北·一模）如图，中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)当点在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______，______°； ②如图2，当时，求的值； (2)如图3，当时，点在的延长线上，过点作交于点，若，求的值． 15．（2025·湖北·一模）如图1，在矩形中，，连接与重合，将绕点顺时针方向旋转，连接，． (1)旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______． (2)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (3)连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 16．（2025·湖北·一模）问题情境 如图1，在正方形中，是的中点，是上一点，且．则①；②（结论不需要证明）． 初步探究 （1）如图2，在矩形中，是的中点，与直线交于点．请证明：①；②． 结论运用 （2）在（1）的条件下， ①如图3，当，平分时，求的长； ②如图4，若与矩形外角的平分线交于点，当，D，G在同一条直线上时，请直接写出的值． 17．（2025·湖北·一模）在中，，D是的中点，E是线段上一点(不与点B，D重合)，，交于点F，M是的中点，连接． (1)如图1，若．连接，求证：是等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，当的值为多少时，？ (3)如图2，E是的中点，在线段上截取，连接，试探究四边形的形状． 18．（2025·湖北·一模）问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论： ①__________； ②直线与所夹锐角的度数为__________．； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求的面积； (3)在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围． 19．（2025·湖北·一模）（1）操作发现： 如图①，在中，，点D是上一点，沿折叠，使得点C恰好落在上的点E处．请写出，，之间的关系______________； （2）问题解决： 如图②，若（1）中，其他条件不变，请猜想，，之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形中，，，，，连接，点E是上一点，沿折叠，使得点D正好落在上的F处，若，直接写出的长． 20．（2025·湖北襄阳·一模）在中，，是边上的高，射线与相交于点E，将绕点D逆时针旋转与相交于点F，分别过E，F作，，交于点P，令． (1)证明推断：如图1，连接，若． ①推断：四边形的形状是________； ②求证：； (2)类比探究：如图2，若．探究是否仍然成立，并证明你的结论； (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，连接．若， ，，求线段的长． 21．（2025·湖北襄阳·一模）在中，，为边上一动点，且（为正整数），在直线上方作，，，连接． (1)如图，在点运动过程中，求证：； (2)如图，若，，为中点，当点在射线上时，求的长； (3)如图，若，，与交于点，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 22．（2025·湖北襄阳·一模）在中，，，P是边上的一个动点（点P与A，C不重合），连接，将绕点B顺时针旋转到，连接与交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的长；． (3)如图3，过点A作的垂线与的延长线交于点F．探究与的数量关系，并说明理由． 23．（2025·湖北武汉·一模）（）【提出问题】如图，是的边上一点，且．求证：； （）【探究问题】在四边形中，，，是边上一点，连接交于点，且． ①如图，若，，，求的长； ②如图，若为的中点，直接写出的值． 24．（2025·湖北鄂州·一模）如图1，在平行四边形中，为延长线上一点，且交于点． (1)当时，求证：； (2)当时，用表示与的数量关系； (3)如图时，G为上一点，，相交于点，连接．若，且，求的长． 25．（2025·湖北武汉·一模）如图，是四边形的对角线，已知． (1)如图1，点在的延长线上，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，直接写出的值（用含的式子表示）． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 几何压轴题（2大题型25题） 题型概览 题型01 几何填空压轴题 题型02 几何解答压轴题 ( 题型01 ) 几何填空压轴题 1．（2025·湖北黄冈·一模）如图所示，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，并延长交于点，则的度数是 ，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质．过点作交的延长线于点．由旋转的性质，得，，，．所以，，得到是等腰直角三角形，根据勾股定理，求得．证明，求得的长．再根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 由旋转的性质，得，，，． ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴根据勾股定理，得， 在中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：，． 2．（2025·湖北荆州·一模）如图，在四边形中，，，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作于点，交于点，过作于点，则，，故有四边形是矩形，，，然后求出，，再由等腰三角形的性质可得，再证明，则有，设，则，，求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点，过作于点， ∴，， ∴四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 3．（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，，作，分别与边、交于点F、G，点M，N分别是，的中点，则 ，的面积是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，先证明、是矩形，即可得到N是FC的中点，然后根据等腰直角三角形的三线合一得到，，然后求出长，即可得到长，再根据解题即可． 【详解】连接， ∵是正方形， ∴，，， ∴、是矩形， ∴，，， 又∵是的中点， ∴F、C、N共线，且N是FC的中点， 又∵，， ∴， ∴， 又∵点M是的中点， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵N是的中点， ∴， 故答案为：，． 4．（2025·湖北恩施·一模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点为上一动点，旋转后点的对应点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵点为上一动点，旋转后点的对应点， ∴当点与点重合时，有最小值为， ∴线段的最小值是． 故答案为：． 5．（2025·湖北·一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的性质、分式的求值，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先分别求出与的面积，再根据与的面积相等可得，然后计算分式的减法，代入计算即可得． 【详解】解：由题意得：，，，，， ∴， ∴的面积为， 的面积为， ∵与的面积相等， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 6．（2025·湖北襄阳·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，E是上一点，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，过点F作，垂足为点G． （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 /45度 / 【分析】（1）证明得到，，进而可得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结论； （2）延长交延长线于P，证明四边形是矩形得到，，，证明，，利用相似三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）延长交延长线于P， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 7．（2025·湖北黄冈·一模）已知：如图，正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，与对角线相交于点，若．则的度数是 ；的长为 ． 【答案】 /度 【分析】根据正方形的性质可得，得到，由此得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解的度数；根据含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，则，由即可求解的长． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， 解得，； 在中，， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴，， ∴； 故答案为：①；② ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，含角的直角三角形的性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质的运用是解题的关键． 8．（2025·湖北武汉·一模）如图，在矩形中，，是边上一点，点关于的对称点为，连接并延长交于点．设．若是的中点，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，设与相交于点，由矩形的性质可得，，，即得四边形是矩形，由轴对称的性质得，，进而利用余角性质可得，即得，得到，即得，由可证，即得，得到，，即得到，，可得，再根据代入计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，设与相交于点，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，四边形是矩形， 由轴对称的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得或（不合，舍去） ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 9．（2025·湖北孝感·一模）如图，正方形边长为4，点在边上，且．将沿翻折至．（1） ；（2）连接．则 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了正方形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由正方形的性质以及勾股定理可得，再根据翻折的性质可得，然后根据正切的定义解答即可； （2）如图：连接交于O，作，垂足为G，作，垂足为H，则，由折叠的性质可得垂足平分，即，，；再证明可得，即；再根据平行线的性质、等腰三角形的性质以及等量代换可得，再解直角三角形可得，则；再证明四边形是矩形可得，进而得到，再运用勾股定理以及线段的和差可得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形边长为4， ∴， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∴． 故答案为：． （2）如图：连接交于O，作，垂足为G，作，垂足为H，则， ∵将沿翻折至， ∴垂足平分，即，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（2025·湖北·一模）在中，，，E是的中点，D是上的一点，以为对称轴作的对称，且保持在的上方． （1）如图1，当点F落在上时，则的长为 ； （2）如图2，连接、，当平分时，＝ ． 【答案】 / / 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，根据题意得点D为的中点，推出是的中位线，，由等面积法求出即可； （2）延长交于点G，证明是的斜边上的中线得,证明得,利用相似三角形的性质求出，再证明，从而,然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解. 【详解】解：（1）连接， 在中，，， ， 点F落在上，与关于对称， ，， 点D为的中点， E是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交于点G， 与关于对称， ,， ∴垂直平分， ∴， ∵平分, ∴是的斜边上的中线， ∴, 由折叠的性质可知，， ∴， 由三角形外角的性质，得， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴. ∵， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵E是的中点， ∴, . 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线的应用，对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． ( 题型02 ) 几何解答压轴题 11．（2025·湖北·一模）【教材呈现】表格是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容： 如图，在中，点、分别是、的中点，可以猜想：且． 请用演绎推理写出证明过程． 【结论应用】 如图在四边形中，，点是对角线的中点，是中点，是中点，与相交于点求证：； 【拓展延伸】 如图，正方形的边长为，的顶点、分别在边、上运动，，，为边中点，连接则运动过程中的最大值为______ ． 【答案】教材呈现：见解析；结论应用：见解析；拓展延伸：4 【分析】教材呈现：由，，得，因为，所以∽，则，，即可证明且； 结论应用由三角形的中位线定理得，，而，则，所以； 拓展延伸：取的中点，连接、，由三角形的中位线定理得，由正方形的性质得，则，根据两点之间线段最短得，所以，则的最大值为，于是得到问题的答案； 【详解】教材呈现：证明：点、分别是、的中点， ，， ， ， ∽， ，， 且． 结论应用：证明：、、分别是、、的中点， ，， ， ， ， ． 拓展延伸：解：如图，取的中点，连接、， ，为的中点， ， 四边形是正方形，点、分别在边、上， ， ， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查三角形的中位线定理的证明及应用、相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确理解和运用三角形的中位线定理是解题的关键． 12．（2025·湖北·一模）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN． 【实践探究】 (1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______． (2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长． 【答案】(1)12 (2)猜想：，理由见解析 (3)4 【分析】（1）由旋转的性质可得△ABE≌△ADM， 易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．则可得MN+CM+CN=2BC，从而可求得正方形的边长； （2）过点D作DP⊥DF，且DP=BE，连接PF、AP，可证明△APD≌△AEB，则可得AP=AE，∠EAP=90°；再证明△APF≌△AEF，可得EF=FP，在Rt△PDF中，由勾股定理即可得三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系； （3）把矩形ABCD补成正方形AEFD，延长AN交EF于G，连接GN．由△ABN∽△AEG，可求得EG、FG的长，设DM=x，则可得FM，由（1）的证明知，GM=EG+DM，由勾股定理建立方程即可求得x的值，即DM的长． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°． 由旋转得：△ABE≌△ADM， ∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠D=90°，∠EAB=∠MAD． ∴∠ABE+∠ABC=180°． ∴E、B、N在同一直线上． ∵∠MAN=45°，∠BAD=90°， ∴∠BAN+∠MAD=45°． ∴∠BAN+∠EAB=45°． 即∠EAN=45°． ∴∠EAN=∠MAN． 在△ANM与△ANE中 ， ∴△ANM≌△ANE． ∴MN=EN． ∵EN=BE+BN=DM+BN， ∴MN=DM+BN． ∴MN+CM+CN=DM+BN+CM+CN=CD+BC=2BC． 在Rt△CMN中，由勾股定理得：， ∴10+8+6=2BC． ∴BC=12． 故答案为：12． （2）三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系为； 理由如下： 如图②，过点D作DP⊥DF，且DP=BE，连接PF、AP．　 则∠PDA+∠ADF=∠ADF+∠NDM=90°． ∴∠PDA=∠NDM． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BN∥DM． ∵BN=DM， ∴四边形BNDM是平行四边形． ∴∠EBA=∠NDM． ∴∠PDA=∠EBA． 在△APD与△AEB中 ，    ∴△APD≌△AEB． ∴AP=AE，∠PAD=∠EAB． ∵∠EAP=∠EAD+∠PAD=∠EAD+∠EAB=∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠PAF=∠EAF=45°． 在△APF与△AEF中 ， ∴△APF≌△AEF． ∴EF=FP． 在Rt△PDF中，由勾股定理得：， 即． （3）如图③，把矩形ABCD补成正方形AEFD，延长AN交EF于G，连接GN，则AE=EF=DF=AD=8． ∵四边形ABCD是矩形， ∴BN∥EG． ∴△ABN∽△AEG． ∴． ∴． ∴． 设DM=x，则FM=DF−DM=8−x， ∵四边形AEFD是正方形，∠GAM=45°， ∴由（1）的证明知，． 在Rt△GMF中，勾股定理得：， 即， 解得：x=4 即DM的长为4． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了正方形性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，综合性较强，证明三角形全等及由勾股定理得出方程是关键． 13．（2025·湖北·一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 【答案】(1) (2)5 (3)或或2 【分析】（1）先由矩形的性质证明，即可得； （2）延长、交于，设，由得，则，证明得，进而得，，再由得，进而可得关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）分三种情况：①当时；②当时；③当时；根据三种情况分别画图求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ， ， ， 又∵，， ； （2）解：延长、交于， 设， ， ， 则， ，， ， ， ，， ， ，即， ∴， 解得，（舍）， ； （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ； ②当时， 过点作，垂足为点，交于（如图），则， ， ， ， 则， ； ③当时， 过点作（如图），则， ， ， ，则，， ，，， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 14．（2025·湖北·一模）如图，中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)当点在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______，______°； ②如图2，当时，求的值； (2)如图3，当时，点在的延长线上，过点作交于点，若，求的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据题意可证明和是等边三角形，根据等边三角形的性质可证明，得到，，即可求解； ②通过证明，可得； （2）由得到，设，推出，由（1）②可知，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①，， 是等边三角形， ，， 由旋转得：，， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； ②， ， ，， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； （2）如图3所示，， ， 设， ， 在中，， 由（1）②可知， ， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质． 15．（2025·湖北·一模）如图1，在矩形中，，连接与重合，将绕点顺时针方向旋转，连接，． (1)旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______． (2)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (3)连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的长为或 (3)能，或，理由见详解 【分析】（1）根据矩形，旋转的性质即可得到是等腰三角形，再证，得到，即可求解； （2）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，点在上时，；第二种情况，如图所示，点在延长线时，，，即；根据勾股定理，相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分类讨论：第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，由等腰三角形的判定和性质，勾股定理得到，，由此列式可解；第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，根据等腰三角形的判定和性质得到四边形是矩形，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵与重合， ∴， ∴将绕点顺时针方向旋转时，， ∴是等腰三角形， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：第一种情况，如图所示，点在上时， ∴，，， ∴， 在中，， 由（1）可得，， ∴； 第二种情况，如图所示，点在延长线时， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：能，或，理由如下， 第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， 由（1）可得，，， ∴设， ∵旋转， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，点是中点， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴； 第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， ∵与重合， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴， 过点作与点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，能构成以为直角边的，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 16．（2025·湖北·一模）问题情境 如图1，在正方形中，是的中点，是上一点，且．则①；②（结论不需要证明）． 初步探究 （1）如图2，在矩形中，是的中点，与直线交于点．请证明：①；②． 结论运用 （2）在（1）的条件下， ①如图3，当，平分时，求的长； ②如图4，若与矩形外角的平分线交于点，当，D，G在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①；②． 【分析】（1）①通过矩形的性质结合直角三角形的两个锐角互余即可求解； ②通过两角分别相等得两个三角形相似证得，设、、，通过推得，代入，得，即可求解； （2）①通过角平分线的性质结合矩形的性质证得，设，，代入得，利用三角函数得，即可求解； ②设，，根据题意得，证得，即得，结合得，求出与，代入，得，设，即得一元二次方程，解方程即可得的值． 【详解】解：（1）①四边形是矩形， ， ， ． ②， ， 由①得， ， ∴， 设，， 是的中点， ， ， ， ， ，， 且， ． （2）①平分， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 由（1）得， ∴， ， ， ， ． ②，， ， 设，， 平分， ， ， ， ， ． 由（1）得， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， ， 解得：，（，舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角函数，利用公式法解一元二次方程等，熟练掌握相关知识是解题关键． 17．（2025·湖北·一模）在中，，D是的中点，E是线段上一点(不与点B，D重合)，，交于点F，M是的中点，连接． (1)如图1，若．连接，求证：是等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，当的值为多少时，？ (3)如图2，E是的中点，在线段上截取，连接，试探究四边形的形状． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)四边形EFMN是平行四边形，过程见解析． 【分析】（1）证明得到即可证明结论； （2）由得到，证明，设，则，得到即可解答； （3）如图：过点F作，垂足为G，连接交于点P，四边形是矩形，根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据中点的定义、线段的和差以及等量代换即可解答．． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）解：∵， ∴． 由（1）知：， ∴平分． ∵， ∴． 由（1）得， ∴． 设，则， ∴， ∴． （3）解：如图：过点F作，垂足为G，连接交于点P． ∵， ∴． ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 18．（2025·湖北·一模）问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论： ①__________； ②直线与所夹锐角的度数为__________．； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求的面积； (3)在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①利用矩形的性质、旋转的性质，以及特殊角的锐角三角函数值，证明，再结合相似三角形性质求解，即可解题； ②延长与交于点，记交于点，利用相似三角形性质和三角形内角和定理求解，即可解题； （2）过点作于点，利用线段中点特点和锐角三角函数求出，结合相似三角形性质，直角三角形性质，勾股定理求出，最后根据三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，的底边长度不变，找出高最大，以及最小的情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：①四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ； 故答案为：； ②延长与交于点，记交于点， ， ， ， ， 即直线与所夹锐角的度数为； 故答案为：； （2）解：过点作于点， 点E是边的中点，， ， ， ， 解得， 由①同理可证， ， ， ， ， ， ，解得， 在中，有， ， ， ， ， ， ； （3）解：在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，的底边长度不变， 当，，三点共线，面积最小，即， 记边上的高为，根据垂线段最短可知， 当，重合时，的高最大为，此时面积最大， ， ， ， ，即， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，锐角三角函数，垂线段最短，旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．（2025·湖北·一模）（1）操作发现： 如图①，在中，，点D是上一点，沿折叠，使得点C恰好落在上的点E处．请写出，，之间的关系______________； （2）问题解决： 如图②，若（1）中，其他条件不变，请猜想，，之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形中，，，，，连接，点E是上一点，沿折叠，使得点D正好落在上的F处，若，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理． （1）由已知证明为等腰直角三角形，得，由翻折的性质可知，，，进而证明为等腰直角三角形，得，即可得出结论； （2）根据折叠的性质得，，，而，则，根据三角形外角性质得，所以，则，所以，于是得到； （3）作于H，如图，设，利用（1）的结论得，根据等腰三角形的性质由，得到，且，在中，利用含角的直角三角形的性质得，再利用勾股定理，解方程求出x即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵折叠，使得点C恰好落在上的点E处， ∴，，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）作于H，如图， 设，由（1）的结论得， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 即的长为． 20．（2025·湖北襄阳·一模）在中，，是边上的高，射线与相交于点E，将绕点D逆时针旋转与相交于点F，分别过E，F作，，交于点P，令． (1)证明推断：如图1，连接，若． ①推断：四边形的形状是________； ②求证：； (2)类比探究：如图2，若．探究是否仍然成立，并证明你的结论； (3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，连接．若， ，，求线段的长． 【答案】(1)①正方形；②见解析 (2)仍然成立 (3) 【分析】（1）①证明， 得出，根据，，证明四边形为平行四边形，根据，证明四边形为菱形，根据，证明四边形为正方形 ； ②根据正方形的性质得出，，求出，根据，得出； （2）证明，得出， 证明，得出，即，求出； （3）连接交于O，交于M，连接，在中，，解直角三角形得出，，证明，得出，，求出，，证明四边形是矩形，得出，证明，说明垂直平分，求出，，，证明，得出，求出，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵是边上的高， ∴，，， 又∵， ∴， ∵将绕点D逆时针旋转与相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．   ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形 ； 故答案为：正方形； ②证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：结论：仍然成立．理由如下： ∵是边上的高，， ∴，， ∴． ∵将绕点D逆时针旋转与相交于点F， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，     ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 由（1）①知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ； （3）解：连接交于O，交于M，连接，如图所示： 在中，， ∴设，， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 根据解析（2）可知：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． 21．（2025·湖北襄阳·一模）在中，，为边上一动点，且（为正整数），在直线上方作，，，连接． (1)如图，在点运动过程中，求证：； (2)如图，若，，为中点，当点在射线上时，求的长； (3)如图，若，，与交于点，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长是； (3)，理由见解析． 【分析】（）由，，则，即有，然后证明，由性质可得，，则有，，由相似三角形的判定方法即可求证； （）作于点，则，由，，则，则，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，然后根据解直角三角形和相似三角形的性质即可求解； （）过作于点，证明四边形是矩形，则，，设，则，可得，则有，，再证明，根据性质可得，从而求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是； （3）解：，理由： 如图，过作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 设，则， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关性质并灵活运用是解题的关键． 22．（2025·湖北襄阳·一模）在中，，，P是边上的一个动点（点P与A，C不重合），连接，将绕点B顺时针旋转到，连接与交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的长；． (3)如图3，过点A作的垂线与的延长线交于点F．探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，，证明，即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质求得， ．从而求得，再证明，得，即．所以，即可求解； （3）在上取点N，连接，使．再证明，得到．根据， 即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵，即． 由将绕点B顺时针旋转到，可得：，， 即， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴， ． ∵， ∴． 同理，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∴， ∴． （3）解 ：．     理由如下：在上取点N，连接，使．      则， ∴， ∴．     ∵， ∴，     ∴， ∴．     ∴， ∴， ∴， ∴．     在和中 ∴， ∴．     ∵， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．本题综合性强，有一定难度． 23．（2025·湖北武汉·一模）（）【提出问题】如图，是的边上一点，且．求证：； （）【探究问题】在四边形中，，，是边上一点，连接交于点，且． ①如图，若，，，求的长； ②如图，若为的中点，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可证明结论； （2）①导角证明，得到；求出，得到，证明，得到，设，由勾股定理得，解方程即可得到答案；②如图所示，延长交于F，连接，证明，得到，则可证明，再证明，得到，设，则，可得，则，即． 【详解】（）证明：∵，， ∴， ∴； （）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②如图所示，延长交于F，连接， ∵，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是条件的关键． 24．（2025·湖北鄂州·一模）如图1，在平行四边形中，为延长线上一点，且交于点． (1)当时，求证：； (2)当时，用表示与的数量关系； (3)如图时，G为上一点，，相交于点，连接．若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）当时，为等腰三角形．结合为顶角的平分线，得到，则平行四边形为矩形，再证明，即可证明； （2）作于点G，于点N，由，得到，则，由，得到，设，则，再由，得到，即可得到，即可解题； （3）当时，由（1）知平行四边为矩形，证明，得到，得到，即，再证明，得到，则，由，则，设，则，在中，利用，得到，，最后在中，利用勾股定理求出，即可解题． 【详解】（1）证明：当时，为等腰三角形． 又为顶角的平分线， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：作于点M，于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴平行四边形为菱形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时，由（1）知平行四边为矩形， 由易知， ∴， 又由（1）知， ， ∴，即， 如图，连接， ∵，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，则，设，则， 在中，，即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，． 25．（2025·湖北武汉·一模）如图，是四边形的对角线，已知． (1)如图1，点在的延长线上，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形外接圆、圆内接四边形的性质，正切的定义等，熟练掌握是解题的关键． （1）分别证明、即可； （2）连接，以为半径作圆，易得点、点在圆上，四边形为圆内接四边形，根据托勒密定理得，即，又弦所对圆周角，，，，； （3），如图所示，构造三角形，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ， ． （2）解：如图所示，连接，以为半径作圆， 易得点、点在圆上， 四边形为圆内接四边形， 根据同弦所对圆周角相等，设，，，，，，，，，， 如图所示，分别将，，的边长与、、相乘，得： 将上述三个三角形拼接，得： ， 新图形为平行四边形， ， 即，即， 又弦所对圆周角， ，， ， ． （3）解： ， 如图所示，作等腰三角形，为锐角，，，设，， 则，， ， ， ， ， 根据上述结论，， 则， 如图所示，作矩形，设， 则， 根据上述结论，， ， ， 答：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$