专题08 几何基础证明与解直角三角形及其应用（5大题型24题）（湖北专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题08 几何基础证明与解直角三角形及其应用（5大题型24题） 题型概览 题型01 几何证明线段相等 题型02 几何证明角度相等 题型03 几何证明特殊四边形 题型04 几何证明全等与相似 题型05 解直角三角形及其应用 ( 题型01 ) 几何证明线段相等 1．（2025·湖北·一模）如图，在中，延长到点E，使得，连接，，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 先根据四边形是平行四边形，得到，，进而可得，证明 ，据此即可证明． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 2．（2025·湖北·一模）如图，在四边形中，，，E是的中点，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质以及等腰三角形的性质．熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质得出，再证明，根据，证明四边形为平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 3．（2025·湖北荆州·一模）如图，在菱形中，点，分别在，上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，由菱形的性质得到，，再由等角的补角相等得到，即可证得，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． ( 题型02 ) 几何证明角度相等 4．（2025·湖北·一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是直线BD上两点，且BE=DF，连接AF，CE．求证：∠E=∠F． 【答案】证明见解析 【分析】证明△ADF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠ADB=∠DBC． ∵∠ADF+∠ADB=180°，∠CBE+∠DBC=180° ∴∠ADF=∠CBE． 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠E=∠F． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 5．（2025·湖北孝感·一模）如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据等腰三角形三线合一的性质，然后利用证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：，， 在和中 ． ( 题型03 ) 几何证明特殊四边形 6．（2025·湖北·一模）如图，中，是对角线，、是上两点，且．连接，，，，求证：四边形是平行四边形．    【答案】证明见解析 【分析】先根据平行四边形的性质得到，则，再证明，进而证明，得到，同理证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 7．（2025·湖北·一模）如图，在四边形中，，点O是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵O是AB中点 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是矩形 8．（2025·湖北襄阳·一模）如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定．熟练掌握平行四边形的判定、菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，然后证，即可得出结论． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 即， 平行四边形是矩形． 9．（2025·湖北武汉·一模）如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接，过点A作，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请添加一个条件，使四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定及直角三角形斜边上的中线性质． （1）证明，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）添加，先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：添加， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． 10．（2025·湖北·一模）如图，将线段沿过点的直线向右平移至，点A，B的对应点分别为，．若______，请判定四边形的形状，并证明你的结论． 请选择下列条件中的一个填写在上述空格上，然后作出判定并证明，多选无效．若是选中每一个条件并作答，我们以第一个的答案作为你本次成绩的评分依据，记入你的成绩总分． ①；②；③； 【答案】见解析 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，先根据平移的性质，推出四边形为平行四边形，对于①推出，得到四边形为矩形；对于②，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可；对于③证明，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可． 【详解】解：∵将线段沿过点的直线向右平移至， ∴， ∴四边形为平行四边形； 当选择①时：四边形为矩形； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 当选择②时，四边形为菱形； ∵四边形为平行四边形，且， ∴四边形为菱形； 当选择③时，四边形为菱形； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． ( 题型04 ) 几何证明全等与相似 11．（2025·湖北襄阳·一模）如图，、是平行四边形的对角线上的两点，，求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行四边形性质可得，，则，然后通过判定方法即可求证； （）由，则，从而有，再通过平行线的判定方法即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 12．（2025·湖北武汉·一模）如图，在中，点，分别在和上，且经过对角线的中点． (1)求证：； (2)连接和，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)或或平分（答案不唯一） 【分析】此题考查全等三角形的判定，平行四边和菱形的判定，解题的关键熟练掌握平行四边和菱形的判定定理； （1）根据平行四边形的性质得出，．进而利用证明三角形全等即可； （2）根据平行四边形的判定与性质和菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∵是的中点， ∴． ∴． （2）添加， 理由：∵， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 添加， 理由：∵， ， 在中 ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴四边形是菱形； 添加平分，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ． ∵是的中点， ∴，． 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 综上所述：添加或或平分（答案不唯一）． 13．（2025·湖北孝感·一模）已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）首先求出，得到，然后推出，即可证明； （2）①由得到，然后求出，得到，然后等量代换求解即可； ②延长交于点，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1），． ， ， ，即， ； （2）①根据（1）得， ， 是边上的中线 ， ， ， ，即， ； ②延长交于点，连接， 由①知，，， 在和中 ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 由（1）知 ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． ( 题型0 5 ) 解直角三角形及其应用 14．（2025·湖北武汉·一模）如图，两扇相同的窗户从关闭状态．向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米．，则点，之间的距离是 米．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 如图所示，作于点，于点，求出、的长度，根据，即可解题． 【详解】解：如图所示，作于点，于点， 则， ， 所以． 故答案为． 15．（2025·湖北·一模）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则 m． 【答案】100 【分析】本题是跨学科综合题．根据由等高线可知、两地的高度差为50米，然后点处测得处的俯角为求值即可． 【详解】解：由等高线可得、两地的实际高度差为， 依题意作图得：，，， ∴ 故答案为：100． 16．（2025·湖北·一模）如图，一架无人机在空中A点测得地面B处的俯角为，测得B处一长颈鹿在水中的倒影C的俯角为，此时无人机距湖边的水平距离，，且E是的中点，则长颈鹿到湖边的距离为（B，C，E在同一水平线上，结果保留整数，参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设，则，利用图中三角形的边长关系列方程，即可解答，熟练利用三角函数得到直角三角形的边长关系是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点H， 由题意得，四边形为矩形，， ，，， 设，则， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 解得， ． 故选：C． 17．（2025·湖北荆州·一模）武汉市某校数学兴趣小组利用课余时间测量黄鹤楼的高度．方案如下：①在黄鹤楼前的平地上选择一点，用测角仪测出由点看楼顶的仰角；②在点和黄鹤楼之间选择一点，用测角仪测出由点看楼顶的仰角；③量出，两点之间的距离．得到测量数据：，，．参考数据：，．，分别为楼顶和楼底部的中心点，，，在同一水平面的同一条直线上．请你计算出黄鹤楼的高度（结果保留整数）． 【答案】黄鹤楼的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 设为，则为，得到，求出，得到． 【详解】解：设为，则为 ∵， ∴ 解得， ∴． 答：黄鹤楼的高度为． 18．（2025·湖北·一模）小华和同学相约到某景点游玩，他们计划在入口A处集合后，先去位于入口西南方向的景点B，然后沿着南偏西37°方向到达景点C，最后再去景点D，已知景点D位于景点C的正东方向，入口A的正南方向，米，米，求入口A与景点D之间的距离．(结果精确到1米，参考数据：（） 【答案】米． 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．过点B分别作的垂线，垂足分别是E，F，则四边形是矩形，可得，，由解三角形得米，米，从而得出，最后求解即可． 【详解】解：如解图，过点B分别作的垂线，垂足分别是E，F，则四边形是矩形， ，， 米，米， 由题意，得，， 在中，（米），（米）， （米）， （米）． 答：入口A与景点D之间的距离约为米． 19．（2025·湖北·一模）数学课外兴趣小组决定利用无人机测量学校国旗杆的高度（如图）无人机起飞到点D处时距离地面的垂直高度CD为50米，DE为水平线测得国旗杆AB顶端A的俯角为45°，测得国旗杆AB底端B的俯角为60°，求国旗杆AB的高度（，，结果精确到0.1米）． 【答案】学校国旗杆的高度约为21.2米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点作于．证明，在中，，，得到即可． 【详解】解：过点作于． ， ， ， 在中，， ， ． 答：学校国旗杆的高度约为21.2米． 20．（2025·湖北鄂州·一模）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为，后，火箭直线到达Q处，此时地面处雷达站测得Q处的仰角为（参考数据：，） (1)求处距O处的长度； (2)求火箭从到Q处的平均速度． 【答案】(1) (2)约 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解题意是解答的关键． （1）在中，利用余弦定义求解即可； （2）在、中，利用锐角定义分别求得，，进而求得即可求解． 【详解】（1）解：由题意，在中，，， ∴， 答：处距O处的长度为； （2）解：在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴火箭从到Q处的平均速度为 21．（2025·湖北恩施·一模）为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 自制直角三角形模具，皮尺 皮尺，测角仪 测量示意图 测量步骤 甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上 乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角 说明 A，B，C，D，E，F均在同一平面内，测角仪高度忽略不计 测量数据 ，，，， ，， 请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．对于方案一，先证明，再把数值代入计算得，结合，即可作答．对于方案二，结合，，得，在中，，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：方案一：由题意，，， ， ， ，，， ， 解得， ， ， 答：教学楼的高为； 方案二： 由题意，可知，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 答：教学楼的高约为． 22．（2025·湖北孝感·一模）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，测量风电塔筒的高．记录如下： 活动项目 如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测量风电塔筒的高． 活动方案 方案一 方案二 方案示意图 实施过程及测量数据 1．利用测角仪在处测得筒尖顶点的仰角，在处测量得筒尖顶点的仰角； 2．利用皮尺测量得点与点的距离； 1．在阳光的照射下，标杆在水平地面的影子为，此时，风电塔筒在水平地面的影子为； 2．利用皮尺测量得； 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．点在同一条水平直线上； 3．测角仪的高度和风电塔筒的半径忽略不计； 4．参考数据： 1．图上所有点均在同一平面内； 2．点在同一条水平直线上； 3．风电塔筒的半径忽略不计； 请你从以上两种方案中任选一种，求出风电塔筒的高． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及相似三角形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 方案一：设，根据三角函数构造方程求解即可； 方案二：证明，得，从而利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：方案一： 设， ∵， ∴， 在中， ， ， ∴ ∴风电塔筒的高度为． 或方案二： 由题同一时刻太阳光线平行， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴风电塔筒的高度为． 23．（2025·湖北襄阳·一模）某数学兴趣小组以测量本校教学楼的高度为主题开展综合与实践活动，记录如下：请你从以上两种方法中任选一种，计算教学楼的高度（结果取整数）． 活动项目 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 皮尺，测角仪 方案 示意图                 实施过程 ①选取与楼房底部A位于同一水平地面的C，D两处； ②测量C，D两点间的距离； ③在C，D两处，用测角仪分别测量楼顶B的仰角，． ①选取教学楼对面的实验楼C处； ②在C处用测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角； ③测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．，． 1．； 2．，． 备  注 ①图上所有点均在同一平面内，且点C，D，A在同一条直线上，测角仪高度忽略不计； ②与地面垂直； ③：参考数据， ①图上所有点均在同一平面内，测角仪高度忽略不计； ②均于地面垂直； ③参考数据：，，，． 【答案】教学楼的高约为； 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，弄清线段间的数量关系，直角三角形中的边角关系是解题的关键． 方案一：在和中，利用三角函数的定义求得，进而求出； 方案二：在中求出，在中求出，进而求出． 【详解】解：方案一： 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 即． 设， 可得， 解得． 答：教学楼的高度约为； 方案二： 由题意，可知，， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ， 答：教学楼的高约为； 24．（2025·湖北襄阳·一模）综合与实践：某校数学实践小组利用所学数学知识测量当地一座古塔的高度．展开活动记录如下： 活动项目 测量本地一座古塔的高度 活动方案 “平行光线”方案 “三角函数”方案 方案示意图 实施过程 ．选取与古塔底部位于同一水平面的处，连接； ．测量，两点间的距离； ．沿方向前行至处，过作，过作交于； ．测量与、与的距离． ．选取与古塔底部位于同一水平面的点处，连接； ．站在处测量仰角； ．沿方向前行至点，连接，测量、两点间的距离和点处的仰角． 测量数据 ．； ．，． ．； ．，． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； ．、均与地面垂直． ．图上所有点均在同一平面内； ．与地面垂直； ．参考数据：，，．，，． 请你从以上两种方法中任选一种，计算古塔的高度． 【答案】古塔的高度． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质，解分式方程，根据相似三角形的应用，解直角三角形的应用逐一求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：“平行光线”方案： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴古塔的高度； “三角函数”方案： 设，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原分式方程的解， ∴古塔的高度． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 几何基础证明与解直角三角形及其应用（5大题型24题） 题型概览 题型01 几何证明线段相等 题型02 几何证明角度相等 题型03 几何证明特殊四边形 题型04 几何证明全等与相似 题型05 解直角三角形及其应用 ( 题型01 ) 几何证明线段相等 1．（2025·湖北·一模）如图，在中，延长到点E，使得，连接，，若．求证：． 2．（2025·湖北·一模）如图，在四边形中，，，E是的中点，且，连接．求证：． 3．（2025·湖北荆州·一模）如图，在菱形中，点，分别在，上，且．求证：． ( 题型02 ) 几何证明角度相等 4．（2025·湖北·一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是直线BD上两点，且BE=DF，连接AF，CE．求证：∠E=∠F． 5．（2025·湖北孝感·一模）如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：． ( 题型03 ) 几何证明特殊四边形 6．（2025·湖北·一模）如图，中，是对角线，、是上两点，且．连接，，，，求证：四边形是平行四边形．    7．（2025·湖北·一模）如图，在四边形中，，点O是边的中点，．求证：四边形是矩形． 8．（2025·湖北襄阳·一模）如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 9．（2025·湖北武汉·一模）如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接，过点A作，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请添加一个条件，使四边形为菱形． 10．（2025·湖北·一模）如图，将线段沿过点的直线向右平移至，点A，B的对应点分别为，．若______，请判定四边形的形状，并证明你的结论． 请选择下列条件中的一个填写在上述空格上，然后作出判定并证明，多选无效．若是选中每一个条件并作答，我们以第一个的答案作为你本次成绩的评分依据，记入你的成绩总分． ①；②；③； ( 题型04 ) 几何证明全等与相似 11．（2025·湖北襄阳·一模）如图，、是平行四边形的对角线上的两点，，求证：    (1)； (2)． 12．（2025·湖北武汉·一模）如图，在中，点，分别在和上，且经过对角线的中点． (1)求证：； (2)连接和，请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 13．（2025·湖北孝感·一模）已知中，．现将绕点旋转至． (1)如图1，连接，，求证：． (2)如图2，在绕点旋转过程中，点的对应点恰好落在的中线的延长线上． ①求证：； ②求的长． ( 题型0 5 ) 解直角三角形及其应用 14．（2025·湖北武汉·一模）如图，两扇相同的窗户从关闭状态．向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米．，则点，之间的距离是 米．（参考数据：） 15．（2025·湖北·一模）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则 m． 16．（2025·湖北·一模）如图，一架无人机在空中A点测得地面B处的俯角为，测得B处一长颈鹿在水中的倒影C的俯角为，此时无人机距湖边的水平距离，，且E是的中点，则长颈鹿到湖边的距离为（B，C，E在同一水平线上，结果保留整数，参考数据：）（    ） A． B． C． D． 17．（2025·湖北荆州·一模）武汉市某校数学兴趣小组利用课余时间测量黄鹤楼的高度．方案如下：①在黄鹤楼前的平地上选择一点，用测角仪测出由点看楼顶的仰角；②在点和黄鹤楼之间选择一点，用测角仪测出由点看楼顶的仰角；③量出，两点之间的距离．得到测量数据：，，．参考数据：，．，分别为楼顶和楼底部的中心点，，，在同一水平面的同一条直线上．请你计算出黄鹤楼的高度（结果保留整数）． 18．（2025·湖北·一模）小华和同学相约到某景点游玩，他们计划在入口A处集合后，先去位于入口西南方向的景点B，然后沿着南偏西37°方向到达景点C，最后再去景点D，已知景点D位于景点C的正东方向，入口A的正南方向，米，米，求入口A与景点D之间的距离．(结果精确到1米，参考数据：（） 19．（2025·湖北·一模）数学课外兴趣小组决定利用无人机测量学校国旗杆的高度（如图）无人机起飞到点D处时距离地面的垂直高度CD为50米，DE为水平线测得国旗杆AB顶端A的俯角为45°，测得国旗杆AB底端B的俯角为60°，求国旗杆AB的高度（，，结果精确到0.1米）． 20．（2025·湖北鄂州·一模）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为，后，火箭直线到达Q处，此时地面处雷达站测得Q处的仰角为（参考数据：，） (1)求处距O处的长度； (2)求火箭从到Q处的平均速度． 21．（2025·湖北恩施·一模）为了测量教学楼的高度，甲、乙两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 自制直角三角形模具，皮尺 皮尺，测角仪 测量示意图 测量步骤 甲小组成员通过调整自己的位置，使自制的直角三角形模具的斜边保持与地面平行，并且边与教学楼顶部B点在同一直线上 乙小组成员在教学楼对面的实验楼C处用测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角 说明 A，B，C，D，E，F均在同一平面内，测角仪高度忽略不计 测量数据 ，，，， ，， 请选择其中一个方案及其测量数据求教学楼的高．（参考数据：，，） 22．（2025·湖北孝感·一模）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，测量风电塔筒的高．记录如下： 活动项目 如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测量风电塔筒的高． 活动方案 方案一 方案二 方案示意图 实施过程及测量数据 1．利用测角仪在处测得筒尖顶点的仰角，在处测量得筒尖顶点的仰角； 2．利用皮尺测量得点与点的距离； 1．在阳光的照射下，标杆在水平地面的影子为，此时，风电塔筒在水平地面的影子为； 2．利用皮尺测量得； 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．点在同一条水平直线上； 3．测角仪的高度和风电塔筒的半径忽略不计； 4．参考数据： 1．图上所有点均在同一平面内； 2．点在同一条水平直线上； 3．风电塔筒的半径忽略不计； 请你从以上两种方案中任选一种，求出风电塔筒的高． 23．（2025·湖北襄阳·一模）某数学兴趣小组以测量本校教学楼的高度为主题开展综合与实践活动，记录如下：请你从以上两种方法中任选一种，计算教学楼的高度（结果取整数）． 活动项目 测量教学楼高度 测量方案 方案一 方案二 测量工具 皮尺，测角仪 方案 示意图                 实施过程 ①选取与楼房底部A位于同一水平地面的C，D两处； ②测量C，D两点间的距离； ③在C，D两处，用测角仪分别测量楼顶B的仰角，． ①选取教学楼对面的实验楼C处； ②在C处用测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角； ③测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．，． 1．； 2．，． 备  注 ①图上所有点均在同一平面内，且点C，D，A在同一条直线上，测角仪高度忽略不计； ②与地面垂直； ③：参考数据， ①图上所有点均在同一平面内，测角仪高度忽略不计； ②均于地面垂直； ③参考数据：，，，． 24．（2025·湖北襄阳·一模）综合与实践：某校数学实践小组利用所学数学知识测量当地一座古塔的高度．展开活动记录如下： 活动项目 测量本地一座古塔的高度 活动方案 “平行光线”方案 “三角函数”方案 方案示意图 实施过程 ．选取与古塔底部位于同一水平面的处，连接； ．测量，两点间的距离； ．沿方向前行至处，过作，过作交于； ．测量与、与的距离． ．选取与古塔底部位于同一水平面的点处，连接； ．站在处测量仰角； ．沿方向前行至点，连接，测量、两点间的距离和点处的仰角． 测量数据 ．； ．，． ．； ．，． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； ．、均与地面垂直． ．图上所有点均在同一平面内； ．与地面垂直； ．参考数据：，，．，，． 请你从以上两种方法中任选一种，计算古塔的高度． / 学科网（北京）股份有限公司 $$