专题09 圆综合（5大题型30题）（湖北专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题09 圆综合（5大题型30题） 题型概览 题型01 圆中的角度问题 题型02 圆中的线段长问题 题型03 圆中的弧长问题 题型04 圆中的切线证明 题型05 圆中的阴影图形面积问题 ( 题型01 ) 圆中的角度问题 1．（2025·湖北鄂州·一模）如图，内接于是是直径，C，D是圆上的点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、锐角三角函数，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．先根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用余弦定义求得，进而利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵内接于是是直径， ∴，又， ∴，则， ∵， ∴， 故选：C． 2．（2025·湖北恩施·一模）如图，已知点A、B、C依次在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由圆周角定理计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是是解题的关键．由经过圆心O，即是的直径，可得，再根据圆周角定理可得，即可求出的度数． 【详解】解：经过圆心O，即是的直径， ， 又， ． 故选：B． 4．（2025·湖北孝感·一模）如图，是上直径两侧的两点．设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理；根据直径所对的圆周角是直角可得，根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵是的直径 ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 5．（2025·湖北·一模）如图，五边形是的内接正五边形，直线与相切于点，则 °． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线的性质定理等知识点；连接，多边形是正五边形，可求出的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可，作出适当的辅助线是解答此题的关键． 【详解】解：连接， ∵多边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切于点， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2025·湖北襄阳·一模）如图，已知内接于，且圆心在上，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交、于、点，再以为圆心，长为半径作弧，交于另一点，连接并延长交于，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理的推论，尺规作图作一个角等于已知角，本题的关键熟练掌握圆周角定理的两个推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角．由作图可知，再得出，利用为直径，得出，求出，即可求． 【详解】解：由作图可知， ∵，， ∴， ∴， ∵圆心在上，即为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．（2025·湖北孝感·一模）如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法，垂径定理，圆周角定理，由作图可知垂直平分，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．（2025·湖北·一模）如图，是半圆的直径，分别以O，A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，直线交半圆于点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，连接，证明为等边三角形，得到，圆周角定理得到，即可得出结果． 【详解】解：连接， 由作图可知：垂直平分， ∵直线交半圆于点， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选C． ( 题型02 ) 圆中的线段长问题 9．（2025·湖北·一模）如图，点A在上，弦于点D．若，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理和垂径定理，等腰直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 先求，证、和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A． 10．（2025·湖北武汉·一模）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆上，且，连接，交于点E．若，则的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，根据是半圆O的直径得到，再根据得到，推出，再根据圆周角定理得到，得到，最后利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11．（2025·湖北恩施·一模）如图是某单位拟建大门的示意图，上部是一段直径为的圆弧形，下部是矩形，其中点O为弧所在圆的圆心，，，求弧的中点到的距离． 【答案】6.8米 【分析】本题考查了矩形的性质、垂径定理、勾股定理，过点作，垂足为点，交于点，由垂径定理可得，点为弧的中点，由题意可得，由勾股定理可得，求出，结合矩形的性质得出点到的距离为，即可得解． 【详解】解：过点作，垂足为点，交于点， ∵， ∴，点为弧的中点， 由题意可得：， 在中，， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴点到的距离为 ∴弧的中点到的距离为（米）． 12．（2025·湖北·一模）如图，为的直径，与相交于点C，过点C的切线于点D． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，由切线的性质，等腰三角形的性质证出，则可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，由（1）知，，求得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图： ∵为的直径， ∴． 由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∴， 解得(舍)，， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，证明是解题的关键． 13．（2025·湖北·一模）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．    (1)请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径． 【答案】(1)CD是⊙O的切线，理由见解析 (2)⊙O的半径为 【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可； （2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：结论：CD是⊙O的切线． 理由：连接OC． ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵BC平分∠ABD， ∴∠OBC＝∠CBE， ∴∠OCB＝∠CBE， ∴OC//BD， ∵CD⊥BD， ∴CD⊥OC， ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J． ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∵OC⊥DC，CD⊥DB， ∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°， ∴四边形CDEJ是矩形， ∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE， ∴OC⊥AE， ∴AJ＝EJ， ∵sin∠ECD＝＝，CE＝5， ∴DE＝3，CD＝4， ∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3， 在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42， ∴r＝， ∴⊙O的半径为．    【点睛】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14．（2025·湖北武汉·一模）如图，是的直径，是的弦，是的中点，，垂足为，若，则的长是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是垂径定理，全等三角形的性质，熟练掌握是解题的关键． 连接交于点，是的中点，，，先证明和全等，得，设的半径为，在中根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点， 是的中点， ，， 在和中： ， ， ， 设的半径为，则， 则在中：， 即， 解得， ， 故选C． ( 题型03 ) 圆中的弧长问题 15．（2025·湖北恩施·一模）我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键． 设正六边形外接圆的圆心为，连接，于是得到，由题意得，，，过作于，推出是等腰直角三角形，得到，求得，得到圆的半径，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为， 连接，则， 由题意得，，， 过作于， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的长为 故答案为：． ( 题型04 ) 圆中的切线证明 16．（2025·湖北恩施·一模）如图，内接于，且为直径，的角平分线交雨点E，交于点D，交过点B的一条直线于点F，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】（1）连接．证明，是的中垂线，可得，可得，进一步证明，结合，可得，从而可得结论； （2）过点E作于M，证明，，证明，可得，设，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，且是的直径 ∴是的切线． （2）解：过点E作于M， ∵平分，，， ∴，， 在与中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得 ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 17．（2025·湖北武汉·一模）如图，是的直径，P为延长线上的一点，C是的中点，D为上的一点，的延长线交直线于点E，且． (1)求证：与相切； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查弧、弦、圆心角的关系，切线的判定，求正切，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）由C是的中点得到，再根据得到，根据得到，推出，即，即可得到切线； （2）过作于，即可得到，，再根据，设，则，，，利用勾股定理求出，最后根据求值即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：如图，过作于， ∴，， ∴， ∵， ∴设，则，，， ∴， ∴． 18．（2025·湖北鄂州·一模）如图，在中，，平分交于点，作交于点，是的外接圆，交于点． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例求线段的长度． 连接，根据角平分线的性质和等边对等角可知，根据直角三角形两锐角互余可证，从而可证结论成立； 连接，首先利用相似三角形对应边成比例可求，根据可知，从而可求，根据圆周角定理可得，从而可证，根据平行线分线段成比例定理可知，从而可得：． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， 平分交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：如下图所示，连接， 的半径为， ， ∵是直径， ∴， 在和中， ，， ， ， 又，， ， ， 由可知， ， ∴， ， ， ， 解得：， 是的直径， ， ， ， ， 解得：． 19．（2025·湖北武汉·一模）如图，是的切线，为切点，是直径，是弦，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)连接，交于点，连接，若，． ①求的长； ②直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)    【分析】（1）连接，由切线的性质定理可得，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行内错角相等可得，由等边对等角可得，进而可得，再结合，，利用可证得，于是可得，即，然后由切线的判定定理即可得出结论； （2）①由，可得四边形是平行四边形，于是可得，由切线长定理可得，再结合，可得垂直平分，则，再结合，可知是的中位线，由三角形的中位线定理可得，由此即可求出的长；②由垂直平分可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由（1）得，则，进而可得，由此可证得，于是可得，即，进而可得，由此即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：①，， 四边形是平行四边形， ， ，是的切线， ， 又， 垂直平分， ， 又， 是的中位线， ； ②垂直平分， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，切线长定理，三角形的中位线定理，切线的判定定理，切线的性质定理，等边对等角，线段垂直平分线的判定，直角三角形的两个锐角互余，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 20．（2025·湖北·一模）如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD． （1）若∠CAB＝36°，AB＝10，求图中扇形COB的面积． （2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线． 【答案】（1）；（2）详见解析． 【分析】（1）根据圆周角定理和扇形的面积公式即可得到结论； （2）连接，证即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得，即可得到，由于，那么，由此得证． 【详解】解：（1）是直径，，， ，， 图中扇形的面积； （2）证明：是的角平分线， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， 是的切线． 【点睛】此题主要考查的是切线的判定方法，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． ( 题型0 5 ) 圆中的阴影图形面积问题 21．（2025·湖北·一模）如图，正方形的边长为2，以为直径在正方形内画半圆，再以C为圆心，2为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形的面积公式：S，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或，l为扇形的弧长，R为半径． 根据题意有，然后根据扇形的面积公式：S和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵π， ， ∴ππ． 故选：B． 22．（2025·湖北黄石·一模）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中从水面垂直最深处，求截面中有水部分的面积． 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理、等边三角形的判定和性质、扇形面积公式等知识，连接，作弦，垂足为D，延长交于点C，连接，求出，证明是等边三角形，得到，则根据有水部分的面积即可求出答案． 【详解】解：连接，作弦，垂足为D，延长交于点C，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴是线段的垂直平分线 ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴有水部分的面积 23．（2025·湖北黄石·一模）如图，内接于，为直径，作交于点E，且．    (1)求证：直线是的切线． (2)如果，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，然后推导，即可解题； （2）先根据正弦得到，即可求出，然后根据解题即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握切线的判定和性质是解题的关键． 24．（2025·湖北·一模）如图，在中，为斜边上的一点，经过点的与AC交于点，连接，．若，． (1)求证：为的切线： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、解三角形、等腰三角形的性质等知识点． （1）连接，根据，可知，，等量代换可得，根据等边对等角可证，进而可证，从而可证结论成立； （2）如图，延长交于点，连接，根据，可得，进而求出，可得，进而求出，证明，得，再在求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径； ∴为的切线； （2）解：如图，延长交于点，连接， ， ∴是直径，即、、三点共线， ∴， 又∵在中，，， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，． 25．（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线过点G，且，交于C点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（保留根号和）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，从而可证得，再证，可得，可证得结论； （2）先证得，在中，，在中，，可得，再根据可求出答案． 【详解】（1）证明：连接， ，是的切线， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，是的切线， 平分，平分， ， ， ， ． ， ， ． 在中，， 在中，， ， ． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，不规则图形的面积以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 26．（2025·湖北·一模）如图，为的直径，C是上方上异于A、B的点，D是的中点，过点D作，交的延长线于点E，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角和圆心角，勾股定理，扇形面积公式等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）连接，根据弧和圆心角的关系，得到，进而得到，即可证明结论； （2）根据圆周角和勾股定理，得到，进而得到，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：为的直径， ， ，， ， ， 由（1）得， ． 27．（2025·湖北宜昌·一模）如图，内接于为的直径，于点，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，先证明，再由旋转性质及平行线性质得到，由切线的判定即可得证； （2）由等腰直角三角形的判定与性质求出相关角度与边长，间接表示出不规则的图形面积，最后由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， ， ， ∵将沿所在的直线翻折，得到， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知，， ， ， 由（1）知， ， 则， 即为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂直定义、等腰三角形性质、翻折性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等腰直角三角形的判定与性质、不规则面积的求法、扇形面积公式等知识，熟记圆的相关性质、基本几何性质是解决问题的关键． 28．（2025·湖北襄阳·一模）如图，内接于，是的直径，点E在上，点C是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由点是的中点，得到，根据圆周角定理得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接．过点O作于点H，先证明是等边三角形，，．从而求得，．即可由求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵C是弧中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：连接．过点O作于点H． ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积． 正确地作出辅助线是解题的关键． 29．（2025·湖北襄阳·一模）如图，中，，，以为直径的与交于点，过作，垂足为，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)为的切线，见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，扇形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）连接，先求出，得出，证明，进而可得出结论； （2）根据圆周角定理得出，再得出，再根据三角函数求出，根据求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∴到是边的中线， ∴， 在中，，即， 解得， 所以， ∴，， ∴， 30．（2025·湖北孝感·一模）如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由等边对等角可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； （2）由三角形的内角和定理可得，求出，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案． 本题主要考查了等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定，三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理，求其他不规则图形的面积，三角形的面积公式，求扇形面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵为半径 ∴是的切线； （2）解：， ∴． ∴， ∴． ∵， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆综合（5大题型30题） 题型概览 题型01 圆中的角度问题 题型02 圆中的线段长问题 题型03 圆中的弧长问题 题型04 圆中的切线证明 题型05 圆中的阴影图形面积问题 ( 题型01 ) 圆中的角度问题 1．（2025·湖北鄂州·一模）如图，内接于是是直径，C，D是圆上的点，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北恩施·一模）如图，已知点A、B、C依次在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北孝感·一模）如图，是上直径两侧的两点．设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北·一模）如图，五边形是的内接正五边形，直线与相切于点，则 °． 6．（2025·湖北襄阳·一模）如图，已知内接于，且圆心在上，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交、于、点，再以为圆心，长为半径作弧，交于另一点，连接并延长交于，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北孝感·一模）如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·湖北·一模）如图，是半圆的直径，分别以O，A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，直线交半圆于点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 圆中的线段长问题 9．（2025·湖北·一模）如图，点A在上，弦于点D．若，则（   ） A．4 B． C．2 D． 10．（2025·湖北武汉·一模）如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆上，且，连接，交于点E．若，则的直径为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·湖北恩施·一模）如图是某单位拟建大门的示意图，上部是一段直径为的圆弧形，下部是矩形，其中点O为弧所在圆的圆心，，，求弧的中点到的距离． 12．（2025·湖北·一模）如图，为的直径，与相交于点C，过点C的切线于点D． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 13．（2025·湖北·一模）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．    (1)请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径． 14．（2025·湖北武汉·一模）如图，是的直径，是的弦，是的中点，，垂足为，若，则的长是（   ） A．2 B． C．3 D． ( 题型03 ) 圆中的弧长问题 15．（2025·湖北恩施·一模）我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若，则的长为 ． ( 题型04 ) 圆中的切线证明 16．（2025·湖北恩施·一模）如图，内接于，且为直径，的角平分线交雨点E，交于点D，交过点B的一条直线于点F，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 17．（2025·湖北武汉·一模）如图，是的直径，P为延长线上的一点，C是的中点，D为上的一点，的延长线交直线于点E，且． (1)求证：与相切； (2)若，求的值． 18．（2025·湖北鄂州·一模）如图，在中，，平分交于点，作交于点，是的外接圆，交于点． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为，，求的长． 19．（2025·湖北武汉·一模）如图，是的切线，为切点，是直径，是弦，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)连接，交于点，连接，若，． ①求的长； ②直接写出的长． 20．（2025·湖北·一模）如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD． （1）若∠CAB＝36°，AB＝10，求图中扇形COB的面积． （2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线． ( 题型0 5 ) 圆中的阴影图形面积问题 21．（2025·湖北·一模）如图，正方形的边长为2，以为直径在正方形内画半圆，再以C为圆心，2为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B． C． D． 22．（2025·湖北黄石·一模）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中从水面垂直最深处，求截面中有水部分的面积． 23．（2025·湖北黄石·一模）如图，内接于，为直径，作交于点E，且．    (1)求证：直线是的切线． (2)如果，，求图中阴影部分的面积． 24．（2025·湖北·一模）如图，在中，为斜边上的一点，经过点的与AC交于点，连接，．若，． (1)求证：为的切线： (2)若，，求的长． 25．（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线过点G，且，交于C点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（保留根号和）． 26．（2025·湖北·一模）如图，为的直径，C是上方上异于A、B的点，D是的中点，过点D作，交的延长线于点E，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 27．（2025·湖北宜昌·一模）如图，内接于为的直径，于点，将沿所在的直线翻折，得到，点的对应点为，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 28．（2025·湖北襄阳·一模）如图，内接于，是的直径，点E在上，点C是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 29．（2025·湖北襄阳·一模）如图，中，，，以为直径的与交于点，过作，垂足为，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 30．（2025·湖北孝感·一模）如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $$